Choque frontal de dos esferas que ruedan

En el capítulo de dinámica estudiamos las colisiones frontales de dos partículas, aplicando el principio de conservación del momento lineal y la definición de coeficiente de restitución.

En esta página, vamos a estudiar los choques frontales de dos esferas del mismo radio aunque pueden estar hechas de distintos materiales. Inmediatamente después del choque no se cumple en general, que las esferas rueden sin deslizar, v_c≠ ω ·r.

Velocidades inmediatamente después del choque

Sean dos partículas de masas m₁ y m₂ que tienen velocidades iniciales u₁ y u₂ antes del choque. Calculamos las velocidades v₁ y v₂ de los c.m. de las esferas después del choque.

El principio de conservación del momento lineal

m₁u₁+m₂u₂=m₁v₁+m₂v₂

La definición del coeficiente de restitución e.

v₁-v₂₌-e(u₁-u₂)

Despejamos del sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, las velocidades v₁ y v₂ del c.m. de las esferas después del choque

$v_{1} = \frac{(1 - M e) u_{1} + M (1 + e) u_{2}}{1 + M} v_{2} = \frac{(1 + e) u_{1} + (M - e) u_{2}}{1 + M}$ (1)

donde M=m₂/m₁.

Si suponemos que el rozamiento entre las esferas en el momento en el que entran en contacto es despreciable, las velocidades angulares de rotación no cambian.

ω₁=u₁/r ω₂₌u₂/r (2)

Movimiento después del choque

Inmediatamente después del choque no se cumple en general, que las esferas rueden sin deslizar, v_c≠ ω ·r. Por tanto, como vimos en la página Equilibrio entre el movimiento de traslación y rotación, las fuerzas de rozamiento entre las esferas y el carril sobre el que se mueven restablecerán este equilibrio hasta que se cumpla v_c=ω r. Más abajo, estudiaremos con detalle ejemplos concretos de los distintos movimientos.

Sean μ₁ y μ₂ o bien μ_i(i=1, 2), los coeficientes se las fuerzas de rozamiento entre cada una de las esferas y el carril. Puede ocurrir que la velocidad del punto P de contacto de la rueda con el carril sea positiva o negativa

Si v_p=v_c-ω ·r>0

La fuerza de rozamiento F_r en P es de signo contrario (hacia la izquierda) tal como se muestra en la figura. F_r=μ_i N=μ_i mg.

Las ecuaciones del movimiento de la esfera serán:

Movimiento de traslación del centro de masas (c.m.)

ma_c=-F_r
a_c=- μ_i g.

Como a_c<0, la velocidad v_c del c.m. disminuye

Movimiento de rotación alrededor del un eje que pasa por el c.m.

I_cα =F_r·r

$α = \frac{5 μ_{i} g}{2 r}$

Como α >0, la velocidad angular de rotación ω aumenta

Si v_p=v_c-ω ·r<0

La fuerza de rozamiento F_r en P es de signo contrario (hacia la derecha) tal como se muestra en la figura. F_r=μ_i N=μ_i mg

Las ecuaciones del movimiento de la esfera serán

Movimiento de traslación del centro de masas (c.m.)

ma_c=F_r
a_c=μ_i g

Como a_c>0, la velocidad v_c del c.m. aumenta

Movimiento de rotación alrededor del un eje que pasa por el c.m.

I_cα=-F_r·r

$α = - \frac{5 μ_{i} g}{2 r}$

Como α <0, la velocidad angular de rotación ω disminuye

A partir de las ecuaciones de la cinemática del movimiento rectilíneo y circular uniformemente acelerado, calculamos la velocidad del c.m. v_c y la velocidad angular de rotación ω .

v_c=v₀+a_c·t
ω = ω₀+ α ·t

Movimiento de rodar sin deslizar

En ambos casos v_P<0 y v_P>0, la velocidad del punto P de contacto de la esfera con el carril se anula v_P=0, en el instante t tal que V_c=ω ·r, la esfera rueda sin deslizar. La velocidad final del c.m. de la esfera es independiente del coeficiente de rozamiento μ_i(i=1, 2) entre la esfera y el carril.

$V_{c} = \frac{5 v_{0} + 2 ω_{0} r}{7}$

Para cada una de las esferas, los instantes t₁ y t₂ para los cuales empiezan a rodar sin deslizar a partir del momento del choque, son respectivamente.

$t_{1} = \frac{2 | v_{1} - ω_{1} r |}{7 μ_{1} g} t_{2} = \frac{2 | v_{2} - ω_{2} r |}{7 μ_{2} g}$

Las velocidades finales constantes V₁ y V₂ de las esferas, a partir de los instantes t₁ y t₂ cuando ruedan sin deslizar son, respectivamente:

$V_{1} = \frac{5 v_{1} + 2 ω_{1} r}{7} V_{2} = \frac{5 v_{2} + 2 ω_{2} r}{7}$

donde v₁ y v₂ son las velocidades del c.m. de cada una de las esferas justamente después del choque, y ω₁ y ω₂ son las velocidades angulares que adquieren las esferas en dicho instante, fórmulas (1) y (2).

Los coeficientes de rozamiento μ₁ y μ₂ no intervienen en la velocidad final V₁ y V₂ de las esferas. Solamente en el tiempo t₁ y t₂ que tardan en alcanzar estas velocidades.

Ejemplo

Relación entre las masas de las esferas, M=m₂/m₁=1.0
Velocidades de las esferas antes del choque, u₁=0.75 y u₂=-0.5.
Coeficiente de restitución, e=0.72
Coeficiente de rozamiento entre las esferas y el plano horizontal, μ =0.05.

1.-Velocidades v₁ y v₂ de las esferas inmediatamente después del choque, fórmulas (1)

v₁=-0.325
v₂=0.575

2.- Velocidades angulares ω₁ y ω₂, no cambian en el choque

rω₁=u₁=0.75
rω₂=u₂=-0.5

3.-Movimiento de las esferas después del choque.

Movimiento de la primera esfera

Velocidad del punto P de contacto con el plano horizontal

v_P=v₁-rω₁=-0.325-0.75=-1.075

La fuerza de rozamiento se opone al movimiento de rotación y de traslación, tal como puede verse en la figura

Hasta que se alcanza el equilibrio rotación-traslación (velocidad final igual a velocidad inicial más aceleración por tiempo)

v₁=-0.325+0.05·9.8·t
rω₁=0.75-5·0.05·9.8·t/2

El instante en el que se cumple que v_P=0, la esfera rueda sin deslizar

v₁=rω₁ por tanto, t₁=0.63 s.

La velocidad final cuando la esfera rueda sin deslizar es

V₁=-0.325+0.05·9.8·t₁=-0.02 m/s

Movimiento de la segunda esfera

Velocidad del punto P de contacto con el plano horizontal

v_P=v₂-rω₂=0.575+0.5=1.075

La fuerza de rozamiento se opone al movimiento de rotación y de traslación, tal como puede verse en la figura

Hasta que se alcanza el equilibrio rotación-traslación (velocidad final igual a velocidad inicial más aceleración por tiempo)

v₂=0.575-0.05·9.8·t
rω₂=-0.5+5·0.05·9.8·t/2

El instante en el que se cumple que v_P=0 , la esfera rueda sin deslizar

v₂=rω₂ por tanto, t₂=0.63 s.

La velocidad final cuando la esfera rueda sin deslizar es

V₂=0.575-0.05·9.8· t₂=0.27 m/s

Actividades

Se introduce

Las velocidades de las esferas antes del choque, u₁ y u₂_, en los controles de edición titulados Veloc. esfera 1 y Veloc esfera 2, respectivamente
El coeficiente de restitución e, en el control de edición titulado Coef. restitución
El cociente M=m₂/m₁ entre las masas de las dos esferas, en el control de edición titulado Cociente masas m₂/m₁
El coeficiente de rozamiento entre las esferas y el carril se ha fijado en μ₁= μ₂=0.05, para que se pueda ver la transición hacia el equilibrio (rodar sin deslizar) de las esferas. Este coeficiente, no interviene en las velocidades finales
El radio de las esferas se ha fijado en r=10 cm

Se pulsa el botón titulado Empieza

Se pulsa los botones titulados Pausa/Continua y Paso para acercarse al momento del choque y tomar los valores de las velocidades del c.m. de cada una de las esferas v₁y v₂después del choque.

En el applet podemos ver el balance energético de la colisión. La energía antes del choque, (suma de la energía cinética correspondiente al movimiento de traslación del c.m. y de la energía cinética correspondiente al movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m.) y la energía después del choque en colores más claros.

Se muestra mediante flechas, la velocidad del c.m. de la esfera y la velocidad del punto P de contacto entre la esfera y el carril.

Se sugiere al lector, que estudie los choques elásticos e=1 de dos bolas de billar de la misma masa y radio M=1

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.