Vibración de una molécula diatómica

En esta página estudiamos un ejemplo del denominado problema de dos cuerpos, un sistema aislado formado por dos partículas interactuantes.

Examinamos también, el potencial de Lennard-Jones, una fórmula empírica que describe bastante bien la energía potencial del estado ligado de una molécula diatómica para una configuración electrónica dada.

Molécula diatómica

molecula2.gif (1216 bytes) Dos átomos ligados formando una molécula estable tendrán una energía potencial E_p(x) que es una función cuadrática de la diferencia entre su separación x y la separación de equilibrio x₀.

$E_{p} (x) = \frac{1}{2} k {(x - x_{0})}^{2}$

La fuerza F que describe la interacción entre los dos átomos está dirigida a lo largo de la línea que conecta los dos átomos y viene dada por

$F = - \frac{d E_{p} (x)}{d x} = - k (x - x_{0})$

El movimiento de un sistema aislado de dos partículas lo podemos reducir al movimiento de una partícula de masa μ que se mueve alrededor de un centro fijo de fuerzas bajo la acción de la fuerza de interacción mutua.

μ ·a₁₂=F₁₂

donde μ es la masa reducida, a₁₂ es la aceleración relativa de la partícula de masa m₁ respecto de la partícula de masa m₂, y F₁₂ es la fuerza F(x) que describe la interacción mutua. En forma de ecuación diferencial

$μ \frac{d^{2} x}{d t^{2}} = - k (x - x_{0})$

Esta es la ecuación diferencial de un Movimiento Armónico Simple de frecuencia angular

$ω_{0} = \sqrt{\frac{k}{μ}} = \sqrt{k (\frac{1}{m_{1}} + \frac{1}{m_{2}})}$

Ejemplo:

Determinar la constante k de fuerza de interacción entre los átomos de la molécula HCl sabiendo que su frecuencia de vibración f₀=9·10¹³ Hz.

Datos: la masa del hidrógeno m₁=1 y la masa del cloro m₂=35 u.m.a. Una unidad de masa atómica (u.m.a.) vale 1.67·10^-27 kg.

Teniendo en cuenta que ω₀=2π f₀, obtenemos k=519.2 N/m

Movimiento de los átomos

La solución de la ecuación diferencial es

x=x₀+A·sin(ω₀t+φ )

Donde x₀ es la separación de equilibrio, A es la amplitud y φ la fase inicial que se determinan a partir de las condiciones iniciales, es decir, la posición x y la velocidad v en el instante t=0.

molecula1.gif (1728 bytes)

Conocido el movimiento relativo de la partícula de masa m₁ respecto de la partícula de masa m₂, y suponiendo que el centro de masas de este sistema aislado está en reposo, podemos determinar fácilmente el movimiento de cada una de las dos partículas.

$x_{1} = - \frac{m_{2} x}{m_{1} + m_{2}} x_{2} = \frac{m_{1} x}{m_{1} + m_{2}}$

Actividades

En el programa interactivo se ha fijado el valor de k=2π² y se permite variar las masas de los átomos m₁ y m₂ de la molécula diatómica.

Por ejemplo, cuando introducimos las masas de las moléculas m₁=m₂=1, la frecuencia angular de vibración vale ω₀=2π, y el periodo P=1 unidad de tiempo.

El "átomo" A se representa por un círculo de color rojo (a la izquierda), el "átomo" B por un círculo de color azul (a la derecha), y el centro de masas (inmóvil) por un punto de color negro.

Una regla nos mide la distancia entre las dos partículas, y entre éstas y el c.m.

En la parte superior izquierda, se muestra el valor del tiempo (en unidades arbitrarias), que nos permite medir el periodo de las oscilaciones.

Ejemplo:

Si m₁=2 y m₂=1, la frecuencia angular y el periodo de las oscilaciones valen

$ω_{0} = \sqrt{2 π^{2} (\frac{1}{2} + \frac{1}{1})} = π \sqrt{3} P = \frac{2 π}{ω_{0}} = 1.15$

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