Dinamika

Talkak

Tanke higikor batek
tiro egiten du

Erorketa askea eta
ondorengo erreboteak

Pendulu biren
arteko talkak

Aurrez-aurreko talkak
(dimentsio bakarrean)

Aurrez-aurreko
talka elastiko bi

Etengabeko talka
elastikoak 
karril batean

Aurrez-aurreko
talka bertikalak

Iraupen luzeko 
talka inelastikoa

Pendulu balistikoa

Momentu lineala
kontserbatzen ez den
pendulu balistikoa

Talka inelastikoa
malguki baten
gainean

Bala baten
abiadura neurtzea 

Bi dimentsiotako
talkak

Penduluen segida

Talka elastikoak

Leherketak: momentu linealaren kontserbazioa

Orri honetan partikula biren arteko talkak aztertuko dira, aurrez-aurre gertatzen direnean, alegia dimentsio bakarrean. Talka-mota hori aztertzeko erreferentzia-sistema edo ikuspegi ezberdin bi erabiliko dira: laborategiko erreferentzia-sistema (L sistema) eta masa zentroaren erreferentzia-sistema (MZ sistema).

Kasu berezi gisa, momentu linealaren kontserbazioa aztertuko da gorputz bat lehertzen denean eta zati bitan apurtzen denean, eta horren ondorioz zati bakoitza alde batera irteten denean.

Aurrez aurreko talkak

Laborategiko erreferentzia-sistemaren ikuspegia

Demagun aurrez aurreko talka batean, lehen partikula u₁ abiaduraz mugitzen ari dela eta bigarrena u₂ abiaduraz, irudiak erakusten duen bezala. Talkaren ondoren, bi partikulek v₁ eta v₂ abiadurak dituzte.

Momentu linealaren kontserbazioaren arabera:

m₁u₁+m₂u₂=m₁v₁+m₂v₂

Eta itzultze-koefizientearen definizioa (e) :

-e(u₁-u₂)=v₁-v₂

Talkaren ondorengo abiadura biak bakan daitezke: v₁ eta v₂

Eta masa zentroaren abiadura ezaguna denez:

Talkaren ondorengo abiadura biak, v₁ eta v₂, beste moduan berridatz daitezke, eta gainera gogoratzeko errazagoak:

v₁=(1+e)V_mz -eu₁
v₂=(1+e)V_mz -eu₂

Bigarren partikula hasieran geldi bazegoen (u₂=0), orduan talkaren ondorengo abiadurak, v₁ eta v₂ :

Masa zentroaren erreferentzia-sistemaren ikuspegia

• Partikulen abiadurak talka baino lehen eta masa-zentroarekiko:

• Partikulen abiadurak talkaren ondoren eta masa-zentroarekiko:

v_1mz= -e·u_1mz
v_2mz= -e·u_2mz

Ikusten denez, masa-zentroaren ikuspegitik, partikula bien abiadurak talkaren eraginez  e bider txikiagoak dira eta noranzkoa aldatu dute.

Egiazta daiteke, MZ sisteman ere momentu lineal totala kontserbatzen dela:

m₁·u_1mz+m₂·u_2mz=0
m₁·v_1mz+m₂·v_2mz=0

Talkan galdutako energia

Talkan galtzen den energia, hain zuzen, energia zinetikoen aldakuntza da L sisteman, alegia amaierako energia zinetikoa ken hasierakoa:

Baina askoz errazagoa da kenketa hori kalkulatzea MZ sisteman:

Adibidea:

• Lehen partikula: m₁=1, u₁=2

• Bigarren partikula: m₂=2, u₂=0

• Itzultze koefizientea: e=0.9

1. Momentu linealaren kontserbazioa

1·2+2·0=1·v₁+2·v₂

2. Itzultze-koefizientearen definizioa

-0.9(2-0)=v₁-v₂

Bi ekuazio eta bi ezezaguneko sistema ebatziz, hona emaitzak:

v₁= -0.53, v₂=1.27 m/s

Talkan galdutako energia (L Sistema)

Eta MZ sisteman:

Talka elastikoak

Talka elastikoa bada, energia zinetikoa ere kontserbatzen da, eta orduan talkaren ondorengo abiadurak, v₁ eta v₂, kalkulatzeko:

1. Momentu linealaren kontserbazioaren printzipioa

m₁u₁+m₂u₂=m₁v₁+m₂v₂

2. Energia zinetikoaren kontserbazioa, talka elastikoa delako: Q=0.

Partikula bien masak ezagututa, m₁ eta m₂, eta talka baino lehenagoko abiadurak, u₁ eta u₂, orduan partikulen abiadurak kalkula daitezke talkaren ondoren: v₁ eta v₂, bi ekuazio eta bi ezezaguneko sistema ebatziz, baina bigarren graduko ekuazioak direnez,

Ekuaziook honela berridatz daitezke:

Eta zenbaki biren karratuen kenketa da, zenbaki bien batura bider kendura:

Geratzen den ekuazio-sistema sinpleagoa da:

Eta hona hemen emaitzak: v₁ eta v₂

Emaitza orokorretan itzultze-koefizientea e=1 hartuta ere, emaitza horiexek lortzen dira.

Eta masa-zentroaren abiadura gogoratuz:

Talkaren ondorengo abiadura biak, v₁ eta v₂, modu sinpleagoan berridatz daitezke, eta gainera gogoratzeko errazagoak:

v₁=2V_cm-u₁
v₂=2V_cm-u₂

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Talkaren itzultze-koefizientea, e, desplazamendu-barra mugituz 0 eta 1 bitartean. Talka elastikoa aukeratzeko e=1 finkatu.
• Masen erlazioa, m₂/m₁, dagokion laukian idatziz. Ezkerreko partikula m₁ da, hasieran mugitzen ari dena, eta eskumakoa, hasieran geldi dagoena, m₂.
• Lehen partikularen abiadura, talka baino lehen,  u₁.

Hasi botoia sakatu.

Talka behatzen da bi ikuspegietatik: gaineko irudia Laborategiko erreferentzia-sistemaren ikuspegitik eta azpikoa Masa zentroaren erreferentzia-sistemarenetik. Gurutze urdin batek bikotearen masa zentroa adierazten du. Tarta-diagrama batek ere energia adierazten du: urdin ilunez lehen partikularen energia zinetikoa eta talkaren ondoren, urdin argiz lehenarena eta gorri argiz bigarrenarena. Talka elastikoa denean hasierako energia eta amaierakoa berdinak dira. Talka inelastikoa denean (e<1) hasierako energia amaierakoa baino handiagoa da.

Ikuspegi bietatik (MZ eta L) idatziz erakusten dira partikula bien abiadurak talka baino lehen eta talkaren ondoren. Momentu linealak bektoreez erakusten dira, talka baino lehen eta ondoren, horrela ikusi egin daiteke momentu lineal totala kontserbatu egiten dela.

Oso interesgarria da ikasleak berak idatziz ebatz ditzala talkak, eta gero programarekin egiazta ditzala emaitzak. Esaterako, masa biak berdinak direnean masen erlazioak bat balio du (m₂/m₁=1) eta talka elastikoa denean (e=1). Frogatu ere talka erabat inelastikoa (e=0).

Leherketak: momentu linealaren kontserbazioa

Demagun gorputz bi karril batean geldi daudela. Bien masak m₁ eta m₂ dira. Bat-batean mekanismoren batek gorputz biak jaurti egiten ditu elkarrengandik urrutiratzen (t=0 aldiunea): bata ezkerrerantz eta bestea eskumarantz. Demagun m₁ masaren abiadura v₁ dela eta m₂-rena v₂.

Bikoteak multzo isolatua osatzen du, eta bien arteko aldaratze indarra barne-indarra da. "Leherketa" baino lehenago abiadura biak nuluak dira: u₁ = u₂ = 0

• Momentu linealaren kontserbazioaren arabera:

m₁·(-v₁)+m₂·v₂=0

• Eta energiaren balantzea:

Neur ditzagun bi gorputzen abiadurak leherketaren ondoren (v₁ eta v₂) irudiak erakusten duen bezala:

Denbora-tarte batean (t denboran) lehen gorputzak ezkerrerantz x₁ distantzia burutzen du eta bigarrenak x₂ eskumarantz.

Gorputz biak karrilean kokatzen baditugu aurreko baldintza hori betetzen duten posizioan, orduan aldiune berean iritsiko dira lehena ezkerreko A muturrera eta bigarrena eskumako B muturrera.

Saiakuntza

Berria botoia sakatu.

Aukeran idatz daitezke:

• Lehen zatiaren masa, m₁, 1 masa laukian.

• Bigarren zatiaren masa, m₂, 2 masa laukian.

• Saguarekin gezi gorria mugitu, ezker-eskumara, leherketaren posizioa finkatzeko.

Hasi botoia sakatu.

"Leherketa" gertatzen da eta zati biak aldaratuta irteten dira, bata ezkerrerantz v₁ abiaduraz eta bestea eskumarantz v₂ abiaduraz.

• Leihatilaren goiko aldean, t denbora idatziz erakusten da, leherketaren unean hasita.

• Eskumako aldean, zirkulu batek leherketan askatutako Q energia erakusten du, eta koloretan gorputz bakoitzari dagokion energia zinetikoa: gorriz ezkerrekoa eta urdinez eskumakoa.

1. Gorputz bien abiadurak neur daitezke leherketaren ondoren: v₁ eta v₂.

2. Leherketan askatutako Q energia kalkula daiteke eta gorputz bakoitzari dagokion energia.

Adibidea:

m₁=1, m₂=3

• Momentu linealaren kontserbazioa:

1·v₁=3·v₂

• Energiaren balantzea

Leherketaren energia hori honela banatzen da:

• 4.5/6=0.75, edo, %75 ezkerrekoak.

• 1.5/6=0.25, edo, 25% eskumakoak

Gorputzek ibilitako distantziak, x₁ eta x₂, honakoak izango dira (karrilaren luzera osoa 1 metro da):

x₂/x₁=1/3
x₂+x₁=1.0

Beraz, x₁=0.75 eta x₂=0.25 (gogoan izan gorputzak partikulatzat hartu ditugula).