Medida de la viscosidad mediante dos vasos comunicantes

En otra página, hemos estudiado, las oscilaciones de un líquido en un sistema formado por dos vasos que se comunican mediante un tubo, cuando la altura inicial del líquido en los depósitos no es la misma. En dicho ejemplo, el líquido carecía de viscosidad.

En esta página, estudiamos de nuevo, un sistema formado por dos vasos de igual diámetro, conectados por un tubo capilar. Inicialmente, uno de los depósitos está lleno y el otro vacío. Al cabo de un cierto tiempo, la altura del líquido en un depósito disminuye y aumenta en el otro. A partir de las medidas de la altura del líquido con el tiempo vamos a determinar la viscosidad del fluido.

En la figura se muestran los dos depósitos iguales, de sección A, unidos por un tubo capilar de radio R y longitud L. El líquido tiene viscosidad η. En el instante t=0, el depósito de la izquierda está lleno hasta una altura z₁=z₀, y el de la derecha vacío z₂=0. Vamos a determinar la altura z₁ del líquido en el depósito izquierdo en función del tiempo t.

La ley de Poiseuille afirma que la cantidad de fluido de viscosidad η que atraviesa en la unidad de tiempo (gasto) la sección de un tubo de radio R y longitud L cuando está sometido a una diferencia de presión p₁-p₂ en sus extremos es

$G = \frac{π (p_{1} - p_{2}) R^{4}}{8 L η}$

Puesto que el movimiento del líquido en los dos recipientes es muy lento, podemos considerar que las presiones p₁ y p₂ en los extremos del tubo capilar son aproximadamente, las presiones hidrostáticas:

p₁=p₀+ρgz₁

p₂=p₀+ρgz₂

debidas a las alturas de fluido z₁y z₂ en los respectivos depósitos. p₀ es la presión atmosférica.

Del depósito de la izquierda sale una cantidad G de fluido en la unidad de tiempo, como consecuencia la altura del fluido en el depósito de sección A disminuye

$G = - A \frac{d z_{1}}{d t}$

Como la cantidad de fluido que sale del depósito de la izquierda es igual al que entra en el depósito de la derecha y ambos tiene la misma sección, la relación de alturas es

$\begin{array}{l} A \frac{d z_{1}}{d t} = - \frac{π ρ g R^{4}}{8 L η} (2 z_{1} - z_{0}) \\ \frac{d z_{1}}{d t} = - \frac{π ρ g R^{4}}{8 A L η} (2 z_{1} - z_{0}) \\ \frac{d z_{1}}{d t} = - K (2 z_{1} - z_{0}) \end{array}$

Se integra esta ecuación diferencial con las condiciones iniciales siguientes: en el instante t=0, la altura del líquido es z₀

$\begin{array}{l} \int_{z_{0}}^{z_{1}} \frac{d z_{1}}{2 z_{1} - z_{0}} = \int_{0}^{t} - K \cdot d t \\ {\frac{1}{2} \ln (2 z_{1} - z_{0}) |}_{z_{0}}^{z_{1}} = - K t \\ z_{1} = \frac{z_{0}}{2} (1 + \exp (- 2 K t)) \end{array}$

Después de un tiempo suficientemente grande, t→∞, la altura del líquido en cada depósito es z₀/2

Variación de la viscosidad del agua con la temperatura

En la siguiente tabla se proporcionan los datos de la viscosidad del agua en mPa·s a diversas temperaturas.

Temperatura ºC	Viscosidad ·10^-3 Pa·s
5	1.518
10	1.307
15	1.140
20	1.004
25	0.895
30	0.803
40	0.655
50	0.551
60	0.470
70	0.407
80	0.375
90	0.317

Fuente: Koshkin N. I., Shirkévich M. G.. Manual de Física Elemental. Editorial Mir 1975

La viscosidad η varía con la temperatura absoluta T de la forma

$η = b \cdot \exp (\frac{a}{T})$

siendo a y b constantes características de cada líquido en particular

Estas constantes se puede calcular, mediante el procedimiento de regresión lineal, las abscisas son las inversas de la temperaturas absoluta 1/(t+273) y las ordenadas son los logaritmos neperianos de la viscosidad lnη. La pendiente de la recta de ajuste es el parámetro a, y la ordenada en el origen lnb.

$\ln η = \ln b + \frac{a}{T}$

Los valores obtenidos son a=1825.5 y b=0.002·10^-3

En la figura, se representan mediante puntos los datos experimentales tomados de la tabla adjunta, y la curva es la función exponencial.

$η = 0.002 \cdot \exp (\frac{1825.5}{t + 273}) mPa$

Ejemplo:

Diámetro de la sección de los depósitos cilíndricos, 15 cm
Altura inicial del agua, z₀=50 cm
Longitud del tubo capilar, L=25 cm
Diámetro del tubo capilar, D=0.9 mm
Temperatura del agua, 20ºC

Determinar la viscosidad del agua a dicha temperatura

La altura del agua en el depósito de la izquierda z₁ en función del tiempo t es

$z_{1} = \frac{z_{0}}{2} (1 + \exp (- 2 K t))$

o bien,

$- \ln (\frac{2 z_{1}}{z_{0}} - 1) = 2 K t$

Se toman los datos del tiempo t en segundos y de la altura z₁ en cm

Si en el eje X representamos los tiempos t, y en el eje Y $- \ln (\frac{2 z_{1}}{z_{0}} - 1)$ obtenemos una recta de pendiente 2K

El programa interactivo calcula la pendiente de la recta 2K=7.032·10^-5

$\begin{array}{l} K = \frac{π ρ g R^{4}}{8 A L η} \\ η = \frac{π ρ g R^{4}}{8 A L K} η = \frac{π 1000 \cdot 9.8 {(0.9 \cdot 10^{- 3} / 2)}^{4}}{8 π {(0.15 / 2)}^{2} 0.25 (7.032 \cdot 10^{- 5} / 2)} = 1.016 \cdot 10^{- 3} Pa = 1.016 mPa \end{array}$

La viscosidad del agua a la temperatura de 20º C se puede calcular mediante la fórmula

$η = 0.002 \cdot \exp (\frac{1825.5}{20 + 273}) = 1.016 mPa$

Actividades

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se establece la temperatura del agua, actuando en la barra de desplazamiento titulada Temperatura
Se elige el diámetro del tubo capilar D, en el control de selección titulado Diámetro capilar

Se han fijado en el programa:

Diámetro de la sección de los depósitos cilíndricos, 15 cm, su área es A=π(0.075)²
Altura inicial del agua, z₀=50 cm en el depósito de la izquierda, el de la derecha está inicialmente vacío.
Longitud del tubo capilar, L=25 cm

Se pulsa el botón titulado Empieza

Observamos como desciende la altura del agua en el depósito de la izquierda y aumenta en el de la derecha. Cada 2000 s el programa toma el dato de la altura del agua z₁ en cm. Estos pares de datos (t, z₁) se guardan en el área de texto situado a la izquierda del applet. Cuando tengamos suficientes datos, hasta un máximo de 10, se pulsa el botón titulado Gráfica y se representa, en el eje vertical $- \ln (\frac{2 z_{1}}{50} - 1)$

En el eje horizontal el tiempo t en segundos. Los puntos se sitúan sobre una recta que pasa por el origen. El programa traza la recta y calcula su pendiente 2K

A partir del dato de la pendiente, podemos calcular la viscosidad del agua a la temperatura seleccionada.

En este experimento simulado, se supondrá que el fluido está en todo momento en régimen laminar y también, que el movimiento del fluido en los depósitos es lento.

FluidoApplet1 aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Referencias

Ortega F. M., Pavioni O.D., Domínguez H. L., A communicating-vessel viscosimeter. The Physics Teacher 45, February 2007, pp. 116-118