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Desplazamiento de una burbuja de aire en un tubo capilar

Se dispone horizontalmente un largo tubo de vidrio (capilar) de pequeño diámetro y longitud L.  Los extremos A y B del tubo se conectan a dos recipientes grandes. Se llena el dispositivo con el líquido cuya viscosidad se desea medir de modo que una burbuja de aire permanezca en su interior del tubo horizontal.

Sea h la diferencia de las alturas entre los niveles de líquido en los dos depósitos. Cuando se abren simultáneamente las llaves en los extremos de los depósitos, la burbuja tiende a moverse a lo largo del tubo horizontal con velocidad constante v. Vamos a relacionar la diferencia de alturas h con la velocidad v con la que se desplaza de la burbuja de aire en el tubo horizontal.

La diferencia de presión entre los extremos  del tubo horizontal es

pA-pB=ρgh

Supongamos que la longitud del tubo es L y la longitud de la burbuja es d<<L

La diferencia de presión pA-pB cuando la burbuja está en movimiento comprende de tres partes:

  1. Movimiento del líquido

La ley de Poiseuille afirma que el gasto G= πR2v es proporcional a la diferencia de presión. Como hay líquido en la porción L-d del tubo y el fluido se mueve con velocidad (media) v.

Δ p 1 = 8η(Ld) π R 4 G= 8η(Ld) π R 4 π R 2 v= 8η(Ld) R 2 v

Siendo η la viscosidad desconocida del fluido

  1. Movimiento del aire de la burbuja

De modo análogo, aplicamos la ley de Poiseuille a la porción aire en el interior de la burbuja de longitud d, que se desplaza con velocidad v por el interior del tubo.

Δ p 2 = 8η'd R 2 v

Siendo η’=1.72·10-5 kg/(m·s) la viscosidad del aire

  1. El exceso de presión en el interior de la burbuja de aire.

El exceso de presión en una burbuja esférica de radio R en el interior de un líquido de tensión superficial γ es

Δ p 3 = 2γ R

Cuando la burbuja no es esférica, sino de la forma mostrada en la figura, la expresión es

Δ p 3 = 2γ R (cos θ 1 cos θ 2 )

donde θ1 y θ2 son los ángulos de contacto (véase el artículo citado en las referencias).

La diferencia de presión pA-pB entre los extremos del tubo horizontal es

p A p B =Δ p 1 +Δ p 2 +Δ p 3 ρgh= 8v R 2 ( dη'+(Ld)η )+Δ p 3

Dado que la viscosidad del aire η’ es muy pequeña, del orden de 10-5 comparada con la viscosidad η de un líquido como el agua del orden de 10-3 y por otra parte, la longitud de la burbuja de aire d es del orden de 1 cm frente a L que es del orden de un metro, podemos despreciar el término Δp2 frente a las otras contribuciones.

ρgh= 8v R 2 (Ld)η+Δ p 3 h= 8(Ld)η ρg R 2 v+ Δ p 3 ρg

Cuando representamos la diferencia de presión h en cm de líquido en el eje Y y la velocidad v en cm/s en el eje X obtenemos una línea recta cuya pendiente es proporcional a la viscosidad y cuya ordenada en el origen es el exceso Δp3/(ρg) de presión en el interior de la burbuja de aire debido a la tensión superficial del líquido.

Nota: a medida que la burbuja se desplaza en el tubo horizontal, pasa una cantidad pequeña de líquido del depósito izquierdo al derecho. Como el radio del tubo es muy pequeño y los depósitos tienen sección grande, la variación de altura es despreciable, es decir, h se mantiene prácticamente constante durante la medida.

Actividades

Se pulsa el botón titulado Inicio

Se abre la llave que permite que el aire entre en el depósito de la izquierda, y la burbuja se desplace por el capilar impulsada por la diferencia de presión entre los dos recipientes.

Se han fijado los siguientes parámetros:

Se pulsa el botón titulado Empieza

La burbuja de aire se mueve en el tubo capilar horizontal, se mide su velocidad dividiendo el desplazamiento L=100 cm entre el tiempo que tarda en desplazarse

Los pares de datos (h, v) se guardan en el control área de texto situado a la izquierda del applet.

Se pulsa el botón titulado Inicio

Se cambia la presión, es decir, la diferencia de alturas h entre niveles de líquido en los dos depósitos, y se mide la velocidad v de desplazamiento de la burbuja.

Cuando se han realizado varias medidas, se pulsa el botón titulado Gráfica

Se representa la recta

h= 8(Ld)η ρg R 2 v+ Δ p 3 ρg

y los datos “experimentales” en forma de puntos.

El programa interactivo calcula la pendiente de la recta. A partir de este dato, se calcula la viscosidad η del fluido

Datos de la densidad de los líquidos

Líquido Densidad (kg/m3)
Agua 1000
Alcohol etílico 790
Benceno 879
Anilina 1020

Ejemplo:

Elegimos el agua, después de realizar varias medidas, se pulsa el botón titulado Gráfica. La pendiente de la recta es 2.52 s

2.52= 8·(1.00.01)·η 1000·9.8·0 .00058 2 η=1.05· 10 3 kg/(m·s)

FluidoApplet1 aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Referencias

Elkarim A. A., A new type of viscosimeter. Am. J. Phys. 16 (9) December 1948, pp. 489-490

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