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Percusión en una bola de billar

En esta página, se estudia el movimiento de una bola de billar sobre la superficie plana de un tapiz sometida a un impacto o percusión localizada en un punto del plano vertical que pasa por el centro de la bola. Supondremos que el tiempo de impacto es muy pequeño.

La fuerza de la colisión con el taco determina la velocidad inicial de traslación de la bola. Por otro lado, el taco genera un momento que produce una velocidad inicial de rotación alrededor del centro de la bola de billar.

Movimiento de la bola con sobregiro

En la figura, observamos todas las fuerzas que actúan sobre la bola de billar cuando el taco golpea la bola a una altura h por encima del tapiz.

La fuerza F que actúa sobre el punto B y forma un ángulo Φ =ø +θ con la vertical. El peso mg que actúa en el centro de la bola. La reacción del plano horizontal que actúa en el punto de contacto A y vale NA=mg+FcosΦ El rozamiento por deslizamiento en A que vale RA=μANA

La fuerza de rozamiento R_A se opone a la velocidad en el punto A, puede estar en el sentido indicado o en sentido contrario según que la velocidad de A sea negativa o positiva.

La fuerza F que actúa en B se puede descomponer en otras dos, una componente en la dirección radial N_B y otra en la dirección tangencial R_B. Ambas están relacionadas

R_B=μ_BN_B con μ_B=tanø

Donde μ_B es el coeficiente dinámico de rozamiento entre el taco y la bola, el cual puede ser modificado a voluntad por el jugador con la tiza.

Conociendo las fuerzas que actúan sobre la bola y el tiempo τ que actúan sobre la misma podemos determinar la velocidad inicial de traslación V₀ del c.m. y la velocidad inicial de rotación ω₀. Las ecuaciones del impulso lineal y del impulso angular se escriben

${\displaystyle \begin{array}{l}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\tau }{\int }}\left((F\sin \Phi +R_A\right)dt=m{V}_0}\\ {\displaystyle \underset{0}{\overset{\tau }{\int }}\left(rF\sin \phi \right)}dt=I_c{\omega }_0\end{array}}$

Donde R_B=F·sinø . Vamos a suponer que durante el breve intervalo de tiempo τ que dura el impacto, se puede despreciar el rozamiento R_A de la bola con el tapiz, frente a la componente horizontal F·sinΦ de la fuerza que ejerce el taco, con tal que el rozamiento R_B del taco y la bola sea suficientemente grande y el golpe no sea demasiado alto $h\to 2r$ . Bajo estas condiciones las ecuaciones del impulso lineal y angular se convierten en

${\displaystyle \begin{array}{l}\sin \Phi {\displaystyle \underset{0}{\overset{\tau }{\int }}Fdt}=m{V}_0\\ r\sin \phi {\displaystyle \underset{0}{\overset{\tau }{\int }}Fdt}=I_c{\omega }_0\end{array}}$

El impulso de la fuerza F es la cantidad desconocida que eliminamos de ambas ecuaciones. Para una esfera de masa m y radio r, el momento de inercia I_c=2mr²/5. La relación entre las velocidades iniciales de traslación del c.m.V₀ y de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m. ω₀ es

${\displaystyle {\omega }_0=\frac{5V_0\sin \phi }{2r\sin \Phi }}$

Teniendo en cuenta que μ_B=tanø , Φ =ø +θ , y que la altura h y el ángulo θ están relacionados por $\cos \theta =\frac{h-r}{r}$ . La siguiente expresión relaciona las velocidades iniciales de traslación y rotación de la bola de billar

${\displaystyle {\omega }_0=\frac{5V_0}{2r}\frac{{\mu }_B}{\beta {\mu }_B+\sqrt{1-{\beta }^2}}}$

donde hemos puesto β =cosθ  para simplificar la expresión final.

La velocidad inicial del punto de contacto A entre la bola y el tapiz se puede obtener sumando la velocidad correspondiente al movimiento de traslación con la velocidad correspondiente al movimiento de rotación

${\displaystyle \begin{array}{l}{\left(V_A\right)}_0=V_0-{\omega }_{0}r\\ {\left(V_A\right)}_0=V_0\left(1-\frac{5}{2}\frac{{\mu }_B}{\beta {\mu }_B+\sqrt{1-{\beta }^2}}\right)\end{array}}$

Esta velocidad es positiva (negativa) según que μ_B sea menor (mayor) que el parámetro k_β definido por

${\displaystyle k_B=\frac{2\sqrt{1-{\beta }^2}}{5-2\beta }}$

Una vez establecidas las condiciones iniciales del movimiento con sobregiro, veamos el movimiento en ausencia de la fuerza F de impacto del taco con la bola.

Consideremos estos dos casos:

La velocidad inicial del punto de contacto A de la bola con el tapiz es negativa

La fuerza de rozamiento R_A será positiva.

Las ecuaciones del movimiento de traslación del c.m. y de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m. son:

ma_c=R_A
I_cα =-rR_A

Con N_A=mg, y R_A=μ_AN_A

La velocidad del c.m. crece y la velocidad de rotación decrece

${\displaystyle \begin{array}{l}{v}_c=V_0+{\mu }_{A}gt\\ \omega ={\omega }_0-\frac{{\mu }_{A}mgr}{I_c}t\end{array}}$

La velocidad del punto de contacto A viene dada por V_A=v_c-ω r y llegará un momento que se anule a partir del cual la bola de billar rodará sin deslizar con velocidad constante.

${\displaystyle v_c=\frac{5V_0}{7}\left(\frac{{\mu }_B}{\beta {\mu }_B+\sqrt{1-{\beta }^2}}+1\right)}$

La velocidad inicial del punto de contacto A de la bola con el tapiz es positiva

La fuerza de rozamiento R_A será negativa

Como hay dos movimientos uno de rotación y otro de traslación habrá que plantear dos ecuaciones

ma_c=-R_A
I_cα =rR_A

Con N_A=mg, y R_A=μ_AN_A

La velocidad del c.m. decrece y la velocidad de rotación crece

${\displaystyle \begin{array}{l}{v}_c=V_0-{\mu }_{A}gt\\ \omega ={\omega }_0+\frac{{\mu }_{A}mgr}{I_c}t\end{array}}$

La velocidad del punto de contacto A viene dada por V_A=v_c-ω r y llegará un momento que se anule a partir del cual la bola de billar rodará sin deslizar con velocidad constante.

${\displaystyle v_c=\frac{5V_0}{7}\left(\frac{{\mu }_B}{\beta {\mu }_B+\sqrt{1-{\beta }^2}}+1\right)}$

Ejemplo

Como vemos en las fórmulas la velocidad final de la bola, no depende directamente del radio de la bola sino de un parámetro adimensional $\beta =\frac{h-r}{r}$ .

Datos fijados en el programa interactivo

Radio de la esfera r	5 mm
Velocidad inicial V0	1 m/s
Coeficiente de rozamiento (bola-tapiz) μA	0.2

• Velocidad inicial de A negativa

Datos introducidos por el usuario.

Coeficiente de rozamiento (taco-bola) μ B	0.6
Altura del taco sobre el suelo h	7 mm

En este caso β =0.4, y μ_B>k_β =0.43

Estamos en el caso que (V_A)₀ es negativa. El tiempo que tarda en rodar sin deslizar es de 0.043 s. Y la velocidad final constante del c.m. es de 1.08 m/s.

• Velocidad inicial de A positiva

Datos introducidos por el usuario

Coeficiente de rozamiento (taco-bola) μ B	0.3
Altura del taco sobre el suelo h	7 mm

En este caso β =0.4, y μ_B<k_β =0.43 

Estamos en el caso que (V_A)₀ es positiva. El tiempo que tarda en rodar sin deslizar es de 0.040 s. Y la velocidad final constante del c.m. es de 0.92 m/s.

Movimiento de la bola con contragiro

El planteamiento es similar al movimiento de la bola con sobregiro. Sin embargo, hay algunas diferencias

La reacción del tapiz en A es

N_A=mg-FcosФ, con  Φ =ø +θ

Para impactos grandes se puede hacer que la bola abandone el tapiz. En lo sucesivo supondremos que N_A es positivo, y que este caso no sucede.

La velocidad en el punto de contacto A de la bola con el tapiz es siempre positiva ${\left(V_A\right)}_0=V_0+{\omega }_{0}r$

Aplicando las ecuaciones del impulso lineal y del impulso angular y suponiendo que la fuerza de rozamiento R_A es pequeño frente a la componente horizontal de la fuerza de impacto durante el breve periodo τ que dura el contacto del taco con la bola, obtenemos la relación entre la velocidad inicial del c.m. y la velocidad angular inicial de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m.

${\displaystyle {\omega }_0=\frac{5V_0}{2r}\frac{{\mu }_B}{\beta {\mu }_B+\sqrt{1-{\beta }^2}}}$

y a continuación, la velocidad inicial del punto de contacto A de la bola con el tapiz

${\displaystyle {\left(V_A\right)}_0=V_0\left(1+\frac{5}{2}\frac{{\mu }_B}{\beta {\mu }_B+\sqrt{1-{\beta }^2}}\right)}$

ahora el parámetro β vale $\beta =\cos \theta =\frac{r-h}{r}$ , ya que h es menor que r.

Estas ecuaciones son válidas salvo en el caso de que los golpes muy bajos $h\to 0$ .

Una vez establecidas las condiciones iniciales del movimiento con contragiro, veamos el movimiento en ausencia de la fuerza F de impacto del taco con la bola.

Se anula la velocidad angular

Las ecuaciones del movimiento de traslación del c.m. y de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m. son:

ma_c=-R_A
I_cα =-rR_A

Con N_A=mg, y R_A=μ_AN_A

La velocidad del c.m. decrece y la velocidad de rotación también decrece

${\displaystyle \begin{array}{l}{v}_c=V_0-{\mu }_{A}gt\\ \omega ={\omega }_0-\frac{{\mu }_{A}mgr}{I_c}t\end{array}}$

Aquí surgen dos posibilidades que v_c se anule antes que ω o bien, que ω se anule antes que v_c. Normalmente, se anula ω antes que v_c de modo que la bola no retrocede.

La velocidad angular se hace cero ω =0 en el instante

${\displaystyle t_1=\frac{V_0}{{\mu }_{A}g}\frac{{\mu }_B}{\beta {\mu }_B+\sqrt{1-{\beta }^2}}}$

en dicho instante la velocidad del c.m. es

${\displaystyle v_{c1}=V_0\left(1-\frac{{\mu }_B}{\beta {\mu }_B+\sqrt{1-{\beta }^2}}\right)}$

Se establece el movimiento de rodar sin deslizar

En el momento en que se anula la velocidad angular de rotación, la velocidad del centro de masas y la velocidad del punto de contacto A de la bola con el tapiz se igualan. A partir de ese instante, la fricción R_A entre la bola y el tapiz hace que aparezca una velocidad angular de rotación.

Las ecuaciones del movimiento de traslación y de rotación son

ma_c=-R_A
I_cα =rR_A

Para t>t₁ las velocidades de traslación del c.m. y de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m. serán, respectivamente

${\displaystyle v_c=v_{c1}-{\mu }_{A}gt\omega =\frac{{\mu }_{A}mgr}{I_c}t}$

Como v_c disminuye y ω aumenta llegará un momento en el que la velocidad del punto de contacto A, V_A=v_c-ω r se anule, en dicho instante la rueda comienza a rodar sin deslizar con velocidad constante

${\displaystyle v_c=\frac{5V_0}{7}\left(1-\frac{{\mu }_B}{\beta {\mu }_B+\sqrt{1-{\beta }^2}}\right)}$

Ejemplo

La fórmula la velocidad final de la bola, no depende directamente del radio r de la bola sino de un parámetro adimensional $\beta =\frac{h-r}{r}$

Datos fijados en el programa interactivo

Radio de la esfera r	5 mm
Velocidad inicial V0	1 m/s
Coeficiente de rozamiento (bola-tapiz) μA	0.2

Datos introducidos por el usuario.

Coeficiente de rozamiento (taco-bola) μB	0.3
Altura del taco sobre el suelo h	2 mm

En este caso β =0.6

La velocidad angular de rotación se hace cero en el instante 0.156 s. La velocidad de traslación es de 0.69 m/s.

Luego, vuelve a incrementarse la velocidad angular de rotación (pero en sentido contrario) hasta que la velocidad del punto A de contacto de la bola con el tapiz se hace cero y la bola rueda sin deslizar.

El tiempo total que transcurre es de 0.257 s y el c.m. alcanza una velocidad constante de 0.50 m/s.

Impacto en el centro de la bola

Cuando se el taco impacta en posición h=r, la fuerza F que actúa sobre la bola es horizontal.

De nuevo suponemos que la fuerza de rozamiento R_A es despreciable frente a la fuerza F que actúa sobre la bola.

El momento de dicha fuerza F respecto del c.m. es cero, por tanto la bola no tiene velocidad angular inicial.

De la ecuación del impulso lineal obtendríamos la velocidad V₀ del c.m. de la bola si conociéramos la fuerza F y el tiempo τ que actúa sobre la misma.

${\displaystyle {\displaystyle \underset{0}{\overset{\tau }{\int }}Fdt}=m{V}_0}$

La bola se mueve con una velocidad inicial de traslación V₀, la fuerza de rozamiento en el punto de contacto entre la bola y el tapiz hace que esta gire y por tanto disminuya la velocidad en el punto de contacto A de la bola con el tapiz.

Las ecuaciones del movimiento de traslación del c.m. y de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m. son:

ma_c=-R_A
I_cα =rR_A

Con N_A=mg, y R_A=μ_AN_A

La velocidad del c.m. disminuye y la velocidad angular de rotación aumenta.

${\displaystyle \begin{array}{l}{v}_c=V_0-{\mu }_{A}gt\\ \omega =\frac{{\mu }_{A}mgr}{I_c}t\end{array}}$

Al cabo de un cierto tiempo t, la velocidad del punto A se hace cero, y la bola rueda sin deslizar con velocidad constante.

${\displaystyle v_A=v_c-\omega r}$

v_A es cero en el instante $t=\frac{2V_0}{7{\mu }_{A}g}$ ,

En dicho instante la velocidad constante del c.m. es

${\displaystyle v_c=\frac{5V_0}{7}}$

Ejemplo

Datos fijados en el programa interactivo

Radio de la esfera r	5 mm
Velocidad inicial V0	1 m/s
Coeficiente de rozamiento (bola-tapiz) μA	0.2

Datos introducidos por el usuario

Coeficiente de rozamiento (taco-bola) μB	No influye
Altura del taco sobre el suelo h	5 mm

La velocidad del punto de contacto A de la bola con el suelo se hace cero en el instante t=0.145 s. A partir de este instante, la bola rueda sin deslizar con velocidad constante v_c=0.71 m/s.

Actividades

Se introduce

• Coeficiente de rozamiento (taco-bola) μ_B, actuando en la barra de desplazamiento titulada Coef. Rozamiento
• La altura del taco sobre el suelo h, actuando en la barra de desplazamiento titulada Altura
• El radio de la esfera se ha fijado en r=5 mm
• La velocidad inicial de traslación del c.m. en V₀=1 m/s
• El coeficiente de rozamiento (bola-tapiz) μ_A=0.2

Se pulsa el botón titulado Empieza

Observar el movimiento de traslación del c.m. y de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m. de la bola de billar

Una flecha nos muestra la velocidad del punto de contacto de la bola de billar con el tapete. Cuando la velocidad de este punto es cero, la bola de billar rueda sin deslizar con velocidad constante.

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Referencias

Jiménez F. Mecánica del billar I: Movimiento de la bola sobre el tapiz. Revista Española de Física. V-3, nº 1, 1989, págs. 31-41

Curso Interactivo de Física en Internet © Ángel Franco García