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Oscilaciones de un émbolo.

En la página titulada "Índice adiabático de un gas" estudiamos las oscilaciones de una bola a lo largo de un tubo vertical. En esta página profundizamos el estudio de dichas oscilaciones. Se trata de una situación similar a la que se describe en la página  titulada “Oscilaciones de una boya en el agua”.

Consideremos un sistema aislado consistente en un recipiente en posición vertical con un émbolo, que separa dos zonas, una que contiene el gas y otra que está vacía, p=0. Supondremos que el émbolo desliza sin rozamiento, que el gas está en todo momento en equilibrio, y que el recipiente no pierde calor a través de sus paredes. Partiendo de una situación de no equilibrio, el sistema evoluciona y regresa a la situación inicial después de un cierto tiempo.

A continuación, presentaremos una situación más realista, en la que partiendo de una situación de no equilibrio, el sistema evoluciona llegando a una situación final de equilibrio, alejada de la la situación de partida.

Oscilaciones libres

Sea un recipiente cilíndrico de sección S, perfectamente aislado, en posición vertical con un émbolo que separa una parte que está vacía a presión p=0, y la otra parte que contiene un gas.

Ecuación de los gases perfectos

Si que la temperatura absoluta del gas es T_,  y su altura es y. La ecuación de los gases perfectos, nos relaciona la presión p=f/S, el volumen V=y·S y la temperatura T de una masa de gas o de su número n de moles.

p·V =nRT
f·y =nRT

Donde f es la fuerza que ejerce el gas sobre el émbolo debido a la presión, y R=8.3143 J/(ºK·mol) es la constante de los gases

La energía interna del gas ideal  es

${\displaystyle U=n{c}_{v}T=\frac{pSy}{RT}\frac{R}{\gamma -1}T=\frac{f·y}{\gamma -1}}$

El índice γ=5/3 para un gas monoatómico, y γ=7/5 para un gas diatómico

Casos particulares

Antes de formular la ecuación del movimiento, vamos a estudiar algunas situaciones especiales.

Situación inicial de equilibrio

En la situación inicial, el émbolo de masa se m0 está en equilibrio bajo la acción de dos fuerzas: su peso m0g la fuerza que ejerce el la presión p0 del gas encerado en el recipiente f0=p0·S. Siendo S el área del émbolo, o el área de la base del recipiente. m0g= f0

La energía inicial del gas ideal  es

${\displaystyle U_0=n{c}_v{T}_0=\frac{f_0·y_0}{\gamma -1}}$

Instante inicial

En el instante t=0, se coloca sobre el émbolo un bloque de masa mp. El émbolo se desequilibra, ya que el peso (m0+mp)g=mg es mayor que la fuerza que ejerce la presión del gas f0=p0·S.

Posición de equilibrio

El émbolo se mueve hacia abajo, comprimiendo el gas, hasta que la fuerza f que ejerce el gas sobre el émbolo debido a su presión, se vuelve a igualar al peso mg En la nueva situación de equilibrio  ye, el peso del conjunto formado por émbolo y el bloque mg se hace igual a la fuerza que ejerce la presión del gas fe=pe·S. mg= fe

La ecuación de la transformación adiabática entre la posición inicial y la de equilibrio, nos permite calcular  y_e.

${\displaystyle \begin{array}{l}{p}_0{V}_0^{\gamma }=p_e{V}_e^{\gamma }{f}_0{y}_0^{\gamma }=f_e{y}_e^{\gamma }\\ y_e=y_0{\left(\frac{m_0}{m}\right)}^{1/\gamma }\end{array}}$

La temperatura del gas T_e se calcula a partir de la ecuación del gas ideal

${\displaystyle \begin{array}{l}{f}_e{y}_e=nR{T}_e\\ \frac{m·y_e}{T_e}=\frac{m_0{y}_0}{T_0}\end{array}}$

Conocida y_e, calculamos la velocidad v_e del conjunto émbolo-bloque aplicando el principio de conservación de la energía.

${\displaystyle \frac{m_{0}g·y_0}{\gamma -1}+mg{y}_0=mg{y}_e+\frac{1}{2}m{v}_e^2+\frac{mg·y_e}{\gamma -1}}$

En el miembro izquierdo, tenemos

• La energía interna inicial del gas,

• La energía potencial del conjunto émbolo-bloque cuando está en la posición inicial y₀.

En el miembro de la derecha tenemos

• La energía potencial final del conjunto émbolo-bloque,

• su energía cinética,

• la energía interna del gas en la posición final y_e.

Máxima comprensión del gas

El movimiento del conjunto bloque-émbolo prosigue, hasta que su velocidad se hace cero, el gas se comprime al máximo. En esta posición el émbolo y el bloque no están en equilibrio.

El principio de conservación de la energía se escribe para la posición y_m de máximo desplazamiento.

${\displaystyle \frac{m_{0}g·y_0}{\gamma -1}+mg{y}_0=mg{y}_m+\frac{f_m{y}_m}{\gamma -1}}$

En esta posición, la energía potencial del conjunto bloque-émbolo se convierte enteramente en energía interna del gas ideal.

La ecuación de la transformación adiabática, se escribe

${\displaystyle \begin{array}{l}{p}_0{V}_0^{\gamma }=p_m{V}_m^{\gamma }{f}_0{y}_0^{\gamma }=f_m{y}_m^{\gamma }\\ f_m=m_{0}g{\left(\frac{y_0}{y_m}\right)}^{\gamma }\end{array}}$

Introduciendo f_m en la ecuación de la conservación de la energía, obtenemos una ecuación en y_m cuya raíz es preciso calcular empleando procedimientos numéricos.

Conocido f_m e y_m, la temperatura T_m del gas se calcula a partir de la ecuación del gas ideal

${\displaystyle \frac{f_m·y_m}{T_m}=\frac{m_0{y}_0}{T_0}}$

Cuando se llega a esta posición, se ha completado un semiperiodo de la oscilación. El émbolo y el bloque vuelven a recorrer el camino inverso hasta que regresan a la posición inicial de partida en el instante t=0.

Ecuación del movimiento

Supongamos que el émbolo y el bloque están en la posición y_e de equilibrio estable. Si se desplaza x de dicha posición, la fuerza que ejerce el gas sobre el émbolo f tiende a restaurar al conjunto émbolo-bloque a la posición de equilibrio. Un comportamiento similar al del sistema formado por una partícula y un muelle elástico

Las fuerzas sobre el conjunto de los dos cuerpos, cuando el émbolo se encuentra en la posición y=y_e-x, son

• el peso mg

• la fuerza que ejerce el la presión p del gas encerado en el recipiente f=p·S.

La segunda ley de Newton se escribe

${\displaystyle m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=mg-f}$

La fuerza f la podemos calcular a partir de la transformación adiabática

${\displaystyle \begin{array}{l}{p}_0{V}_0^{\gamma }=p{V}^{\gamma }{f}_0{y}_0^{\gamma }=f{y}^{\gamma }\\ f=m_{0}g{\left(\frac{y_0}{y_e-x}\right)}^{\gamma }\\ \frac{d^{2}x}{d{t}^2}=g\left(1-{\left(\frac{y_e}{y_e-x}\right)}^{\gamma }\right)y_e=y_0{\left(\frac{m_0}{m}\right)}^{1/\gamma }\end{array}}$

Resolvemos la ecuación diferencial por procedimientos numéricos, con las condiciones iniciales t=0, v=dx/dt=0, x=-(y₀-y_e).

Si x<<y_e. podemos escribir la aproximación

${\displaystyle {\left(\frac{y_e}{y_e-x}\right)}^{\gamma }={\left(1-\frac{x}{y_e}\right)}^{-\gamma }\approx 1+\frac{\gamma x}{y_e}}$

La ecuación diferencial se escribe

${\displaystyle \frac{d^{2}x}{d{t}^2}+\frac{g\gamma }{y_e}x=0}$

que es la ecuación diferencial de un MAS de frecuencia angular ω²=gγ/y_e

Balance energético

Cuando el émbolo desciende, la energía potencial del conjunto de los dos cuerpos disminuye, aumenta la energía cinética, y la energía interna del gas aumenta al incrementarse la presión y reducirse el volumen. Cuando el émbolo asciende ocurre el proceso inverso.

Si se desprecian las pérdidas, el principio de conservación de la energía se escribe

${\displaystyle \frac{m_{0}g{y}_0}{\gamma -1}+mg{y}_0=mgy+\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{f·y}{\gamma -1}}$

• Los términos del miembro izquierdo, son la energía del sistema formado por el gas, el émbolo y la pesa en el instante inicial t=0.

• Los términos del miembro derecho, son la energía del sistema en el instante t, v es la velocidad del conjunto bloque-émbolo en dicho instante

En la figura, se representa la energía potencial E_p en función de la posición y del émbolo

${\displaystyle E_p=mgy+\frac{f·y}{\gamma -1}f{y}^{\gamma }=\text{cte}}$

Para una energía total E

${\displaystyle E=\frac{m_{0}g{y}_0}{\gamma -1}+mg{y}_0}$

se señala la posición de partida y₀, la de equilibrio y_e, en el mínimo de la curva de energía potencial y la de máxima comprensión y_m cuando E=E_p, y la velocidad v=0.

Supongamos que el sistema formado por el conjunto bloque-émbolo y el gas es aislado. La ecuación del balance energético  es

${\displaystyle \frac{m_{0}g{y}_0}{\gamma -1}+mg{y}_0=mgy+\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{f·y}{\gamma -1}}$

En el miembro izquierdo, tenemos la energía interna del gas y potencial del conjunto bloque-émbolo, a la derecha, la energía cinética y potencial del conjunto bloque-émbolo y la energía interna final del gas.

El émbolo llega a la posición de equilibrio estable y=y_e después de cierto tiempo, con velocidad v=0. En esta posición de equilibrio, la fuerza f que ejerce el gas sobre el émbolo debido a la presión se anula con el peso del conjunto formado por el bloque y el émbolo f=(m₀+m_p)g=mg

${\displaystyle \frac{m_{0}g{y}_0}{\gamma -1}+mg{y}_0=mg{y}_e+\frac{mg·y_e}{\gamma -1}}$

La energía potencial del conjunto émbolo-bloque correspondiente a la altura (y₀-y_e) se convierte enteramente en energía interna del gas en la posición final de equilibrio y_e. Despejando y_e

${\displaystyle y_e=\left(\frac{m_0}{m_0+m_p}+\gamma -1\right)\frac{y_0}{\gamma }}$

Un caso particular interesante, es aquél en el que la masa del bloque m_p se hace muy grande, el volumen del gas no se reduce a cero, como cabría esperar, sino que tiende a un valor límite.

${\displaystyle \underset{m\to \infty }{\lim }{y}_e=\frac{\gamma -1}{\gamma }{y}_0}$

Si no hay pérdidas de calor, la energía potencial del conjunto bloque-émbolo en la posición inicial se convierte en energía interna del gas en la posición final de equilibrio.

Actividades

Se introduce

• El tipo de gas, monoatómico o diatómico, activando el botón de radio correspondiente.

• La temperatura inicial T₀ del gas encerrado en el recipiente, actuando en la barra de desplazamiento titulada Temperatura.

• La masa del émbolo m₀ se ha fijado en un kg.

• El número de moles se ha fijado en n=0.002 mol

Se pulsa el botón titulado Inicio.

Se observa el estado inicial de equilibrio cuando el émbolo está a una altura y₀.

• Se introduce la masa del bloque m_p (en kg), en el control de edición titulado Pesa

Se pulsa el botón titulado Empieza

Se pone el bloque sobre el émbolo y observamos su movimiento descendente, comprimiendo el gas.

Pulsando en los botones Pausa/Continua y Paso nos podemos acercar a la situación de equilibrio, cuando la resultante de las fuerzas sobre el conjunto formado por el émbolo y el bloque son nulas. Podemos utilizar la misma combinación de botones para acercarnos a la posición de máximo desplazamiento.

Se representan las fuerzas sobre el conjunto émbolo-bloque,

• El peso mg

• La fuerza f que ejerce el gas sobre el émbolo debida a la presión

y se proporciona el dato de la resultante f-mg.

Se proporcionan los datos del tiempo y velocidad de émbolo en la parte superior derecha del applet. La temperatura (en kelvin) en la parte inferior del recipiente.

En la parte derecha del applet, se representa la fuerza f que ejerce la presión del gas sobre el émbolo en función de la posición y del émbolo. La curva tiene la forma f·y^γ=cte, que es la ecuación de una transformación adiabática. La constante se determina conociendo la fuerza f₀ (presión) y la altura del émbolo y₀ (volumen) en el instante t=0.

Finalmente, se representa, mediante un diagrama en forma de tarta

• la energía interna del gas

• la energía cinética del conjunto bloque-émbolo

• su energía potencial

 en el que observamos la transformación de unos tipos de energía en otros.

Ejemplo 1:

Se introduce

• La temperatura 20ºC=293 K

• El émbolo está en equilibrio.

• Se selecciona gas monoatómico

Se pulsa el botón titulado Inicio

• Estado inicial de equilibrio:

La fuerza que ejerce el gas sobre el émbolo es igual al peso del émbolo

f₀=p₀·S= m₀g=1·9.8 N

Conociendo el número n=0.002  de moles y la temperatura T₀=293 K calculamos el volumen o la posición inicial y₀ del émbolo, aplicando la ecuación de los gases perfectos,

${\displaystyle \begin{array}{l}{p}_0{V}_0=nR{T}_0\\ m_{0}g·y_0=nR{T}_0{y}_0=\frac{0.002·8.3143·293}{1·9.8}=0.497\text{m}=\text{49}\text{.7}\text{cm}\end{array}}$

Se introduce la masa del bloque m_p=3 kg

Se pulsa el botón titulado Empieza.

• Nuevo estado de equilibrio

El émbolo desciende y comprime el gas. Detenemos el movimiento cuando el émbolo y el bloque pasan por la posición de equilibrio. El peso del conjunto bloque-émbolo (m₀+m_p)g=mg se igualan a la fuerza f_e que ejerce el gas sobre el émbolo debido a la presión.

f_e=(1+3)·9.8 =39.2 N

Este es el valor numérico de la fuerza f que se señala en el eje vertical de la gráfica. También podemos observar las fuerzas que actúan sobre el émbolo representadas por flechas. La resultante de las fuerzas que actúan sobre el conjunto embolo-bloque debe de ser cero o próximo a cero.

La ecuación de la transformación adiabática nos proporciona la altura y_e del émbolo

${\displaystyle y_e=y_0{\left(\frac{m_0}{m}\right)}^{1/\gamma }{y}_e=0.497{\left(\frac{1}{4}\right)}^{3/5}=0.216\text{m}=\text{21}\text{.6}\text{cm}}$

Calculamos ahora, la temperatura en esta situación de equilibrio

${\displaystyle m·y_e=\frac{m_0{y}_0}{T_0}{T}_{e}4·0.216=\frac{1·0.497}{293}{T}_e}$

T_e=510 K

La ecuación de la conservación de la energía nos proporciona la velocidad del émbolo

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{m_{0}g·y_0}{\gamma -1}+mg{y}_0=mg{y}_e+\frac{1}{2}m{v}_e^2+\frac{mg·y_e}{\gamma -1}\\ \frac{1·9.8·0.497}{\frac{5}{3}-1}+4·9.8·0.497=4·9.8·0.216+\frac{1}{2}4v_e^2+\frac{4·9.8·0.216}{\frac{5}{3}-1}\end{array}}$

v_e=1.67 m/s

• Máxima compresión del gas

El gas continúa comprimiéndose hasta que la velocidad el conjunto émbolo-bloque sea cero, (el dato de la velocidad se observa en la parte superior derecha del applet)

El principio de conservación de la energía. Poniendo v=0.

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{m_{0}g·y_0}{\gamma -1}+mg{y}_0=mg{y}_m+\frac{f_m·y_m}{\gamma -1}\\ \frac{1·9.8·0.497}{\frac{5}{3}-1}+4·9.8·0.497=4·9.8·y_m+\frac{f_m·y_m}{\frac{5}{3}-1}\end{array}}$

De la ecuación de la transformación adiabática tenemos

${\displaystyle \begin{array}{l}{f}_m{y}_m^{\gamma }=f_0{y}_0^{\gamma }\\ f_m{y}_m^{\gamma }=1·9.8·{0.497}^{5/3}\end{array}}$

Introduciendo f_m en la primera ecuación, se llega una ecuación en y_m cuya raíz se obtiene por procedimientos numéricos.

El lector puede comprobar que los valores proporcionados por el programa interactivo de y_m nos permiten calcular f_m en la ecuación de la conservación de la energía y comprobar que cumplen la ecuación de la transformación adiabática.

Por ejemplo, pulsando en el botón Pausa cuando la velocidad v está cercana al valor cero, y varias veces el botón Paso, para acercarnos a dicho valor, el programa interactivo nos da los valores de y_m=8.7 cm y f_m=179.66 N.

Comprobamos que estos valores son conformes con las ecuaciones de la trasformación adiabática y el principio de conservación de la energía. Se ha de tener en cuenta, que para la posición de máximo desplazamiento, un pequeño error en la medida de y_m produce un gran error en la medida de f_m.

Cuando se llega a esta posición, el émbolo empieza a ascender, hasta que llega a la posición inicial, completando un periodo.

Ejemplo 2:

Se introduce la masa del bloque m_p=0.5 kg

Se pulsa el botón titulado Empieza.

Calculamos la posición de equilibrio

${\displaystyle y_e=y_0{\left(\frac{m_0}{m}\right)}^{1/\gamma }{y}_e=0.497{\left(\frac{1}{1.5}\right)}^{3/5}=\text{0}\text{.39}\text{m}=\text{39}\text{.0}\text{cm}}$

El periodo de las oscilaciones de pequeña amplitud es

${\displaystyle P=\frac{2\pi }{\omega }=2\pi \sqrt{\frac{y_e}{g\gamma }}P=2\pi \sqrt{\frac{0.39}{9.8·\frac{5}{3}}}=0.97\text{s}}$

El periodo que medimos en el programa interactivo, desde que parte de la situación inicial hasta que regresa a la posición de partida, es P=0.98 s.

Curso Interactivo de Física en Internet © Ángel Franco García