Medida del índice adiabático de un gas (I)

Simulación de una experiencia de laboratorio

El procedimiento de Rüchardt se emplea en los laboratorios de Física para medir el cociente γ=c_p/c_v de los calores específicos del aire.

Una bola de metal de masa m, se libera en el extremo libre de un tubo de vidrio de radio r que se conecta a un gran recipiente de aire de volumen V. La bola experimenta oscilaciones amortiguadas. Si las variaciones de presión y volumen se consideran adiabáticas, el periodo P de las oscilaciones es

$P^{2} = \frac{4 m V}{p_{0} r^{4} γ}$

donde p₀ es la presión atmosférica. La diferencia entre la presión de equilibrio $p_{0} = p_{a t m} + \frac{m g}{π r^{2}}$ y la presión atmosférica p_atm=101300. es tan sólo de de 805 Pa.

La modificación de Rinkel nos da el desplazamiento vertical h de la bola, es decir, el doble de la amplitud de la oscilación

$h = \frac{2 m g V}{p_{0} π^{2} r^{4} γ}$

Midiendo el periodo P o el máximo desplazamiento de la bola h, obtenemos el índice adiabático del gas considerado. Ahora bien, se puede mejorar el experimento, si se mide el periodo P y la longitud de caída h de la bola en función del volumen V de aire.

El volumen de aire se puede cambiar poniendo agua en el recipiente. El volumen de aire V será igual a la diferencia entre el volumen del recipiente V₀ y el volumen de agua V_a introducida.

Las dos expresiones anteriores se convierten en

$P^{2} = \frac{4 m}{p_{0} r^{4} γ} (V_{0} - V_{a}) h = \frac{2 m g}{p_{0} π^{2} r^{4} γ} (V_{0} - V_{a})$

Representando gráficamente P² o h en función del volumen de agua V_a obtenemos una línea recta, cuya pendiente nos permite calcular el índice adiabático γ del aire y cuya intersección con el eje de las ordenadas, el volumen V₀ del recipiente.

Actividades

Se introduce

El tipo de gas que llena el recipiente, eligiéndolo en el control de selección titulado Gases.
El radio de la bola está fijado en el programa interactivo en r=8 mm=0.008 m
La bola es de acero (densidad 7700 kg/m³) y su masa es de m=0.0165 kg
La presión atmosférica p₀=101300 Pa

Primera experiencia

Se activa el botón de radio titulado Altura.

Se pulsa el botón titulado Inicio

Con el puntero del ratón, se arrastra la flecha de color azul, para rellenar el recipiente con un volumen de agua V_a.

Se pulsa el botón titulado Empieza

La bola describe un movimiento armónico simple. El volumen V_a (en litros) de agua y la altura de caída h (en cm) se guardan en el control área de texto situado a la izquierda del applet

Se pulsa el botón titulado Inicio

Con el puntero del ratón, se arrastra la flecha de color azul, para rellenar el recipiente con otro volumen de agua V_a distinto

Se pulsa el botón titulado Empieza

La bola describe un movimiento armónico simple. El volumen V_a (en litros) de agua y la altura de caída h (en cm) se guardan en el control área de texto situado a la izquierda del applet. Cuando tengamos suficientes datos, se pulsa el botón titulado Gráfica, para representar los resultados “experimentales” (puntos de color rojo) y la recta de "ajuste".

En el eje horizontal se representa el volumen V_a de agua en litros
En el eje vertical la altura de caída h en cm

La pendiente de la recta y la ordenada en el origen determinan

el índice adiabático γ del gas seleccionado
el volumen V₀ del recipiente.

Ejemplo

Seleccionamos el gas Argón, y activamos el botón de radio titulado Altura.

Medimos la altura h de caída de la bola para varios valores del volumen V_a de agua. Pulsamos el botón titulado Gráfica. A partir de la pendiente de la recta, determinamos el índice adiabático del gas considerado. La pendiente de la recta de la figura en unidades m^-2 es

-0.49/0.01=-49 m^-2.

El programa nos proporciona una pendiente de -48.75 m^-2

$\frac{2 m g}{p_{0} π^{2} r^{4} γ} \frac{2 \cdot 0.0165 \cdot 9.8}{101300 \cdot π^{2} {0.008}^{4} γ} = 48.75 γ = 1.62$

Medimos la ordenada en el origen 49 cm=0.49 m, o bien, conocida la tangente del ángulo θ y el cateto contiguo (10 litros=0.01 m³) calculamos el cateto opuesto (la ordenada en el origen)

48.75 ·0.01=0.4875 m

$\frac{2 m g}{p_{0} π^{2} r^{4} γ} V_{0} \frac{2 \cdot 0.0165 \cdot 9.8}{101300 \cdot π^{2} {0.008}^{4} 1.62} V_{0} = 0.4875 V_{0} = 0 .01 m^{3} = 10 litros$

En la parte derecha del applet, disponemos de un manómetro, y vamos a ver que información nos puede suministrar

Medimos la presión cuando la bola se encuentra en la posición de máximo desplazamiento.

Como ya se ha explicado, se produce una transformación adiabática entre el estado inicial (p₀, V), y el estado final (p, V-πr²x). Si consideramos que la disminución del volumen πr²xcuando la bola se desplaza x, es muy pequeño en comparación con V=V₀-V_a.

La diferencia de presión p-p₀ entre le gas contenido en el recipiente y la presión atmosférica es

$p - p_{0} \approx γ \frac{p_{0} π r^{2}}{V_{0} - V_{a}} x$

Cuando la bola se ha desplazado x=h, la diferencia de presión es

$p - p_{0} \approx γ \frac{p_{0} π r^{2}}{(V_{0} - V_{a})} \frac{2 m g}{p_{0} π r^{4} γ} (V_{0} - V_{a}) = \frac{2 m g}{π r^{2}} = \frac{2 \cdot 0.0165 \cdot 9.8}{π \cdot {0.008}^{2}} = 1608 Pa$

es constante e independiente del tipo de gas y del volumen V₀-V_a del recipiente que lo contiene. La diferencia de presión corresponde a 1608=1000·9.8·(2x) a un desnivel 2·8.2 cm entre las dos ramas del manómetro de agua.

Cuando la bola pasa por la posición de equilibrio h/2=0.17 cm, la diferencia de presión es la mitad del valor anterior.

Se pulsa el botón titulado Pausa y luego, varias veces el botón titulado Paso, para acercarnos a la posición de de máximo desplazamiento.

Como vemos el manómetro no nos suministra información acerca del tipo de gas que experimenta la transformación adiabática, solamente nos da información acerca de la masa y radio de la bola que dejamos caer en un tubo de igual radio.

Segunda experiencia

Se activa el botón de radio titulado Periodo.

Se pulsa el botón titulado Inicio

Con el puntero del ratón, se arrastra la flecha de color azul, para rellenar el recipiente con un volumen de agua V_a.

Se pulsa el botón titulado Empieza

La bola describe un movimiento armónico simple. Para medir el periodo, disponemos de un cronómetro. Se pulsa el botón titulado En marcha. Cuando se hayan completado cinco oscilaciones, se vuelve a pulsar el mismo botón titulado ahora Para.

El tiempo se muestra en la parte superior del applet.

El volumen V_a (en litros) de agua y el periodo de cinco oscilaciones se guardan en el control área de texto situado a la izquierda del applet

Se pulsa el botón titulado Inicio

Con el puntero del ratón se arrastra la flecha de color azul, para rellenar el recipiente con otro volumen de agua V_a distinto

Se pulsa el botón titulado Empieza

La bola describe un movimiento armónico simple. Con el cronómetro se mide el tiempo que tarda la bola en completar cinco oscilaciones. El volumen V_a (en litros) de agua y y el periodo de cinco oscilaciones se guardan en el control área de texto situado a la izquierda del applet

Cuando tengamos suficientes datos, se pulsa el botón titulado Gráfica, para representar los resultados “experimentales” (puntos de color rojo) y la recta de "ajuste".

En el eje horizontal se representa el volumen V_a de agua en litros
En el eje vertical el cuadrado P² del periodo de una oscilación

La pendiente de la recta y la ordenada en el origen determinan

el índice adiabático γ del gas seleccionado
el volumen V₀ del recipiente.

Ejemplo

Seleccionamos Argón, y activamos el botón de radio titulado Periodo

Medimos el periodo de cinco oscilaciones con el cronómetro para varios valores del volumen V_a de agua. Pulsamos el botón titulado Gráfica. A partir de la pendiente de la recta determinamos el índice adiabático del gas considerado.

La pendiente de la recta de la figura es

-1.0/0.01=-100 s²/m³

El programa nos proporciona una pendiente de -98.19 s²/m³

$\frac{4 m}{p_{0} r^{4} γ} \frac{4 \cdot 0.0165}{101300 \cdot {0.008}^{4} γ} = 98.19 γ = 1.62$

Medimos la ordenada en el origen 1.0 s², o bien, conocida la tangente del ángulo y el cateto contiguo (10 litros=0.01 m³) calculamos el cateto opuesto (la ordenada en el origen)

98.19·0.01=0.9819 m

$\frac{4 m}{p_{0} r^{4} γ} V_{0} \frac{4 \cdot 0.0165}{101300 \cdot {0.008}^{4} 1.62} V_{0} = 0.9819 V_{0} = 0.01 m^{3}$

Se pulsa el botón titulado Inicio, y se arrastrar con el puntero del ratón la flecha de color azul.
Se mide el periodo de cinco oscilaciones

Referencias

Para el apartado "Simulación de una experiencia de laboratorio"

Deacon C, Whitehead J. Determination of the ratio of the principal specific heats for air. Am. J. Phys. 60 (9) September 1992. pp, 859-860.

Zemansky M. W. Calor y temperatura. Editorial Aguilar (1973), págs. 130-133