• Inicio
• Sólido rígido
• Movimiento general

Choque de dos bolas de billar

Cuando dos bolas de billar chocan, las direcciones de sus velocidades justamente después del choque forman 90º. Sin embargo, deja de cumplirse la condición de que las bolas de billar ruedan sin deslizar, y como consecuencia de ello, la velocidad de su c.m. e incluso sus direcciones cambian durante un cierto tiempo, hasta que se restablece la condición de rodar sin deslizar. Las direcciones finales de las velocidades de las dos bolas dejan de formar 90º.

Una bola de billar rueda sin deslizar sobre el tapete con velocidad u₁ y choca con una bola de billar idéntica en reposo. Vamos a determinar:

1. Las velocidades y direcciones de las bolas de billar inmediatamente después del choque
2. El movimiento posterior de las dos bolas de billar mientras deslizan sobre el tapete
3. Las velocidades finales constantes de las dos bolas de billar y sus direcciones cuando ruedan sin deslizar.

Choque bidimensional

Supondremos que las dos bolas de billar tienen la misma masa m y el mismo radio R, que el choque es perfectamente elástico, e=1. Despreciamos el efecto del rozamiento entre las superficies de las dos bolas en el breve intervalo de tiempo en el que están en contacto en el momento del choque. Las velocidades de los centros de masa de las dos bolas inmediatamente después del choque y sus direcciones están dadas por las expresiones.

V₁=u₁·sinθ
V ₂=u₁·cosθ

b=2R·sinθ
b se denomina parámetro de impacto

En la figura se muestra, las velocidades del c.m. de las esferas y la velocidad angular de rotación, antes del choque y después del choque. La bola incidente rueda sin deslizar, la velocidad de su c.m. u₁ y la velocidad angular de rotación ω₁ forman 90º, la relación entre sus módulos es ω₁=u₁/R.

Después del choque, la velocidad angular de rotación no cambia, pero cambia la velocidad de su c.m. tanto en módulo como en dirección, los vectores V₁ y ω₁ no forman 90º y la relación entre sus módulos ω₁≠V₁/R.

Consideremos la bola que estaba inicialmente en reposo, su c.m. adquiere después del choque, una velocidad V₂ formando un ángulo θ con el eje X , pero no tiene velocidad angular inicial de rotación, tampoco se cumple la condición de rodar sin deslizar ya que ω₂≠V₂/R.

Movimiento de la bola incidente después del choque

La bola incidente tiene una velocidad u₁ y rueda sin deslizar lo largo del eje X, su velocidad angular de rotación vale u₁/R y su dirección es el eje Y,

ω_1x=0
ω_1y=u₁/R,

La bola incidente inmeditamente después del choque adquiere una velocidad V₀=u₁·senθ, y se mueve en una dirección que hace un ángulo 90-θ con el eje X. La velocidad angular de rotación no cambia si despreciamos el efecto del rozamiento entre las superficies de las dos bolas en el breve intervalo de tiempo en el que están en contacto en el momento del choque. Las componentes de la velocidad de su c.m. son

V_0x= u₁·sin²θ
V_0y= u₁·sinθ·cosθ

Las componentes de la velocidad angular de rotación son

ω_0x=0
ω_0y=u₁/R

Las componentes de la velocidad del punto P de contacto de la bola con el plano horizontal son,

v_0x=V_0x-ω_0y·R= u₁·sin²θ- u₁=-u₁·cos²θ
v_0y=V_0y+ω_0x·R = u₁·sinθ·cosθ

El módulo de la velocidad inicial del punto P vale

v₀= u₁·cosθ

El movimiento del c.m. es la composición de dos movimientos uniformemente acelerados.

Las componentes de la velocidad del c.m. son

${\displaystyle \begin{array}{l}{V}_x=V_{0x}-\mu g\frac{v_{0x}}{\sqrt{v_{0x}^2+v_{0y}^2}}t=u_1{\text{sin}}^2\theta +\mu g\cos \theta ·t\\ V_y=V_{0y}-\mu g\frac{v_{0y}}{\sqrt{v_{0x}^2+v_{0y}^2}}t=u_1\text{sin}\theta ·\cos \theta -\mu g\text{sin}\theta ·t\end{array}}$

Si la bola parte del origen en el instante t=0, la posición del c.m. en función del tiempo es

${\displaystyle \begin{array}{l}x=V_{0x}t-\frac{1}{2}\mu g\frac{v_{0x}}{\sqrt{v_{0x}^2+v_{0y}^2}}{t}^2=u_1{\text{sin}}^2\theta ·t+\frac{1}{2}\mu g\cos \theta ·t^2\\ y=V_{0y}t-\frac{1}{2}\mu g\frac{v_{0y}}{\sqrt{v_{0x}^2+v_{0y}^2}}{t}^2=u_1\text{sin}\theta ·\cos \theta ·t-\frac{1}{2}\mu g\text{sin}\theta ·t^2\end{array}}$

Si en el instante t=0, las componentes de la velocidad angular de rotación ω, son ω_0x=0 y ω_0y=u₁/R. Las componentes de la velocidad angular de rotación de la bola en el instante t son

${\displaystyle \begin{array}{l}R{\omega }_x=R{\omega }_{0x}-\frac{5}{2}\mu g\frac{v_{0y}}{\sqrt{v_{0x}^2+v_{0y}^2}}t=-\frac{5}{2}\mu g\text{sin}\theta ·t\\ R{\omega }_y=R{\omega }_{0y}+\frac{5}{2}\mu g\frac{v_{0x}}{\sqrt{v_{0x}^2+v_{0y}^2}}t=u_1-\frac{5}{2}\mu g\cos \theta ·t\end{array}}$

La bola comienza a rodar sin deslizar en el instante t₁ en el que la velocidad del punto P de contacto de la bola con el plano horizontal  es nula

0=V_x-ω_y·R
0=V_y+ω_x·R

Despejamos el tiempo t,

${\displaystyle t_1=\frac{2}{7}\frac{u_1\cos \theta }{\mu g}}$

La velocidad constante del c.m. de la bola en este instante es

${\displaystyle \begin{array}{l}{V}_{1x}=\frac{5}{7}{u}_1\left({\text{sin}}^2\theta +\frac{2}{5}\right)\\ V_{1y}=\frac{5}{7}{u}_1\text{sin}\theta \cos \theta \end{array}}$

El ángulo que forma el vector velocidad V₁ con el eje X es

${\displaystyle \tan \varphi =\frac{V_{1y}}{V_{1x}}=\frac{\text{sin}\theta ·\cos \theta }{{\text{sin}}^2\theta +\frac{2}{5}}}$

Las componentes de la velocidad angular de rotación en este instante son

${\displaystyle \begin{array}{l}R{\omega }_{1x}=-\frac{5}{7}{u}_1\text{sin}\theta ·\cos \theta \\ R{\omega }_{1y}=\frac{5}{7}{u}_1\left({\text{sin}}^2\theta +\frac{2}{5}\right)\end{array}}$

Ya que Rω1x=-V1y y Rω1y=V1x. El vector velocidad angular ω, es perpendicular al vector velocidad del c.m. V, ya que el producto escalar ω·V=0 La relación ente sus módulos es V=R·ω

La posición del c.m. de la bola en este instante es

${\displaystyle \begin{array}{l}{x}_1=\frac{2}{7}\frac{u_1^2\cos \theta }{\mu g}\left(1-\frac{6}{7}{\cos }^2\theta \right)\\ y_1=\frac{2}{7}\frac{u_1^2\cos \theta }{\mu g}\left(\frac{6}{7}\text{sin}\theta ·\cos \theta \right)\end{array}}$

Movimiento de la bola inicialmente en reposo después del choque

El c.m. de la bola inicialmente en reposo después del choque adquiere una velocidad V₀=u₁·cosθ, y se mueve en una dirección que hace un ángulo -θ con el eje X. La velocidad angular de rotación ω₀ que inicialmente es cero, no cambia si despreciamos el efecto del rozamiento entre las superficies de las dos bolas en el breve intervalo de tiempo en el que están en contacto en el momento del choque.

La bola se mueve a lo largo de la dirección que forma un ángulo θ con el eje X, sin desviarse. La fuerza de rozamiento F_r=μmg disminuye la velocidad del c.m. y aumenta la velocidad de rotación hasta que se cumpla la condición V=ω·R

Como la velocidad inicial de rotación es cero, la velocidad inicial del punto P de contacto de la bola con el plano horizontal vale

v₀= u₁·cosθ

La fuerza de rozamiento se opone a esta velocidad. La ecuación del movimiento del c.m. es

${\displaystyle m\frac{dV}{dt}=-\mu mg}$

La velocidad V del c.m. en instante t es

V= u₁·cosθ-μg·t

La posición s del c.m. en el instante t es

s= u₁·cosθ·t-μg·t²/2

Las coordenadas del c.m. son x=s·cosθ, y=-s·sinθ

Sabiendo que el momento de inercia de una esfera es 2mR²/5

La ecuación de la dinámica de rotación es

${\displaystyle \frac{2}{5}m{R}^2\frac{d\omega }{dt}=\mu mgR}$

La velocidad angular de rotación ω en instante t es

ωR= 5μg·t/2

La bola comienza a rodar sin deslizar en el instante t₂ en el que la velocidad del punto P de contacto de la bola con el plano horizontal  es nula

0=V-ω·R

Despejamos el tiempo t,

${\displaystyle t_2=\frac{2}{7}\frac{V_0}{\mu g}=\frac{2}{7}\frac{u_1\cos \theta }{\mu g}}$

que es el mismo que t₁

La velocidad constante del c.m. de la bola de billar es

${\displaystyle V_2=\frac{5}{7}{u}_1\cos \theta }$

En el instante t₂ la bola se encuentra a una distancia del origen,

${\displaystyle s_2=\frac{12}{49}\frac{u_1^2{\cos }^2\theta }{\mu g}}$

a lo largo de la recta que forma un ángulo –θ con el eje X.

Velocidades finales constantes de las dos bolas de billar

El ángulo entre los vectores velocidad V1 y V2 a partir del instante tr=t1=t2 es la suma del ángulo φ que forma el vector V1 con el eje X, y del ángulo θ que forma el vector V2 con el eje X.

${\displaystyle \Phi =\arctan \left(\frac{\beta ·\sqrt{1-{\beta }^2}}{{\beta }^2+\frac{2}{5}}\right)+\text{arcsin}\beta \text{sin}\theta =\beta =\frac{b}{2R}}$

En la figura, se representa este ángulo Φ en función de la fracción β=b/(2R) del parámetro de impacto. Este ángulo difiere de 90º que es el ángulo entre las direcciones de las velocidades de las bolas de billar inmediatamente después del choque.

A partir del instante t_r el movimiento de las dos bolas de billar es rectilíneo y uniforme

• La primera bola

x=x₁+V_1x(t-t_r)
y=y₁+V_1y (t-t_r)

• La segunda bola

s=s₂+V₂(t-t_r)

a lo largo de la recta que forma un ángulo –θ con el eje X.

Balance energético

Energía inicial antes del choque es la energía cinética de traslación del c.m. de la bola incidente con velocidad u₁ y de rotación u₁/R alrededor de un eje que pasa por su c.m.

${\displaystyle E_i=\frac{1}{2}m{u}_1^2+\frac{1}{2}\left(\frac{2}{5}m{R}^2\right)\frac{u_1^2}{R^2}=\frac{1}{2}\frac{7}{5}m{u}_1^2}$

Como el choque es elástico, la energía total no cambia. Disminuye la energía de la bola incidente, y aumenta la energía de la bola que estaba inicialmente en reposo

La energía final de ambas partículas a partir del instante t>t_r cuando ambas ruedan sin deslizar con velocidad constante sobre el plano horizontal es

${\displaystyle \begin{array}{l}{E}_f=\frac{1}{2}m{V}_1^2+\frac{1}{2}\left(\frac{2}{5}m{R}^2\right)\frac{V_1^2}{R^2}+\frac{1}{2}m{V}_2^2+\frac{1}{2}\left(\frac{2}{5}m{R}^2\right)\frac{V_2^2}{R^2}=\frac{1}{2}\frac{7}{5}m\left(V_1^2+V_2^2\right)=\\ \frac{1}{2}\frac{5}{7}m{u}_1^2\left(\frac{29}{25}+\frac{4}{5}{\text{sin}}^2\theta \right)\end{array}}$

Actividades

Se introduce

• La velocidad inicial u₁, actuando en la barra de desplazamiento titulada Velocidad

• La fracción b/(2R) del parámetro de impacto, en la barra de desplazamiento titulada P. impacto.

• El coeficiente de rozamiento μ, en el control de edición titulada Coef. rozamiento.

Se pulsa el botón titulado Empieza

Se observa la trayectoria del c.m. de las dos bolas de billar.

Se dibujan los vectores

• Velocidad de traslación del c.m. V, en color azul

• Velocidad angular de rotación, ω·R, en color rojo

• Velocidad del punto P de contacto de la esfera con el plano horizontal v, en color negro

La velocidad del punto P va disminuyendo hasta que se hace cero, en el instante t_r.

Los vectores velocidad angular de rotación ωR, y velocidad de traslación del c.m. V, van cambiando de módulo y dirección hasta que sus direcciones se hacen perpendiculares y sus módulos se igualan.

La dirección del vector V es tangente a la trayectoria.

A partir del instante t_r, el c.m. sigue una trayectoria rectilínea, los vectores V, y ωR no cambian de módulo ni de dirección.

En la parte superior izquierda del applet, se proporcionan los datos relativos a la bola de billar incidente

• Componentes de la velocidad del c.m. V_1x, V_1y
• Componentes de la velocidad angular de rotación R·ω_1x, R·ω_1y
• Componentes de la velocidad del punto P de contacto de la bola con el plano horizontal, v_1x, v_1y

En la parte inferior izquierda del applet, se proporcionan los datos relativos a la bola que estaba inicialmente en reposo

• La velocidad del c.m. V₂, la dirección θ de la velocidad es, senθ=b/(2R), con el eje X.
• La velocidad angular de rotación R·ω₂
• La velocidad del punto P de contacto de la bola con el plano horizontal, v₂

Se señala la posición de las bolas en el instante t_r, cuando las bolas de billar comienzan a rodar sin deslizar, manteniendo su velocidad constante tanto en módulo como en dirección

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Referencias

Wallace R. E., Schroeder M. C. Analysis of billiard ball collisions in two dimensions. Am. J. Phys. 56 (9) September 1988, pp. 815-819

Curso Interactivo de Física en Internet © Ángel Franco García