Oscilaciones libres

En esta página, estudiamos las oscilaciones libres tomando como modelo una partícula de masa m unida a un muelle elástico de constante k.

Ecuación del movimiento

Oscila_1.gif (2308 bytes) Cuando una partícula se desplaza x de la posición de equilibrio, actúa sobre ella una fuerza que es proporcional al desplazamiento x, y de sentido contrario a éste, tal como se muestra en la figura.

La ecuación del movimiento se escribe

ma=-kx

Teniendo en cuenta que la aceleración es la derivada segunda de la posición x, podemos expresar la ecuación del movimiento como ecuación diferencial de segundo orden.

$\frac{d^{2} x}{d t^{2}} + ω_{0}^{2} x = 0 ω_{0}^{2} = \frac{k}{m}$

ω₀ se denomina frecuencia propia o natural del oscilador armónico.

La ventaja de expresar las oscilaciones en términos de una ecuación diferencial es que podemos establecer analogías entre sistemas físicos oscilantes completamente diferentes: mecánicos eléctricos, hidráulicos, etc.

La solución de esta ecuación diferencial es la ecuación de M.A.S.

$\begin{array}{l} x = A \sin (ω_{0} t + ϕ) \\ v = \frac{d x}{d t} = A ω_{0} \cos (ω_{0} t + ϕ) \end{array}$

Condiciones iniciales

La posición inicial x₀ y la velocidad inicial v₀ determinan la amplitud A y la fase inicial φ. Para t=0,

x₀=A·sinφ
v₀=Aω₀·cosφ

En este sistema de ecuaciones se despeja A y φ a partir de los datos x₀y v₀

Ejemplo:

Sea un MAS de frecuencia angular ω₀=100 rad/s. Sabiendo que la partícula parte de la posición x₀=5 con velocidad inicial nula, v₀=0, escribir la ecuación del MAS.

5=A·sinφ
0=100·A·cosφ

La ecuación del MAS es

x=5·sin(100t+π/2)

Instantes en los que el móvil pasa por una determinada posición

Calculamos los instantes t en los que el móvil pasa por la posición x, siendo |x|<A

$\begin{array}{l} ω_{0} t + ϕ = \arcsin \frac{x}{A} + 2 n π n = 0,1,2... \\ ω_{0} t + ϕ = π - \arcsin \frac{x}{A} + 2 n π \end{array}$

Ejemplo:

Si la partícula describe el MAS

x=5·sin(100·t+π/2)

cuyo periodo es P=2π/100

Calculamos los instantes que pasa por la posición x=2

El primer instante que pasa por la posición x=2 es t=0.0116 con velocidad v<0
El segundo instante que pasa por la posición x=2 es t=0.0512 con velocidad v>0
El tercer instante que pasa por la posición x=2 es t=0.0744=0.0116+2·π/100 con velocidad v<0
El cuarto instante que pasa por la posición x=2 es t=0.1141=0.0512+2·π/100 con velocidad v>0

y así, sucesivamente.

Trayectoria en el espacio de las fases

El espacio de las fases nos muestra otra perspectiva del comportamiento de un oscilador, y se representa el momento lineal (o la velocidad) v en el eje vertical, y la posición del móvil x en el eje horizontal.

x=A·sin(ω₀t+φ)
v=A·ω_0·cos(ω₀t+φ)

Eliminando el tiempo t en estas dos ecuaciones, obtenemos la ecuación de la trayectoria, una elipse.

$\frac{x^{2}}{A^{2}} + \frac{y^{2}}{{(A ω_{0})}^{2}} = 1$

Energía del oscilador

La característica esencial de una oscilación libre es que la amplitud se mantiene constante y por tanto, la energía total se mantiene constante.

$E = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} k x^{2} = \frac{1}{2} k A^{2}$

Actividades

Se introduce

la posición inicial x₀, en el control de edición titulado Posición
la velocidad inicial del móvil v₀, en el control de edición titulado Velocidad.
la frecuencia angular se ha fijado en ω₀ =100 rad/s.

Se pulsa en el botón Empieza.

Se observa la posición del móvil en función del tiempo en la parte izquierda de la ventana, gráfico x-t. El valor de la posición x del móvil se muestra en la esquina superior izquierda.
La trayectoria del móvil en el espacio de las fases, gráfico v-x, en la parte superior derecha.
La energía total del móvil en función del tiempo, gráfico E-t, en la parte inferior derecha.

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