Niveles discretos de energía

Son numerosas las situaciones físicas en las que es aplicable la ley de distribución de Maxwell-Boltzmann, la más simple es el estudio de un sistema cuyas partículas pueden ocupar un conjunto de niveles discretos de energía.

Como aplicación de un sistema de dos niveles de energía volveremos sobre el experimento de Stern-Gerlach, que confirmó la existencia del espín del electrón.

Estudiaremos la vibración de las moléculas diatómicas y veremos que se describen mediante un conjunto infinito de niveles discretos equidistantes. La explicación del comportamiento de las sustancias paramagnéticas y ferromagnéticas entra también en esta categoría.

Un modelo simple de atmósfera nos suministra un ejemplo en el que las moléculas ocupan niveles continuos de energía. El comportamiento de las sustancias dieléctricas, y la distribución de las velocidades de las moléculas de un gas ideal entran en esta última categoría.

Descripción

Sea un sistema cuyas partículas pueden ocupar un conjunto de niveles discretos E₀, E₁, E₂, ..., y sean n₀, n₁, n₂, ... la proporción de partículas que ocupan cada nivel a una temperatura dada T. La relación entre los números n_i y la energía E_i viene dada por la fórmula de la estadística clásica

n_i=c·exp(-E_i/kT)

k es la constante de Boltzmann 1.38·10^-23 J/K.

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El valor de la constante c se determina a partir de la condición de que la suma de todos los números n_i debe se la unidad. El valor de n_i es por tanto.

$n_{i} = \frac{\exp (\frac{- E_{i}}{k T})}{\sum_{0}^{N - 1} \exp (\frac{- E_{i}}{k T})}$

La energía media <E> de las partículas es

$< E > = \sum_{0}^{N - 1} n_{i} E_{i}$

Actividades

La energía del nivel fundamental es cero.

Se introduce

La energía del primer nivel, actuando en la barra de desplazamiento titulada nivel 1.
La energía del segundo nivel, actuando en la barra de desplazamiento titulada nivel 2. Las energías introducidas siempre deben ser menores que 2 eV (un electrón-voltios 1eV=1.6·10^-19 J)
El valor de la temperatura en kelvin, en el control de edición titulado Temperatura

Se pulsa el botón titulado Ocupación para examinar en detalle el comportamiento del sistema

Se representan los niveles de energía y se calculan los números de ocupación. Se muestra mediante pequeños círculos de color rojo, la distribución de 100 partículas entre los distintos niveles de energía a dicha temperatura.

Si se pulsa el botón titulado Gráfica, se obtiene una representación gráfica de los números de ocupación n₀, n₁, n₂, en función de la temperatura.

Sistema de dos niveles de energía

Examinemos primero un sistema de dos niveles de energía: Sea E₀=0 y E₁=E. La energía del primer nivel es cero.

Se introduce

la energía del primer nivel, actuando en la barra de desplazamiento titulada nivel 1.
y cero, en el segundo control de edición titulado nivel 2.

Obtener la expresión de la proporción de partículas en cada uno de los dos niveles de energía n₀ y n₁.
Comparar dichas expresiones con la representación gráfica, describiendo sus características más importantes, y en particular, las siguientes:

¿Cuánto vale los números de ocupación n_i de cada nivel cuando la temperatura es muy baja?
¿Cuándo la temperatura es muy alta?
¿Para qué intervalo aproximado de temperaturas los números de ocupación cambian apreciablemente?

Sistema de tres niveles de energía

La energía del nivel fundamental es cero.

Se introduce

la energía del primer nivel, actuando en la barra de desplazamiento titulada nivel 1.
una energía mayor, actuando en la barra de desplazamiento titulada nivel 2..

Repetir las actividades enunciadas para un sistema de dos niveles de energía.