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Movimiento de una burbuja de aire en un fluido viscoso.

Observamos que las pequeñas burbujas de aire ascienden hacia la superficie de un fluido viscoso con velocidad constante, cuya magnitud aumenta con el tamaño de la burbuja.

En esta página, se simula el movimiento ascendente de una pequeña burbuja en el seno de un fluido viscoso.

Se dispone de un tubo de vidrio parcialmente lleno de un fluido viscoso (aceite) de densidad ρ y viscosidad η. Por la parte superior, se conecta a una bomba de vacío, que reduce la presión a un valor pequeño p≈0. De modo, que la presión en el interior del fluido a una profundidad x es debida solamente a la altura de la columna de fluido ρgx.

Las burbujas de aire se inyectan por la parte inferior. El movimiento ascendente de las burbujas cuyo radio está comprendido entre 0.1 y 0.3 cm es suficientemente lento para que sigan una trayectoria rectilínea. Otras burbujas de radio mayor empiezan a oscilar a medida que ascienden, perdiendo su forma esférica a medida que se acercan a la superficie del líquido.

Descripción

Transformación isotérmica

Consideremos una burbuja de forma esférica de radio r, que está a una profundidad x. La presión del aire en el interior de la burbuja es igual a la presión debida a la columna de fluido de altura x. La burbuja se expande isotérmicamente a medida que asciende. Si suponemos que el aire es un gas ideal tendremos que.

ρgx· 4 3 π r 3 =ρg x 0 · 4 3 π R 3 r= x 0 x 3 R

Siendo R el radio de la burbuja a la profundidad x0, cuando entra en el recipiente de vidrio.

Fuerzas sobre la burbuja

Supondremos que la velocidad de ascenso de la burbuja es suficientemente lenta para que el flujo sea laminar. La burbuja experimenta una fuerza de rozamiento Fr que se opone a su velocidad v. De acuerdo con la ley de Stokes

Fr=6πrη·v

La segunda fuerza que actúa sobre la burbuja es la fuerza de empuje E. De acuerdo al principio de Arquímedes

E=ρg 4 3 π r 3

Ecuación del movimiento

La masa m y el peso mg de la burbuja de aire son despreciables. La segunda ley de Newton se escribe

E-Fr=ma≈0

ρg 4 3 π r 3 +6πrη dx dt =0

Cuando un cuerpo se mueve en el seno de un fluido viscoso en régimen laminar, al cabo de un cierto tiempo alcanza una velocidad límite constante, la resultante de las fuerzas que actúan sobre dicho cuerpo es cero.

Supondremos que la burbuja permanece en estado de equilibrio, el empuje y la fuerza de rozamiento son prácticamente iguales y de sentido contrario, la burbuja alcanza en cada momento la velocidad límite, aunque esta velocidad cambie con el tiempo.

Como el radio r de la burbuja es función de la profundidad x, la ecuación del movimiento se escribe en forma diferencial

dx dt + 2 9 ρg η ( x 0 x ) 2/3 R 2 =0

Separando variables e integrando, con la condición de que se empieza a contar el tiempo t=0 en el instante en el que la burbuja pasa por la marca situada a una profundidad x1.

x 1 x x 2/3 dx = 2ρg x 0 2/3 R 2 9η 0 t dt x 5/3 = x 1 5/3 10 27 ρg η x 0 2/3 R 2 t

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Empieza

En la parte derecha del applet, podemos observar como la burbuja se expande a medida que asciende, y las dos fuerzas que actúan sobre la burbuja:

Ambas fuerzas se equilibran, alcanzando en cada instante la velocidad límite, aunque ésta aumenta a medida que la burbuja asciende.

En la experiencia real, si la velocidad de la burbuja se hace grande el flujo laminar desaparece, y empieza a oscilar a medida que asciende, siguiendo una trayectoria compleja.

Ejemplo1:

Calculamos el tiempo t que tarda la burbuja en desplazarse desde la posición x1=0.2  hasta la posición x=0.05 m

0.05 5/3 = 0.2 5/3 10 27 870·9.8 1.18 0.25 2/3 0.0015 2 tt=25.8s

Ejemplo 2:

El programa interactivo no nos proporciona el valor del radio inicial R de la burbuja a la profundidad x0=0.25 cm, pero podemos medir mediante un cronómetro el tiempo t que tarda la burbuja en desplazarse entre las posiciones x1=0.2 y x=0.05 m, a partir de esta ecuación podemos despejar el radio R.

Se pulsa el botón titulado Empieza

El tiempo t medido es de 14.60 s calcular el radio inicial R de la burbuja.

0.05 5/3 = 0.2 5/3 10 27 870·9.8 1.18 0.25 2/3 R 2 ·14.6R=0.2cm

Podemos comprobar que los cálculos son correctos pulsando en el botón titulado Respuesta.

FluidoApplet1 aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Referencias

Vermillon R. A look at some rising bubbles. Am. J. Phys. 43 (2) February 1975, pp. 177-179

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