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El potencial de Lennard-Jones

La energía potencial Ep(r) de una molécula debida a las fuerzas intermoleculares es una función de r, la distancia entre los centros de las dos moléculas interactuantes. Esta función se puede expresar mediante una función conocida como potencial de Lennard-Jones.

El potencial de Lennard-Jones tiene una forma similar al potencial de Morse, una fórmula empírica que describe bastante bien la energía potencial del estado ligado de una molécula diatómica para una configuración electrónica dada.

E p (r)= E 0 ( ( r 0 r ) 12 2 ( r 0 r ) 6 )

Los parámetros r0 y E0 están determinados por la estructura de las moléculas individuales. Para r>r0 la pendiente de Ep(r) es positiva, la fuerza es atractiva, para r<r0, la pendiente es negativa y la fuerza es fuertemente repulsiva, mientras que para r=r0 la fuerza es nula (mínimo de la energía potencial).

Algunos valores típicos de r0 y E0 son los siguientes

Gas E0 (10-23 J) r0 (angstroms)
Hidrógeno (H2) 43 3.3
Nitrógeno (N2) 131 4.2
Oxígeno (O2) 162 3.9

Fuente: Roller, Blum. Physics, Mechanics, Waves and Thermodynamics. Edt. Holden-day (1981), pág. 655.

En la simulación vamos usar un potencial e(x) que es independiente de tipo de molécula, tomando x=r/r0.

e( x )= E p (r) E 0 =( 1 x 12 2 1 x 6 )

La función e(x) se hace muy grande para valores de x menores que 1, y tiende hacia cero para valores grandes de x. El eje X es su asíntota horizontal. Para x=1 la función e(x) presenta un mínimo cuyo valor es -1.

Energía

anarmonico1.gif (2652 bytes)La energía total de la partícula en una posición x es la suma de la energía cinética y potencial

E=Ek+Ep(x)

En la figura el segmento AB representa la energía total E, el segmento AC la energía potencial y el segmento BC la energía cinética.

Como la energía cinética no puede ser negativa, las abscisas de los dos puntos de intersección entre la recta horizontal (color negro) que señala la energía total constante E con la función Ep(x) (en color azul) marca los límites del movimiento de la partícula

La energía potencial es máxima en los dos puntos más alejados del equilibrio (x=1), y es mínima en la posición de equilibrio. Lo contrario le ocurre a la energía cinética que es cero en los dos puntos más alejados del origen y es máxima en x=1.

Fuerza

La fuerza sobre la partícula será

f(x)= de(x) dx =12( 1 x 13 1 x 7 )

como vemos la posición de equilibrio f(x)=0 es x=1, que corresponde a un mínimo cuyo valor es -1.

A la izquierda de la posición de equilibrio x<1, la pendiente de la función Ep es negativa y su valor es muy grande (el ángulo es un poco más de 90º), la fuerza es positiva (hacia la derecha). A la derecha de la posición de equilibrio x>1, la pendiente de la curva es positiva y su valor es pequeño (próximo a cero para valores grandes de x), la fuerza es negativa (hacia la izquierda).

Ecuación del movimiento

La ecuación del movimiento de una partícula de masa m=1 es

d 2 x d t 2 12( 1 x 13 1 x 7 )=0

Resolvemos esta ecuación por el procedimiento numérico de Runge-Kutta para las siguientes condiciones iniciales.

En el instante t=0, la posición inicial de la partícula es x0 (a la derecha de la posición de equilibrio) y su velocidad inicial es v0=0. En la posición inicial, la energía cinética de la partícula es cero y por tanto, la energía potencial es igual a la energía total e.

Dada la energía total e de la partícula podemos hallar la posición inicial x0, para ello, hay que resolver la ecuación.

e=( 1 x 12 2 1 x 6 )

La raíz x0 de esta ecuación trascendente se calcula por el procedimiento del punto medio

Actividades

En el programa interactivo, se introduce un valor para la energía total de la partícula en el intervalo (-1, 0), en el control de edición titulado Energía

En el applet se puede observar tres zonas:

En este caso, es mucho más evidente que cuando la energía total es próxima al mínimo (-1) , la partícula describe aproximadamente un M.A.S. La trayectoria en el espacio de las fases es aproximadamente una elipse. Si la energía total de la partícula es próxima a cero, se observa una trayectoria en el espacio de las fases que se asemeja a elipse fuertemente deformada. La partícula pasa la mayor parte del tiempo que emplea en completar la trayectoria en la región x>1.

ForzadasApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.
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