Sistema formado por dos estrellas en órbita circular

En esta página, se continúa con el estudio de los sistemas aislados formados por dos partículas.

El problema de los dos cuerpos

reducida.gif (2217 bytes) Supongamos un sistema aislado de dos partículas interactuantes. Sobre la partícula de masa m₁ actúa la fuerza F₁₂, y sobre la partícula de masa m₂ actúa al fuerza F₂₁. Ambas fuerzas son iguales y de sentido contrario.

Las ecuaciones del movimiento de cada partícula son

m₁a₁=F₁₂
m₂a₂=F₂₁

Como vemos m_1·a₁+m₂a₂=0. La aceleración del centro de masa es cero. El centro de masas de un sistema aislado se mueve con velocidad constante, v_c=cte

El problema de dos cuerpos se pueden reducir a un problema de un solo cuerpo, para ello, calculamos el valor de la aceleración relativa a₁- a₂

$a_{12} = a_{1} - a_{2} = F_{12} (\frac{1}{m_{1}} + \frac{1}{m_{2}})$

Se denomina masa reducida del sistema de dos partículas a

$\frac{1}{μ} = \frac{1}{m_{1}} + \frac{1}{m_{2}}$

Podemos escribir la siguiente ecuación del movimiento

$μ a_{12} = F_{12}$

El movimiento relativo de dos partículas sometidas únicamente a su interacción mutua es equivalente al movimiento, respecto de un observador inercial, de una partícula de masa igual a la reducida y bajo una fuerza igual a la de interacción.

En el caso de que la interacción entre los dos cuerpos sea descrita por la ley de la Gravitación Universal

$μ \frac{d^{2} r}{d t^{2}} = - G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}} \hat{r}$

Siendo r el vector posición de la partícula 1 respecto de la 2, r=r₁-r₂. Para resolver este problema de un solo cuerpo, necesitamos únicamente hallar el vector r en función del tiempo.

La dispersión en el Sistema de Referencia del Centro de Masa y en el Sistema de Referencia del Laboratorio, será uno de los ejemplos más importantes en el estudio de un sistema aislado formado por dos partículas que interaccionan eléctricamente

Sistema formado por dos estrellas en órbita circular.

Supongamos un sistema aislado formado por dos estrellas en órbita circular alrededor de su centro de masa. La posición del centro de masas se calculará de acuerdo con la siguiente relación

m₁r₁=m₂r₂

r=r₁+r₂

La posición del centro de masas está más cerca de la masa mayor.

El movimiento de las dos estrellas es equivalente al movimiento de una partícula de masa reducida μ, bajo la acción de la fuerza F que describe la interacción mutua, la fuerza de atracción entre dos masas separadas una distancia r=r₁+r₂

cm2.gif (2032 bytes) Si dicha partícula describe un movimiento circular de radio r, su aceleración es w²·r. La segunda ley de Newton se escribe.

$μ ω^{2} r = G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}}$

La cantidad w²·r³ es constante, lo que nos indica que el cuadrado del periodo P=2p /w es proporcional al cubo del radio r (tercera ley de Kepler para órbitas circulares)

$P^{2} = \frac{4 π^{2} r^{3}}{G (m_{1} + m_{2})}$

Una vez determinado el movimiento relativo, es decir, el radio r que describe la partícula de masa reducida μ, el movimiento de cada una de las estrellas es el siguiente:

La estrella de masa m₁ describe un movimiento circular de radio $r_{1} = \frac{m_{2} r}{m_{1} + m_{2}}$ alrededor del c.m de periodo P.
La estrella de masa m₂ describe un movimiento circular de radio $r_{2} = \frac{m_{1} r}{m_{1} + m_{2}}$ alrededor del c.m y del mismo periodo.

Cuando la masa de una de las partículas es muy grande comparada con la de la otra, el centro de masas coincide aproximadamente con el centro de la primera partícula y podemos suponer que la segunda se mueve alrededor de un centro fijo de fuerzas. Por ejemplo, un satélite artificial que describe una órbita alrededor de la Tierra.

Ejemplo:

Calcular la masa de la Luna conocidos los datos siguientes:

Constante G=6.67·10^-11 Nm²/kg²
Distancia Tierra- Luna r=3.84·10⁸ m
Masa de la Tierra m₁=5.98·10²⁴ kg
Periodo P=2.36·10⁶ s (27.3 días)

De la fórmula del periodo P, se despeja la masa de la Luna m₂=3.73·10²² kg

El valor correcto es 7.34·10²² kg. Nuestro cálculo se basa en un modelo simplificado, que no tiene en cuenta el efecto del Sol sobre el periodo de la Luna, las perturbaciones de otros planetas, y la no esfericidad de la Tierra. La órbita de la Luna no es circular aunque el resultado (tercera ley de Kepler) es válido también para órbitas elípticas.

Hemos mostrado que, en un sistema formado por dos cuerpos que interaccionan de acuerdo con la ley de la Gravitación Universal, conocido el periodo P y la separación r entre ambos (por ejemplo, un sistema binario de estrellas) se puede calcular a partir de la tercera ley de Kepler, la masa combinada m₁+m₂ de los dos cuerpos.

Actividades

Se introduce

La relación de masas m₂/m₁ de las estrellas un número comprendido entre 1 y 10 en el control de edición titulado Cociente masas M2/M1

Se pulsa el botón Empieza.

La masa de la estrella azul m₁ es fija se puede cambiar la masa de la estrella roja. La distancia entre las estrellas permanece fija e igual a una unidad de longitud. Se ha establecido un sistema de unidades tal que el G·m₁=1. El periodo se calcula entonces, mediante la siguiente fórmula

$P^{2} = \frac{4 π^{2}}{(1 + m_{2} / m_{1})}$

Considerar el caso de que ambas estrellas tienen la misma masa.

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