Flexión de una viga en voladizo

En esta página, simularemos una experiencia de laboratorio de fácil diseño que nos permite determinar el módulo de Young de un determinado material.

Se usará una barra empotrada de un determinado material, de longitud L, de anchura a y de espesor b. Se fijará uno de sus extremos y se aplicará una fuerza en su extremo libre. Mediremos el desplazamiento del extremo libre y(L) o flecha en función de la fuerza aplicada F, comprobando su relación de proporcionalidad, mientras que la flexión de la barra sea pequeña.

A continuación, examinaremos la teoría de la flexión de una viga en voladizo en detalle, calculando el desplazamiento de su extremo libre cuando se aplica una fuerza en dicho extremo que produce una flexión considerable.

Este ejemplo, nos permite practicar con procedimientos numéricos aplicados al

Cálculo de la raíz de una ecuación.
Integral definida.

Una viga o una barra delgada son sólidos homogéneos e isótropos cuya longitud es grande comparada con las dimensiones de su sección trasversal.

Cuando una viga flexiona debido a las fuerzas exteriores que se aplican, existen algunas partes de la viga que se acortan y hay otras zonas que se alargan. Pero hay una línea, denominada neutra, que no se acorta ni se alarga. Esta línea se encuentra en el centro de gravedad de la sección trasversal y es la que representaremos en las simulaciones que vienen en esta página y en la siguiente.

Pequeñas flexiones

Consideremos una barra delgada de longitud L en posición horizontal, empotrada por un extremo y sometida a una fuera vertical F en el extremo libre. Determinaremos la forma de la barra y las coordenadas (x_f, y_f) del extremo libre para pequeñas flexiones de la barra.

Supondremos que

La barra tiene una longitud L mucho mayor que las dimensiones de su sección trasversal, y que la deformación debida a su propio peso es despreciable.
Que la sección de la barra no cambia cuando se dobla. Cuando el espesor de la barra es pequeño comparado con el radio de curvatura, la sección trasversal cambia muy poco.

Que en estas condiciones es aplicable la ecuación de Euler-Bernoulli que relaciona el momento flector M de la fuerza aplicada y el radio de curvatura ρ de la barra deformada

$M = \frac{Y \cdot I}{ρ}$

El radio de curvatura de una función y(x) es

$ρ = \frac{d s}{d θ} = \frac{{(1 + {(\frac{d y}{d x})}^{2})}^{3 / 2}}{\frac{d^{2} y}{d x^{2}}}$

Para pequeñas pendientes (dy/dx)²≈0

$\frac{1}{ρ} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$

Si despreciamos el peso de la propia barra, el momento de la fuerza F aplicada en el extremo libre, respecto del punto P (x, y) es M=F(x_f-x)≈F(L-x)

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{F}{Y \cdot I} (L - x)$

Que integramos dos veces con las siguientes condiciones iniciales x=0, y=0, dy/dx=0.

$y = \frac{F L}{2 Y \cdot I} (x^{2} - \frac{x^{3}}{3 L})$

El desplazamiento y_f del extremo libre x=L es proporcional a la fuerza F aplicada

$y_{f} = \frac{L^{3}}{3 Y \cdot I} F$

Y es el módulo de Young del material
I se denomina momento de inercia de la sección trasversal respecto de la fibra neutra

$I = \frac{a b^{3}}{12}$

Se considera que la aproximación de pequeñas flexiones: el desplazamiento y del extremo libre de la barra, es proporcional a la fuerza F aplicada, produce resultados aceptables hasta un cierto valor del parámetro adimensional α<0.375, (véase al final del siguiente apartado) o bien, hasta un valor máximo de la fuerza aplicada F_m=2Y·I·α/L²

Actividades

Se introduce

El material del que está hecho la barra, eligiéndolo en el control selección titulado Material
La longitud de la barra L en cm, actuando en la barra de desplazamiento titulada Longitud.
El espesor b de la barra en mm, actuando en la barra de desplazamiento titulada Espesor.

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

Se pulsa el botón izquierdo del ratón sobre una pesa

de 10 g
de 25 g
de 50 g

se arrastra con el ratón y se cuelga del extremo libre de la barra. El programa interactivo convierte el peso en g en fuerza en N, multiplicando por 10 y dividiendo por 1000. Por ejemplo, un peso de 100 g equivale a una fuerza de 1 N.

Cuando se deja de pulsar el botón izquierdo del ratón, se calcula y se representa la flexión de la barra. Se mide el desplazamiento del extremo libre. Los pares de datos: fuerza (en Newton), desplazamiento (en cm) se guardan en el control área de texto situado a la izquierda del applet.
Se pulsa el botón izquierdo del ratón sobre otra pesa, se arrastra con el ratón y se cuelga del gancho inferior de la pesa precedente. Se puede colgar del extremo libre de la barra hasta cuatro pesas de cada tipo, un máximo de 12 pesas que equivalen a una fuerza de 340 g ó 3.4 N
Cuando se ha recolectado suficientemente número de datos se pulsa en el botón Gráfica. El programa representa los datos "experimentales" y la recta que describe el comportamiento del extremo libre de la barra cuando se aplica una fuerza F en dicho extremo. En la parte superior del applet, se muestra el valor de la pendiente de dicha recta.

Cuando la fuerza F aplicada, es mayor que la fuerza máxima F_m=2Y·I·0.375/L² el programa interactivo no permite colgar del extremo libre pesas adicionales, ya que se supone que la aproximación de pequeñas flexiones deja de ser aplicable.

Ejemplo:

Sea L=30 cm=0.3 m, la longitud de la barra
Sea b=0.78 mm=0.00078 m, el espesor de la barra
La anchura a=0.03 m está fijada por el programa interactivo y no se puede cambiar
Elegimos como material, el Acero

Después de realizar la experiencia. La pendiente de la recta que relaciona la desviación del extremo libre y(L) con la fuerza aplicada F en dicho extremo es

m=3.683 cm/N=0.03683 m/N

El momento de inercia I vale

$I = \frac{1}{12} 0.03 \cdot {0.00078}^{3} = 1.186 \cdot 10^{- 12} m^{4}$

Dada la pendiente (coeficiente de proporcionalidad de F) calculamos el módulo de Young Y

$0.03683 = \frac{{0.3}^{3}}{3 \cdot Y \cdot 1.186 \cdot 10^{- 12}} Y = 2.06 \cdot 10^{11} {N/m}^{2}$

Podemos comparar nuestros cálculos de Y con los proporcionados por el programa interactivo pulsando en el botón titulado Respuesta.

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Arrastre con el ratón la pesa hasta que cuélguela del extremo libre de la barra