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Medida del índice adiabático del aire

En esta página se describe un experimento para medir el índice adiabático del aire por el procedimiento de Clément y Désormes. En esta experiencia simulada se aplicará la:

1. Ecuación de estado de un gas ideal: PV=nRT
2. Transformación adiabática: PV^γ =cte.
3. Ecuación fundamental de la estática de fluidos: p=p₀+ρ gh

Descripción

El dispositivo experimental consta de un recipiente cuyo volumen es V₁ que contiene aire, está conectado a un manómetro necesario para medir pequeñas diferencias de presión y está cerrado por una llave que comunica con la atmósfera.

1. Accionando un inflador (bomba de una bicicleta) añadimos aire al recipiente y aumentamos su presión al no cambiar el volumen. De modo que, el estado inicial del aire contenido en el recipiente es el siguiente:

• Temperatura ambiente T₁
• Presión p₁ algo superior a la presión atmosférica p₀.
• n₁ moles de aire contenidos en el volumen V₁ del recipiente.

2. Se abre la llave que comunica el recipiente con la atmósfera, el aire experimenta una transformación adiabática, disminuyendo rápidamente su presión, hasta alcanzar la presión atmosférica p₀.

• Temperatura T₂
• Presión p₀
• n₂ moles de aire en el volumen fijo V₁ del recipiente. O bien, n₁ moles en el volumen mayor (expansión) V₂=V₁·n₁/n₂.

Como vemos en la figura, n₁ moles de un gas se expanden desde un volumen V₁ hasta ocupar un volumen V₂, el número de moles n₂ que permanece en el volumen V₁ después de la expansión será n₂=n₁·V₁/V₂

3. Se cierra la llave y se espera cierto tiempo a que el aire del recipiente vuelva a adquirir la temperatura ambiente (calentamiento a volumen constante). El estado final será

• Temperatura T₁
• Presión p₂
• n₂ moles de aire en el volumen V₁ del recipiente, o n₁ moles en el volumen V₂.

El proceso 1-2 es adiabático, por tanto, ${\displaystyle p_1{V}_1^{\gamma }=p_0{V}_2^{\gamma }}$ Como el estado inicial 1 y el estado final 3 tienen la misma temperatura, se cumple p1V1=p2V2

Eliminando la cantidades desconocidas V₁ y V₂ de este sistema de dos ecuaciones, tenemos.

${\displaystyle {\left(\frac{p_1}{p_2}\right)}^{\gamma }=\frac{p_1}{p_0}}$

Despejando el índice adiabático γ

${\displaystyle \gamma =\frac{\ln p_1-\ln p_0}{\ln p_1-\ln p_2}}$

Las presiones p₁ y p₂ las podemos poner como suma de la presión atmosférica más lo que nos marca el manómetro. Si ρ es la densidad del líquido manométrico, de la ecuación fundamental de la estática de fluidos tenemos.

p₁=p₀+ρ gh₁
p₂=p₀+ρ gh₂

${\displaystyle \gamma =\frac{\ln p_0\left(1+\frac{\rho g{h}_1}{p_0}\right)-\ln p_0}{\ln p_0\left(1+\frac{\rho g{h}_1}{p_0}\right)-\ln p_0\left(1+\frac{\rho g{h}_2}{p_0}\right)}}$

como presiones manométricas ρ gh son muy pequeñas comparadas con la presión atmosférica p₀ podemos hacer la siguiente aproximación ln(1+x)≈ x

Llegamos finalmente, una expresión muy simplificada.

${\displaystyle \gamma =\frac{h_1}{h_1-h_2}}$

Ejemplo

Los datos necesarios para realizar los cálculos son los siguientes

• Dimensiones del inflador: cilindro de longitud 20 cm y 1 cm de radio
• Volumen del recipiente: 10 litros ó 0.01 m³
• Temperatura ambiente 27ºC ó 300 K
• Presión atmosférica: 101300 Pa
• Líquido manométrico: mercurio de densidad 13550 kg/m³.

• Constante R de los gases 0.082 atm·l/(K mol) ó 8.314 J/(K mol)
• Índice adiabático del aire 1.4

1. Número de moles n₁ iniciales en el recipiente a la temperatura ambiente.

1·10=n₀·0.082·300 por tanto, n₀=0.41 moles

Se acciona N veces el inflador, por lo que se incrementa en Δn, el número de moles del recipiente.

1·N·2·π ·(0.1)²=Δn·0.082·300

Por ejemplo si N es 8 veces tenemos que Δn=0.02 moles

El número de moles de aire en el recipiente será n₁=n₀+Δn

n₁=0.43 moles

La presión del recipiente será

p₁V₁=n₁RT

p₁·10=0.43·0.082·300 por tanto,  p₁=1.05 atm

La presión se ha incrementado en 0.05 atm, lo que equivale a una altura de la columna de mercurio

0.05·101300=13550·9.8·h₁ por tanto, h₁=0.038 m ó 2·1.9 cm

el desnivel entre las dos ramas es de 3.8 cm

2. Expansión adiabática

Se abre la llave y el recipiente pierde n₁-n₂ moles de aire, donde n₁ el número de moles iniciales y n₂ los moles de aire finales cuando alcanza la presión atmosférica.

El aire se expande adiabáticamente desde una presión p₁ y un volumen V₁=10 litros hasta que alcanza la presión atmosférica.

${\displaystyle p_1{V}_1^{\gamma }=p_2{V}_2^{\gamma }\text{1}{\text{.05·10}}^{\text{1}\text{.4}}=1·V_2^{1.4}}$

El volumen V₂ es 10.35 litros

Si en el volumen V₂ hay n₁ moles en el volumen V₁ del recipiente habrán quedado n₂ moles, tal que n₂=n₁·V₁/V₂.

n₂=0.412 moles, se han escapado n₁-n₂=0.01 moles de aire al abrir la llave

La temperatura final del recipiente cuando se ha alcanzado la presión atmosférica

1·10=n₂·0.082·T₂

T₂=296 ºK ó 23 ºC, más baja que la temperatura ambiente que es de 27º C ó 300 ºK

3. El aire del recipiente se calienta hasta alcanzar la temperatura ambiente, aumentando la presión

p₃·10=n₂·0.082·300

p₃=1.01 atm, es decir, la presión se ha incrementado en 0.01 atm, lo que equivale a una altura de la columna de mercurio de

0.01·101300=13550·9.8·h₂ por tanto, h₂=0.011 m ó 2·0.55 cm

es decir el desnivel entre las dos ramas del manómetro es de 1.1 cm

Actividades

Pulsamos el botón titulado Nuevo. A continuación, se pulsa varias veces el botón titulado Llenar de aire. Cada vez que se pulsa este botón el émbolo del inflador se desplaza y llena el recipiente de aire. Observamos en el manómetro como se va elevando la presión del recipiente.

Después de haber accionado de 5 a 10 veces el inflador, se abre la llave pulsando en el botón titulado Abrir llave, apuntamos el desnivel h₁ entre las dos ramas del manómetro. El aire sale por la parte superior del recipiente, y la presión disminuye rápidamente, la temperatura baja unos grados.

Cuando la presión toma el valor inicial, es decir, el manómetro marca cero, se cierra la llave pulsando el mismo botón que ahora se titula Cierra llave. La temperatura asciende al calentarse el aire del recipiente. La presión asciende como observamos en el manómetro hasta marcar un desnivel entre sus ramas de h₂.

Ejemplo

Se ha accionado 8 veces el inflador. El desnivel entre las dos ramas del manómetro es de h₁=2·1.9 cm

Se abre la llave hasta que la presión en el recipiente vuelve a ser la atmosférica, el manómetro marca cero. Después se cierra la llave, esperamos un poco de tiempo hasta que se caliente el aire del recipiente y medimos el desnivel entre las dos ramas del manómetro h₂=2·0.5.

Aplicamos la fórmula

${\displaystyle \gamma =\frac{2·1.9}{2·1.9-2·0.5}=1.36}$

El valor del índice adiabático del aire es 1.4

Curso Interactivo de Física en Internet © Ángel Franco García