Zinematika

Higidura zuzena

Higidura zuzena

Gorputzak erortzean
duten higidura

Erregresio lineala

Higidura zuzen
eta uniformea

Higidura zuzen
eta unif. azeleratua

Higidura zuzen eta uniformeki azeleratua

Deribatuaren interpretazio geometrikoa

Integral mugatua

 Higidura zuzena

Gorputz bat lerro zuzen batean mugitzen ari bada, higidura zuzena duela esaten da.

Zuzen horretan O jatorria ezartzen da, eta bertan kokatuko da behatzaile bat gorputzaren x posizioa neurtzen t denboraren arabera. Posizioak positiboak dira gorputza jatorritik eskumara badago eta negatiboak jatorritik ezkerrera.

Posizioa

Gorputzaren x posizioa t denboraren menpe funtzio baten bitartez erlaziona daiteke: x=f(t)

Desplazamendua

Demagun gorputza t aldiunean x posizioan dagoela baina beranduago, beste t' aldiune batean, gorputz bera x' posiziora mugitu dela. Gorputza desplazatu dela esaten da eta desplazamendua hau da: Dx=x'-x.

Abiadura

Desplazamendua bizkorra ala geldoa izan den kuantifikatzeko, t eta t' aldiuneen artean iragan den denbora-tartea kontutan izan behar da, alegia Dt=t'-t , eta batezbesteko abiadura honela definitzen da:

Abiadura kuantifikatzeko baina t aldiune konkretu batean, denbora-tartea oso estua egin behar da, Dt ahal bezain txikia, alegia limitean Dt zerora jotzen duenean:

Baina limite hori, definizioz, x-ren deribatua da t-rekiko.

Batezbesteko abiaduraren kontzeptua hobeto ulertzeko pentsa dezagun ondorengo ariketa.

Ariketa

Partikula bat X ardatzean zehar mugitzen ari da, eta bere posizioa denboraren menpe honela idatz daiteke: x=5·t²+1, hemen x metrotan adierazten da eta t segundotan.

Kalkula bedi partikularen batezbesteko abiadura ondoko denbora-tarteetan:

•  2 eta 3 s.

•  2 eta 2.1 s.

•  2 eta 2.01 s.

•  2 eta 2.001 s.

•  2 eta 2.0001 s.

•  Kalkula bedi abiadura justu t=2 s aldiunean.

Aurreko taulan ikusten den bezala, denbora-tartea txikitu ahala, Δt→0, batezbesteko abiadurak 20m/s-ra jotzen du. Aldiuneko abiadura (edo instantaneoa) batezbesteko abiadura bat da, baina denbora-tarteak zerora jotzen duenean.

Kalkula dezagun abiadura edozein t aldiunetan:

• Partikularen posizioa t aldiunean hau da: x=5t²+1

• Eta partikularen posizioa  t+Dt aldiunean beste hau: x'=5(t+Dt)²+1=5t²+10tDt+5Dt²+1

• Beraz desplazamendua Dx= x'-x= 10tDt+5Dt²

• Eta batezbesteko abiadura <v>

Aldiuneko abiadura, izan ere, batezbesteko abiadura da, baina denbora-tarteak zerora jotzen duenean:

Beraz partikularen abiadura t aldiune batean zuzenki kalkula daiteke posizioaren deribatua denborarekiko kalkulatuz:

Eta t=2 s aldiunean, v=20 m/s

Azelerazioa

Orokorrean gorputz baten abiadura denboraren menpekoa izaten da. Demagun t aldiune batean gorputzaren abiadura v dela, eta geroago, t' aldiunean, v' dela. Batezbesteko azelerazioa t eta t' tartean definitzen da, abiaduraren aldaketa Dv=v'-v , zati aldaketa horretan iragan den denbora-tartea Dt=t'-t.

Azelerazioa t aldiunean (edo instantean) batezbesteko azelerazioa da, baina Dt denbora-tarteak zerora jotzen duenean, izan ere hori da deribatuaren definizioa:

adibidea:

Gorputz bat zuzen batean zehar mugitzen ari da. Bere posizioa honela adieraz daiteke:  x=2t³-4t²+5 m.  Idatz bedi:

• Abiaduraren adierazpena

• Gorputzaren azelerazioa denboraren menpe.

Gorputzaren abiadura jakinda bere desplazamendua lortzea

Gorputzaren abiadura ezaguna bada t₀ eta t bitarteko denbora-tartean, desplazamendua kalkula daiteke ondoko integral mugatuaren bitartez:

Azter dezagun integrakizuna, alegia v dt biderketa: hain zuzen, gorputzaren desplazamendu infinitesimala dt denbora-tartean. Desplazamendu totala, t₀ eta t aldiuneen artean, desplazamendu infinitesimalen batura baino ez da.

Irudiko grafikoak abiadura adierazten du denboraren menpe, v(t), eta gorputzaren desplazamendu totala to eta t aldiuneen artean, urdinez margotutako azalera da, alegia azpiko ibilbide zuzenean urdin ilunez markatutako desplazamendua. Gorputzaren x posizioa kalkulatzeko t aldiunean, hasierako xo  posizioari  desplazamendua gehitu behar zaio, alegia integral horren emaitza edo v-t kurbaren azpian mugatutako azalera.

Adibidea:

Gorputz bat ibilbide zuzenean mugitzen ari da ondoko abiaduraz: v=t³-4t² +5 m/s. Aldiune batean, t₀=2 s, bere posizioa hau da: x₀ = 4m. Kalkula bedi gorputz horren x posizioa edozein aldiunetan:

Gorputzaren azelerazioa jakinda bere abiadura-aldaketa lortzea

Gorputzaren desplazamendua kalkulatzeko erabili dugun prozedura bera erabiliz (alegia, abiadura jakinda desplazamendua lortzea) abiadura-aldaketa ere, t₀ eta t aldiuneen artean, kalkula daiteke azelerazioa jakinda:

Aurreko formula horretan agertzen den integralaren emaitza, abiadura-aldaketa da, izan ere, irudiko a-t grafikoan t0 eta t aldiuneen artean mugatutako azalera urdina. Abiadura-aldaketa ezagututa, v-v0, eta hasierako abiadura to aldiunean, v abiadura kalkula daiteke edozein t aldiunetan.

Adibidea:

Ibilbide zuzenean mugitzen ari den gorputz batek honako azelerazioa du:  a=4-t² m/s². Badakigu t₀=3 s, aldiunean bere abiadura v₀=2 m/s dela. Idatz bedi abiaduraren adierazpena edozein aldiunetan:

Laburbilduz, higidura zuzenean posizioa, abiadura eta azelerazioaren arteko erlazioak honakoak dira:

Higidura zuzen eta uniformea

Higidura zuzen eta uniformea abiadura konstanteduna da, beraz, azelerazio nulua du. Gorputzaren x posizioa kalkulatzeko edozein t aldiunetan, aurreko taulako integrala ebatzi behar da eta emaitza hau lortzen da: edo grafikoki ere bai,  v-ren adierazpen grafikoan t-ren menpe, emaitza bera lortzen da.

Normalean, hasierako aldiunea t₀=0 hartzen da, eta hortaz higidura zuzen eta uniformearen ekuazioak honela geratzen dira:

 Higidura zuzen eta uniformeki azeleratua

	Higidura bat uniformeki azeleratua da, bere azelerazioa konstantea denean. Azelerazioa ezagututa, v-v0 abiadura aldaketa lor daiteke t0 eta t aldiuneen bitartean, bai integrazioz zein grafikoki, eta emaitza hau da:
	Abiadura ezagututa denboraren menpe, orain gorputzaren x-x0 desplazamendua ere lor daiteke t0 eta t aldiuneen bitartean, bai integrazioz zein grafikoki (azalera= laukizuzena+hirukia), eta emaitza hau da:

Normalean, hasierako aldiunea t₀=0 hartzen da, eta hortaz higidura zuzen eta uniformeki azeleratuaren ekuazioak honela geratzen dira:

Bigarren ekuaziotik t denbora bakanduz eta hirugarrenean ordezkatuz, denboraren independentea den beste erlazio hau ere lortzen da:

Deribatuaren interpretazio geometrikoa

Ondorengo applet-ean deribatuaren kontzeptua eta bere interpretazio geometrikoa landuko dira.

Grafiko batean funtzio bat irudikatuko da Funtzioa botoian aukeratuta. Aukeran hiru funtzio daude:

Berria botoia sakatu.

Aukeratutako funtzioa grafikoki irudikatuta agertzen da:

Saguarekin ardatz horizontaleko laukitxo urdina mugitu abszisa bat finkatzeko: t₀.

Xehetasuna aukeratu, 1, 10, 100, edo 1000 dagokion laukitxoan.

• Oso xehetasun handia aukeratzen bada funtzioaren irudia ia erabat zuzena da. Orduan bere malda erraz neur daiteke grafikoan bertan dagoen erretikuluaren laguntzaz.

• Deribatuaren balioa kalkulatzen da, abszisen ardatzean aukeratutako t₀ puntuan.

• Egiaztatzen da, t₀ puntu horretan, malda eta deribatua berdinak direla.

Adibidea:

Har dezagun lehenengo funtzioa eta t₀=3 puntua (3.009 da hurbilen onartzen duena).

Xehetasunean 1000 aukeratzen dugu. Zuzenaren maldak -1 balio du eta irudian horixe ageri da.

Lehenengo funtzio horren deribatua hau da:

eta  t₀=3.0 puntuan deribatuak balio du:  -1.0

Integral mugatua

Gorputzaren abiadura jakinda bere desplazamendua lortuko dugu denboraren menpe. Abiadura konstantea bada edo denborarekiko linealki aldatzen bada, desplazamendua erraz kalkulatzen da:

	•Abiadura konstantea: Baldin v=35 m/s, orduan desplazamendua t0=0 eta t=10 s denbora-tartean hau da: Δx=35·10=350 m
	•Abiadura linealki hazten da: Baldin v=6·t, orduan desplazamendua t0=0 eta t=10 s denbora-tartean urdinez margotutako hirukia da, beraz: Δx=(60·10)/2=300 m
	•Baldin  v= -8·t+60 orduan desplazamendua t0=0 eta t=10 s denbora-tartean hiruki biren azaleren batura da: Ezkerreko hirukiaren azalera (7.5·60)/2=225 Eskumakoaren azalera (-20·2.5)/2= -25. Desplazamendu totala azalera osoa da Δx=225+(-25)=200 m

Gainontzeko kasuetan desplazamendua kalkulatzeko, azalerak irudian erakusten den prozeduraz kalkula daitezke.

Demagun  t_i-1 aldiune batean gorputzaren abiadura  v_i-1  dela eta t_i aldiunean bere abiadura v_i dela. Denbora-tarte horretan batezbesteko abiadura <v_i> honakoa da:

Gorputzaren desplazamendua denbora-tarte horretan (Δt_i=t_i-t_i-1 ) gutxi gora behera, <v_i>·Δt_i laukizuzenaren azalera da. Orduan desplazamendu totala (x-x₀) hasierako t₀ aldiunetik amaierako t=t_n aldiunera arte gutxi gora behera hau da:

Eta hemen n tarte-kopuru totala da.

Baldin  v= -t²+14t+21 (m/s) eta demagun n=10 denbora-tarte hartzen ditugula t₀=0 hasieratik, t=10 s, amaierara arte. Desplazamendu totala gutxi gora behera hau da:

x-x₀ ≈ 27.7+39.8+49.8+57.7+63.7+67.7+69.7+69.8+67.8+63.8=577.5 m

Baina tarte osoa zatitzeko (t₀, t) hamar tarte hartu beharrean tarte-kopurua oso handia hartzen bada, Δt_i→0,  limitean desplazamendua honela adierazten da:

Eta baldin  v= -t²+14t+21 (m/s), desplazamendua t₀=0 eta  t=10 s aldiuneen artean hau da:

Saiakuntza

Grafikoki irudikatzeko Funtzioa aukeratu dagokion laukian. Aukeran honako lauak daude:

v= -t²+14t+21
v= -8t+60
v= 35
v= 2t²-12t-12

Berria botoia sakatu eta funtzioa irudikatzen da t₀=0-tik, t=10 s-arte.

Tarte osoa (0, 10) zatitu daiteke, saguarekin ardatz horizontaleko laukitxo urdina mugituz eta Azalera botoia sakatuz behin eta berriz (gehienez 15 tarte). Tarte bakoitzean programak azalera kalkulatzen du, <v_i>·Δt_i , eta aurreko emaitzari gehitzen dio.