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Oscilaciones de un émbolo.

En la página titulada "Índice adiabático de un gas" estudiamos las oscilaciones de una bola a lo largo de un tubo vertical. En esta página profundizamos el estudio de dichas oscilaciones. Se trata de una situación similar a la que se describe en la página  titulada “Oscilaciones de una boya en el agua”.

Consideremos un sistema aislado consistente en un recipiente en posición vertical con un émbolo, que separa dos zonas, una que contiene el gas y otra que está vacía, p=0. Supondremos que el émbolo desliza sin rozamiento, que el gas está en todo momento en equilibrio, y que el recipiente no pierde calor a través de sus paredes. Partiendo de una situación de no equilibrio, el sistema evoluciona y regresa a la situación inicial después de un cierto tiempo.

A continuación, presentaremos una situación más realista, en la que partiendo de una situación de no equilibrio, el sistema evoluciona llegando a una situación final de equilibrio, alejada de la la situación de partida.

Oscilaciones libres

Sea un recipiente cilíndrico de sección S, perfectamente aislado, en posición vertical con un émbolo que separa una parte que está vacía a presión p=0, y la otra parte que contiene un gas.

Ecuación de los gases perfectos

Si que la temperatura absoluta del gas es T,  y su altura es y. La ecuación de los gases perfectos, nos relaciona la presión p=f/S, el volumen V=y·S y la temperatura T de una masa de gas o de su número n de moles.

p·V =nRT
f·y =nRT

Donde f es la fuerza que ejerce el gas sobre el émbolo debido a la presión, y R=8.3143 J/(ºK·mol) es la constante de los gases

La energía interna del gas ideal  es

U=n c v T= pSy RT R γ1 T= f·y γ1

El índice γ=5/3 para un gas monoatómico, y γ=7/5 para un gas diatómico

Casos particulares

Antes de formular la ecuación del movimiento, vamos a estudiar algunas situaciones especiales.

Situación inicial de equilibrio

En la situación inicial, el émbolo de masa se m0 está en equilibrio bajo la acción de dos fuerzas:

  • su peso m0g

  • la fuerza que ejerce el la presión p0 del gas encerado en el recipiente f0=p0·S. Siendo S el área del émbolo, o el área de la base del recipiente.

m0g= f0

La energía inicial del gas ideal  es

U 0 =n c v T 0 = f 0 · y 0 γ1

Instante inicial

En el instante t=0, se coloca sobre el émbolo un bloque de masa mp. El émbolo se desequilibra, ya que el peso (m0+mp)g=mg es mayor que la fuerza que ejerce la presión del gas f0=p0·S

Posición de equilibrio

El émbolo se mueve hacia abajo, comprimiendo el gas, hasta que la fuerza f que ejerce el gas sobre el émbolo debido a su presión, se vuelve a igualar al peso mg

En la nueva situación de equilibrio  ye, el peso del conjunto formado por émbolo y el bloque mg se hace igual a la fuerza que ejerce la presión del gas fe=pe·S.

mg= fe

La ecuación de la transformación adiabática entre la posición inicial y la de equilibrio, nos permite calcular  ye.

p 0 V 0 γ = p e V e γ   f 0 y 0 γ = f e y e γ y e = y 0 ( m 0 m ) 1/γ

La temperatura del gas Te se calcula a partir de la ecuación del gas ideal

f e y e =nR T e m· y e T e = m 0 y 0 T 0

Conocida ye, calculamos la velocidad ve del conjunto émbolo-bloque aplicando el principio de conservación de la energía.

m 0 g· y 0 γ1 +mg y 0 =mg y e + 1 2 m v e 2 + mg· y e γ1

En el miembro izquierdo, tenemos

En el miembro de la derecha tenemos

Máxima comprensión del gas

El movimiento del conjunto bloque-émbolo prosigue, hasta que su velocidad se hace cero, el gas se comprime al máximo. En esta posición el émbolo y el bloque no están en equilibrio.

El principio de conservación de la energía se escribe para la posición ym de máximo desplazamiento.

m 0 g· y 0 γ1 +mg y 0 =mg y m + f m y m γ1

En esta posición, la energía potencial del conjunto bloque-émbolo se convierte enteramente en energía interna del gas ideal.

La ecuación de la transformación adiabática, se escribe

p 0 V 0 γ = p m V m γ   f 0 y 0 γ = f m y m γ f m = m 0 g ( y 0 y m ) γ

Introduciendo fm en la ecuación de la conservación de la energía, obtenemos una ecuación en ym cuya raíz es preciso calcular empleando procedimientos numéricos.

Conocido fm e ym, la temperatura Tm del gas se calcula a partir de la ecuación del gas ideal

f m · y m T m = m 0 y 0 T 0

Cuando se llega a esta posición, se ha completado un semiperiodo de la oscilación. El émbolo y el bloque vuelven a recorrer el camino inverso hasta que regresan a la posición inicial de partida en el instante t=0.

Ecuación del movimiento

Supongamos que el émbolo y el bloque están en la posición ye de equilibrio estable. Si se desplaza x de dicha posición, la fuerza que ejerce el gas sobre el émbolo f tiende a restaurar al conjunto émbolo-bloque a la posición de equilibrio. Un comportamiento similar al del sistema formado por una partícula y un muelle elástico

Las fuerzas sobre el conjunto de los dos cuerpos, cuando el émbolo se encuentra en la posición y=ye-x, son

La segunda ley de Newton se escribe

m d 2 x d t 2 =mgf

La fuerza f la podemos calcular a partir de la transformación adiabática

p 0 V 0 γ =p V γ f 0 y 0 γ =f y γ f= m 0 g ( y 0 y e x ) γ d 2 x d t 2 =g( 1 ( y e y e x ) γ ) y e = y 0 ( m 0 m ) 1/γ

Resolvemos la ecuación diferencial por procedimientos numéricos, con las condiciones iniciales t=0, v=dx/dt=0, x=-(y0-ye).

Si x<<ye. podemos escribir la aproximación

( y e y e x ) γ = ( 1 x y e ) γ 1+ γx y e

La ecuación diferencial se escribe

d 2 x d t 2 + gγ y e x=0

que es la ecuación diferencial de un MAS de frecuencia angular ω2=gγ/ye

Balance energético

Cuando el émbolo desciende, la energía potencial del conjunto de los dos cuerpos disminuye, aumenta la energía cinética, y la energía interna del gas aumenta al incrementarse la presión y reducirse el volumen. Cuando el émbolo asciende ocurre el proceso inverso.

Si se desprecian las pérdidas, el principio de conservación de la energía se escribe

m 0 g y 0 γ1 +mg y 0 =mgy+ 1 2 m v 2 + f·y γ1

En la figura, se representa la energía potencial Ep en función de la posición y del émbolo

E p =mgy+ f·y γ1 f y γ =cte

Para una energía total E

E= m 0 g y 0 γ1 +mg y 0

se señala la posición de partida y0, la de equilibrio ye, en el mínimo de la curva de energía potencial y la de máxima comprensión ym cuando E=Ep, y la velocidad v=0.

Supongamos que el sistema formado por el conjunto bloque-émbolo y el gas es aislado. La ecuación del balance energético  es

m 0 g y 0 γ1 +mg y 0 =mgy+ 1 2 m v 2 + f·y γ1

En el miembro izquierdo, tenemos la energía interna del gas y potencial del conjunto bloque-émbolo, a la derecha, la energía cinética y potencial del conjunto bloque-émbolo y la energía interna final del gas.

El émbolo llega a la posición de equilibrio estable y=ye después de cierto tiempo, con velocidad v=0. En esta posición de equilibrio, la fuerza f que ejerce el gas sobre el émbolo debido a la presión se anula con el peso del conjunto formado por el bloque y el émbolo f=(m0+mp)g=mg

m 0 g y 0 γ1 +mg y 0 =mg y e + mg· y e γ1

La energía potencial del conjunto émbolo-bloque correspondiente a la altura (y0-ye) se convierte enteramente en energía interna del gas en la posición final de equilibrio ye. Despejando ye

y e =( m 0 m 0 + m p +γ1 ) y 0 γ         

Un caso particular interesante, es aquél en el que la masa del bloque mp se hace muy grande, el volumen del gas no se reduce a cero, como cabría esperar, sino que tiende a un valor límite.

lim m y e = γ1 γ y 0

Si no hay pérdidas de calor, la energía potencial del conjunto bloque-émbolo en la posición inicial se convierte en energía interna del gas en la posición final de equilibrio.

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Inicio.

Se observa el estado inicial de equilibrio cuando el émbolo está a una altura y0.

Se pulsa el botón titulado Empieza

Se pone el bloque sobre el émbolo y observamos su movimiento descendente, comprimiendo el gas.

Pulsando en los botones Pausa/Continua y Paso nos podemos acercar a la situación de equilibrio, cuando la resultante de las fuerzas sobre el conjunto formado por el émbolo y el bloque son nulas. Podemos utilizar la misma combinación de botones para acercarnos a la posición de máximo desplazamiento.

Se representan las fuerzas sobre el conjunto émbolo-bloque,

y se proporciona el dato de la resultante f-mg.

Se proporcionan los datos del tiempo y velocidad de émbolo en la parte superior derecha del applet. La temperatura (en kelvin) en la parte inferior del recipiente.

En la parte derecha del applet, se representa la fuerza f que ejerce la presión del gas sobre el émbolo en función de la posición y del émbolo. La curva tiene la forma f·yγ=cte, que es la ecuación de una transformación adiabática. La constante se determina conociendo la fuerza f0 (presión) y la altura del émbolo y0 (volumen) en el instante t=0.

Finalmente, se representa, mediante un diagrama en forma de tarta

 en el que observamos la transformación de unos tipos de energía en otros.

Ejemplo 1:

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Inicio

La fuerza que ejerce el gas sobre el émbolo es igual al peso del émbolo

f0=p0·S= m0g=1·9.8 N

Conociendo el número n=0.002  de moles y la temperatura T0=293 K calculamos el volumen o la posición inicial y0 del émbolo, aplicando la ecuación de los gases perfectos,

p 0 V 0 =nR T 0 m 0 g· y 0 =nR T 0 y 0 = 0.002·8.3143·293 1·9.8 =0.497m=49.7cm

Se introduce la masa del bloque mp=3 kg

Se pulsa el botón titulado Empieza.

El émbolo desciende y comprime el gas. Detenemos el movimiento cuando el émbolo y el bloque pasan por la posición de equilibrio. El peso del conjunto bloque-émbolo (m0+mp)g=mg se igualan a la fuerza fe que ejerce el gas sobre el émbolo debido a la presión.

fe=(1+3)·9.8 =39.2 N

Este es el valor numérico de la fuerza f que se señala en el eje vertical de la gráfica. También podemos observar las fuerzas que actúan sobre el émbolo representadas por flechas. La resultante de las fuerzas que actúan sobre el conjunto embolo-bloque debe de ser cero o próximo a cero.

La ecuación de la transformación adiabática nos proporciona la altura ye del émbolo

y e = y 0 ( m 0 m ) 1/γ y e =0.497 ( 1 4 ) 3/5 =0.216m=21.6cm

Calculamos ahora, la temperatura en esta situación de equilibrio

m· y e = m 0 y 0 T 0 T e 4·0.216= 1·0.497 293 T e

Te=510 K

La ecuación de la conservación de la energía nos proporciona la velocidad del émbolo

m 0 g· y 0 γ1 +mg y 0 =mg y e + 1 2 m v e 2 + mg· y e γ1 1·9.8·0.497 5 3 1 +4·9.8·0.497=4·9.8·0.216+ 1 2 4 v e 2 + 4·9.8·0.216 5 3 1

ve=1.67 m/s

El gas continúa comprimiéndose hasta que la velocidad el conjunto émbolo-bloque sea cero, (el dato de la velocidad se observa en la parte superior derecha del applet)

El principio de conservación de la energía. Poniendo v=0.

m 0 g· y 0 γ1 +mg y 0 =mg y m + f m · y m γ1 1·9.8·0.497 5 3 1 +4·9.8·0.497=4·9.8· y m + f m · y m 5 3 1

De la ecuación de la transformación adiabática tenemos

f m y m γ = f 0 y 0 γ f m y m γ =1·9.8· 0.497 5/3

Introduciendo fm en la primera ecuación, se llega una ecuación en ym cuya raíz se obtiene por procedimientos numéricos.

El lector puede comprobar que los valores proporcionados por el programa interactivo de ym nos permiten calcular fm en la ecuación de la conservación de la energía y comprobar que cumplen la ecuación de la transformación adiabática.

Por ejemplo, pulsando en el botón Pausa cuando la velocidad v está cercana al valor cero, y varias veces el botón Paso, para acercarnos a dicho valor, el programa interactivo nos da los valores de ym=8.7 cm y fm=179.66 N.

Comprobamos que estos valores son conformes con las ecuaciones de la trasformación adiabática y el principio de conservación de la energía. Se ha de tener en cuenta, que para la posición de máximo desplazamiento, un pequeño error en la medida de ym produce un gran error en la medida de fm.

Cuando se llega a esta posición, el émbolo empieza a ascender, hasta que llega a la posición inicial, completando un periodo.

Ejemplo 2:

Se introduce la masa del bloque mp=0.5 kg

Se pulsa el botón titulado Empieza.

Calculamos la posición de equilibrio

y e = y 0 ( m 0 m ) 1/γ y e =0.497 ( 1 1.5 ) 3/5 =0.39m=39.0cm

El periodo de las oscilaciones de pequeña amplitud es

P= 2π ω =2π y e gγ P=2π 0.39 9.8· 5 3 =0.97s

El periodo que medimos en el programa interactivo, desde que parte de la situación inicial hasta que regresa a la posición de partida, es P=0.98 s.

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