Dinamika

Higidura zirkularra

Higidura zirkularra

Auto baten
egonkortasuna

Erreguladore zentrifugoa

Biraka ari den likido
baten gainazala

Grabitate artifiziala

Peraltedun bihurgunea

Auto baten egonkortasuna

Erreferentzia

Orri honetako lehen atalean auto baten higidura zirkularra aztertuko da peralterik gabeko bihurgune batean.

Lehen-lehenik autoa partikulatzat hartuko da. Gero autoaren neurriak eta bere masa-banaketa kontutan hartuz, bere egonkortasuna aztertuko da.

Peralterik gabeko bihurgunea

Auto batek ibilbide zirkularra jarraitzen du abiadura konstanteaz. Arazo honen zailtasunetako bat higiduraren osagai tangentziala eta osagai normala banatzea da, eta hor dago koska.

Oinarri fisikoak

Demagun autoak R erradiodun bihurgune zirkularra jarraitzen duela, v abiadura konstanteaz. Behatzaile inertzial baten ikuspegitik autoak jasaten dituen indarrak hiru dira:

• Pisua
• Errepidearen erreakzio normala
• Marruskadura-indarra

Hirugarrenak eragiten dio autoari ibilbide zirkularra jarraitzea.

Norabide bertikalean oreka dago, eta beraz, pisua eta erantzun normala berdinak dira.

Norabide horizontalean ordea, Newton-en bigarren legea aplikatu behar da:

Hemen, v autoaren abiadura eta R bihurgunearen erradioa dira.

Autoaren v abiadura handitzen den heinean F_r marruskadura-indarra ere handitzen da, baina marruskadura-indarrak muga bat dauka: alegia, marruskaduraren koefiziente estatikoa bider erantzun normala: m N.

Beraz, hona hemen autoak izan dezakeen abiadura maximoa R erradiodun bihurgune horretan irrist egin gabe ibiltzeko:

Programa interaktiboan ikus daitekeenez, autoak ibilbide zirkularra ongi jarraitzen du abiadura limitea baino txikiagoa badu. Autoaren  abiadura handituz marruskadura-indarra ere handitzen da, bere balio maximoa atzematen duen arte.

Autoak abiadura limitea baino handiagoa badu, marruskadura-indarrak balio maximoa izango du, konstantea eta abiaduraren perpendikularra, baina ibilbidea ez da zirkulua. Sinplifikatzearren, marruskadura-koefiziente estatikoa eta zinetikoa berdinak direla hartu da.

Saiakuntza

Idatzi:

• Bihurgune zirkularraren erradioa (500 m baino txikiagoa), dagokion laukian.
• Marruskadura-koefizientea, dagokion laukian.
• Autoaren abiadura dagokion laukian.

Hasi botoia sakatu eta autoak jasandako indarrak behatzen dira.

Autoaren abiadura handitu eta berriro sakatu Hasi botoia.

Abiadura ezberdinak frogatzen, lor bedi esperimentalki abiadura limitea, eta gero egiazta bedi teorikoki kalkulatutakoa.

Peraltedun bihurgunea

Demagun orain bihurguneak peraltea duela, eta θ  angelua duela.

1. Azter dezagun lehenik behatzaile inertzial baten ikuspegitik

Gorputzak jasaten dituen indarrak peralterik gabeko indar berak dira, pisua berdin berdina eta gainontzekoak norabidea bakarrik aldatuta.

• Pisua, mg

• Marruskadura-indarra, F_r

• Planoaren erreakzio normala, N

Ezkerreko irudiak indarrak erakusten ditu, eta eskumakoan F_r marruskaduraren eta N erreakzio normalaren osagai bertikal eta horizontalak deskonposatu dira.

Zailtasun handienetakoa, a_n azelerazio normalaren norabidea asmatzea izaten da. Akatsik ohikoena azelerazio bektorea planoaren paralelo jartzea da, baina horizontala da. Hobeto ikusteko, imajina dezagun peralteak eta bihurguneak osatzen duten konoa. Autoak jarraitzen duen ibilbidea zirkularra da (irudian marra gorriz adierazitakoa) eta zirkulu horren zentroa plano horizontal berean dago, ez konoaren erpinean.

• Ardatz bertikalean ez dago azeleraziorik, beraz oreka egoera dago:

Ncosθ=F_rsinθ+mg

• Ardatz horizontalean ordea, Newton-en bigarren legea aplikatu behar da higidura zirkular eta uniforme baten kasurako:

Nsinθ+F_rcosθ=mv²/R

Autoa irristatzen hasten da bere abiadura gehiegizkoa denean, eta horren ondorioz F_r=μN denean.

Ekuazio bi ditugu eta ezezagun bi.

N(cosθ-μsinθ)=mg
N(sinθ+μcosθ)=mv²/R

Hona hemen abiadura limitea, irristatu gabe ibiltzeko:

2. Autoaren barnean dagoen behatzaile ez inertzial baten ikuspegia

Ikuspegi horretatik autoak jasaten dituen indarrak lau dira:

• Pisua: mg

• Marruskadura-indarra: F_r

• Planoaren erreakzio normala: N

• Indar zentrifugoa: F_c=mv²/R

Ikuspegi ez inertzialetik autoa oreka-egoeran dago norabide guztietan:

Ncosθ=F_rsinθ+mg
Nsinθ+F_rcosθ=mv²/R

Autoaren v abiadura ezagututa, F_r marruskadura-indarra eta planoaren N erreakzio normala kalkula daitezke:

Eta irristatu gabe bihurgunea jarraitzeko, marruskadura indarrak izan dezakeen baliorik handiena, F_r=μN , da.

Abiadura bakanduz, lehen, ikuspegi inertzialetik, lortutako adierazpen bera lortzen da.

Adibidea

Auto batek 500m-ko erradioa duen bihurgune bat hartzen du. Bere gurpilen eta errepidearen arteko marruskadura-koefizientea 0.75 da; Kalkula bedi zein abiaduraz har dezakeen autoak bihurgunea gehienez, ondoko kasu bi hauetan:

• Bihurguneak ez du peralterik.

• Bihurguneak 15º-ko peraltea du.

Auto baten egonkortasuna

Demagun auto bat bihurgune bat jarraitzen ari dela. Bihurgunearen kurbadura-erradioa R da eta autoaren abiadura v. Autoaren masa-zentroaren posizioa honakoa da: x_c, y_c , irudiak erakusten duena, karga-distribuzioaren arabera. Errepidearen eta gurpilen  arteko marruskadura-koefizientea  μ da. Azter dezagun zein baldintzatan gertatzen diren honako kasuak:

• Autoa orekan dago.

• Irrist egiten du bihurgunearen kanpoko aldera.

• Irauli egiten da: bihurgunea ezkerrerantz ematen ari denean eskuineko gurpil bietatik pasatzen den ardatz horizontal baten inguruan biratzen du.

• Irrist egiten du eta irauli aldiberean.

Deskribapena

Autoarekin batera desplazatzen ari den behatzaile ez inertzial baten ikuspegitik, autoak jasaten dituen indarrak honako seiak dira:

Autoaren pisua, mg , masa-zentroan aplikatzen dena eta planetak eragiten diona. N1 eta N2, errepideak autoaren gurpiletan gorantz egiten duen erantzun edo erreakzio normala. Indar zentrifugoa, Fc, masa-zentroan aplikatzen da. F1 eta F2 , irristatzearen aurkako marruskadura-indarrak; gurpiletan gauzatzen dira bihurgunearen barruko aldera eta norabide erradialean.

Autoa norabide erradialean orekan mantentzen bada, honako ekuazioak betetzen dira:

N₁+N₂=mg
F_c=F₁+F₂

Eta indarren momentuak O puntuarekiko hartuta (eskumako gurpila), oreka baldintza honela idazten da:

-N₁·a-F_c·y_c+mg·x_c=0

Hemen, a gurpilen arteko distantzia da. Azken ekuazio horretatik N₁ aska daiteke:

Azter ditzagun kasu ezberdinak:

• Autoa irauli egiten da:

Autoaren v abiadura handitzean indar zentrifugoa handitzen da: F_c=mv²/R, eta limitean N₁ anula daiteke, orduan autoa irauliko da.

Irauliaren baldintza hau da: N₁=0 edo v²/R = gx_c/y_c

• Autoak irrist egiten du:

Bestalde, gurpilen arabera, marruskadura indar totalak (F₁+F₂=F_c) muga bat dauka: μN₁+μN₂= μmg , eta hori baino handiagoa izan behar badu irrist egingo du.

Irristatzearen baldintza honakoa da: v²/R=μg

Laburtuz: baldin  mgx_c>F_cy_c  autoa ez da irauliko;

Eta baldin  F_c< μmg  autoak ez du irrist egingo.

1. Hau da: mgx_c>μmgy_c bada, alegia  μ<x_c/y_c bada, autoa irristatzen hasten da irauli baino lehen, izan ere, honako baldintza betetzen denean: v²/R= μg

2. Eta alderantziz, μ>x_c/y_c bada, autoa irauli egingo da irristatu baino lehen, izan ere, honako baldintza betetzean: v²/R=gx_c/y_c

1 adibidea:

• Masa zentroaren posizioa: x_c=0.7, y_c=1.0

• Eta  μ=0.5

1. Kasu honetan μ<x_c/y_c (lehen kasua: irristatu irauli baino lehen).

Autoa irristatzen hasiko da v²/R= μg baldintza betetzen bada, alegia v=49.5 m/s denean.

Egiaztatzea:

Marruskadura indarraren balio maximoa hau da: μmg=0.5·9.8·m=4.9·m

• Demagun  v=49 m/s (irristatzeko abiadura baino txikiagoa).

Indar zentrifugoa:  F_c=mv²/R=m·49²/500=4.8·m. Marruskadura indarra (F₁+F₂=F_c) txikiagoa da bere balio mugatzailea baino. Beraz autoak ez du irristatuko.

N₁ indarra kalkula daiteke:

Eta  N₁>0 denez autoa ez da irauliko.

• Demagun bestalde v=50 m/s (irristatzeko abiadura baino handiagoa).

Indar zentrifugoa: F_c=mv²/R=m·50²/500=5·m. Marruskadura indarra (F₁+F₂=F_c) handiagoa da bere balio mugatzailea baino (ezinezkoa). Beraz autoak irristatuko du.

N₁ indarra kalkula daiteke:

Eta  N₁>0 denez autoa ez da irauliko.

2 adibidea:

• Masa-zentroaren posizioa:  x_c=0.7, y_c=1.0

• Eta μ=0.8

2. Kasu honetan  μ>x_c/y_c (bigarren kasua: irauli irristatu baino lehen).

Autoa irauli egingo da honako baldintza betetzean: v²/R=gx_c/y_c, hau da, v=58.6 m/s denean.

Egiaztatzea:

Marruskadura indarraren balio mugatzailea: μmg=0.8·9.8·m=7.84·m

• Demagun v=58 m/s (iraultzeko abiadura baino txikiagoa).

Indar zentrifugoa: F_c=mv²/R=m·58²/500=6.73·m. Eta marruskadura indarra (F₁+F₂=F_c) bere balio mugatzailea baino txikiagoa bada autoak ez du irristatuko.

N₁ indarra kalkula daiteke:

Eta N₁>0 denez, autoa ez da irauliko.

• Demagun v=60 m/s (iraultzeko abiadura baino handiagoa).

Indar zentrifugoa F_c=mv²/R=m·60²/500=7.2·m. Marruskadura indarra (F₁+F₂=F_c) bere balio mugatzailea baino txikiagoa da, beraz autoak ez du irristatuko.

N₁ indarra kalkula daiteke:

Eta N₁<0 denez, autoa irauli egingo da.

Abiadura maximotik gora, alegia v²/R= μg, hau da v²/500=0.8·9.8,  v=62.6 m/s. Autoak irrist egingo du eta irauli aldiberean.

Saiakuntza

Berria botoia sakatu eta hautatu:

• Autoaren masa-zentroaren posizioa (x_c, y_c) bere kargaren arabera. Horretarako, lauki gorriaren (autoaren) barnean dagoen puntu lodi eta gorria (m.z) saguarekin eraman, nahi den tokira.

• Gurpilen marruskadura koefizientea: μ, desplazamendu barrari eragiten, edo laukian idazten.

• Bihurgunearen R erradioa finkotzat hartu da: R=500 m. programa interaktibo osoan.

• Autoaren zabalera (gurpilen arteko distantzia) ere finkotzat hartu da: a=2.0 m

Datu guzti horiek finkatutakoan,

• Hautatu autoaren abiadura, v (m/s-tan), desplazamendu-barrari eragiten edo laukian idazten.

Hasi botoia sakatu.

Autoaren portaera behatzen da:

•  Orekan mantentzen da.

• Irrist egiten du.

• Irauli egiten da.

• Irrist eta irauli aldi berean.

Programak, autoak jasaten dituen indar guztiak irudikatzen ditu, eta zenbakizko balioa eman (indarra masa unitateko).