Conducción del calor en una esfera homogénea

En la página anterior, estudiamos la conducción del calor a lo largo de una barra de longitud L. El régimen variable general de temperaturas de la barra es la suma del estado estacionario más el estado transitorio. Las condiciones de contorno y la distribución inicial de temperaturas en el instante t=0, nos permiten determinar la temperatura en cada punto x de la barra y en cada instante t, es decir, la función de dos variables T(x,t).

En esta página, se estudia un ejemplo similar, una esfera cuya temperatura inicial T₀ es uniforme y se sumerge en un baño térmico a la temperatura T_s.

Ecuación de la conducción del calor en una esfera homogénea

La ecuación de la conducción del calor en un medio homogéneo e isótropo tridimensional es

$\frac{1}{α} \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial^{2} T}{\partial^{2} x} + \frac{\partial^{2} T}{\partial^{2} y} + \frac{\partial^{2} T}{\partial^{2} z} α = \frac{K}{ρ c}$

ρ es la densidad
c es el calor específico
K es la conductividad térmica

Si consideramos una esfera de radio R en la cual la distribución inicial de temperaturas y las condiciones de contorno tienen simetría esférica. Las superficies isotérmicas son superficies esféricas concéntricas y la temperatura es una función únicamente de la distancia radial r y del tiempo t.

En este ejemplo: la esfera se calienta hasta una temperatura uniforme T₀ (distribución inicial de temperaturas T(r, 0)=T₀. En el instante t=0, se suerje en un recipiente grande de agua a temperatura T_s que es continuamente agitada. La condición de contorno es por tanto, T(R, t)=T_s.

En el estado estacionario, después de un tiempo t→∞, la temperatura final de la esfera será T_s, la temperatura del baño térmico.

La ecuación de la conducción del calor apropiada para resolver este problema es

$\begin{array}{l} \frac{1}{α} \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r} (r^{2} \frac{\partial T}{\partial r}) \\ \frac{1}{α} \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{2}{r} \frac{\partial T}{\partial r} + \frac{\partial^{2} T}{\partial r^{2}} \end{array}$

Si hacemos la sustitución V=r·T nos queda la educación diferencial en derivadas parciales

$\frac{\partial V}{\partial t} = α \frac{\partial^{2} V}{\partial^{2} r}$

como comprobamos a continuación

$\begin{array}{l} r \frac{\partial T}{\partial t} = α \frac{\partial}{\partial r} (T + r \frac{\partial T}{\partial r}) \\ r \frac{\partial T}{\partial t} = α (2 \frac{\partial T}{\partial r} + r \frac{\partial^{2} T}{\partial r^{2}}) \\ \frac{\partial T}{\partial t} = α (\frac{2}{r} \frac{\partial T}{\partial r} + \frac{\partial^{2} T}{\partial r^{2}}) \end{array}$

Buscamos soluciones de la forma V(r, t)=F(r)·G(t) (factores de variables separadas)

$\begin{array}{l} \frac{\partial V (r, t)}{\partial t} = α \frac{\partial^{2} V (r, t)}{\partial^{2} r} \\ \frac{1}{α} \frac{1}{G (t)} \frac{d G (t)}{d t} = \frac{1}{F (r)} \frac{d^{2} F (r)}{d^{2} r} = - ω^{2} \end{array}$

El signo negativo asegura el carácter transitorio.

Integramos la primara ecuación diferencial

$\begin{array}{l} \frac{d G (t)}{d t} + α ω^{2} G (t) = 0 \\ G (t) = G (0) \cdot \exp (- α ω^{2} t) \end{array}$

Integramos la segunda ecuación diferencial

$\frac{d^{2} F (r)}{d^{2} r} + ω^{2} F (r) = 0$

Es una ecuación diferencial similar a la de un MAS. La solución es a·sin(ωr+δ)

El régimen variable general de temperaturas de esfera es la suma del estado estacionario más el estado transitorio

$V (r, t) = r \cdot T (r, t) = r T_{s} + \sum_{n} a_{n} \sin (ω_{n} r + δ_{n}) \cdot \exp (- α ω_{n}^{2} t)$

La forma precisa de la solución depende de las condiciones de contorno y de la distribución inicial de temperaturas.

En el estado inicial t=0, las temperaturas de todos los puntos de la esfera es la misma T₀. La temperatura del centro de la esfera es T(0, 0)=T₀

$\begin{array}{l} 0 \cdot T (0,0) = 0 \cdot T_{0} = 0 \cdot T_{s} + \sum_{n} a_{n} \sin (δ_{n}) \\ \sum_{n} a_{n} sen (δ_{n}) = 0 δ_{n} = 0 \end{array}$

Condición de contorno,

La esfera está en un baño térmico a temperatura T_s, su superficie está a esta temperatura fija que expresamos mediante la ecuación T(R, t)=T_s

$\begin{array}{l} R \cdot T (R, t) = R \cdot T_{s} = R T_{s} + \sum_{n} a_{n} \sin (ω_{n} r) \cdot \exp (- α ω_{n}^{2} t) \\ \sum_{n} a_{n} \sin (ω_{n} R) \cdot \exp (- α ω_{n}^{2} t) = 0 ω_{n} R = n π \end{array}$

El régimen variable general de temperaturas de la esfera es

$r \cdot T (r, t) = r T_{s} + \sum_{n} a_{n} \sin (\frac{n π}{R} r) \cdot \exp (- α \frac{n^{2} π^{2}}{R^{2}} t)$

Distribución inicial de temperaturas

Solamente, queda por determinar los coeficientes a_n, lo que se conseguirá identificando esta solución con la distribución inicial de temperaturas en la barra T(r, 0)=T₀ en el instante t=0.

$\begin{array}{l} r \cdot T_{0} = r T_{s} + \sum_{n} a_{n} \sin (\frac{n π}{R} r) \\ (T_{0} - T_{s}) r = \sum_{n} a_{n} \sin (\frac{n π}{R} r) f (r) = (T_{0} - T_{s}) r \end{array}$

La parte derecha de la igualdad, es el desarrollo en serie de una función f(r) impar, ya que carece del término independiente y de los términos en coseno. El periodo de f(r) es 2R y se extiende desde –R a +R.

Efectuamos el cambio de variable z=πr/R

$\begin{array}{l} a_{n} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} f (\frac{R}{π} z) \cdot \sin (n z) d z \\ a_{n} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} (T_{0} - T_{s}) \frac{R}{π} z \cdot \sin (n z) d z \end{array}$

Teniendo en cuenta el resultado de la integral

$\frac{2}{π} \int_{0}^{π} (a + b z) \sin (n z) d z = {\begin{cases} \frac{2}{n π} (2 a + b π) n impar \\ - \frac{2 b}{n} n par \end{cases}$

Los coeficientes a_n del desarrollo en serie valen

$a_{n} = {\begin{cases} \frac{2 R}{n π} (T_{0} - T_{s}) n impar \\ - \frac{2 R}{n π} (T_{0} - T_{s}) n par \end{cases}} = {(- 1)}^{n + 1} \frac{2 R}{n π} (T_{0} - T_{s})$

La temperatura en cualquier punto a una distancia r del centro de la esfera, en un instante t, se compone de la suma de la temperatura en el estado estacionario T_s y de una serie rápidamente convergente que describe el estado transitorio.

$T (r, t) = T_{s} + \frac{2 R}{π r} (T_{0} - T_{s}) \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{n} \sin (\frac{n π}{R} r) \exp (- α \frac{n^{2} π^{2}}{R^{2}} t)$

Temperatura en el centro de la esfera cuando r→0

$\lim_{r \to 0} \frac{\sin (n r \frac{π}{R})}{n r} = \frac{π}{R}$

en función del tiempo t

$T (0, t) = T_{s} + 2 (T_{0} - T_{s}) \sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1} \exp (- α \frac{n^{2} π^{2}}{R^{2}} t)$

Actividades

Se introduce

El parámetro α=K/(ρc), en unidades de 10^-7 m²/s actuando en la barra de desplazamiento titulada Parámetro α.
El radio R de la esfera en cm, actuando en la barra de desplazamiento titulada Radio.

Se pulsa el botón titulado Inicio

Se establece la temperatura uniforme de la esfera T₀ y la temperatura del baño térmico, T_s arrastrando con el puntero del ratón las flechas de color azul situadas al lado de los termómetros.

Se pulsa el botón titulado Empieza

La esfera se sumerge en el baño térmico

Observamos los cambios de temperatura T(0, t) que señala el termómetro situado en el centro de la esfera con el tiempo t medidos en minutos.

Activamos la casilla titulada Gráfica

Pulsamos el botón titulado Empieza

Se representa los cambios de la temperatura T(0, t) del centro de la esfera en el eje vertical, con el tiempo t medidos en minutos en el eje horizontal.

TermicoApplet3 aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Arrastre con el puntero del ratón las flechas de color azul.

Referencias

Unsworth J. Duarte F. J. Heat diffusion in a solid sphere and Fourier theory: An elementary practical example. Am. J. Phys. 47 (11) November 1979, pp. 981-983