Garraio fenomenoak

Difusioa

Difusioa

Nola neurtu difusio 
koefizientea

Difusioaren
simulazioa

Higidura browndarra

Jalkiera

Boltzmann-en
konstantea

Difusioa dimentsio bakarrean

Gatz-difusioa uretan

Difusioa bi dimentsiotan: tinta-tanta

Erreferentziak

Programazio-kodea

Fick-en legea

Esperientziak erakusten du perfume baten botila irekitzean, edo beste edozein likido lurringarri, laster iristen zaigula sudurreraino. Esaten dugu, likidoaren molekulak lurrindu ondoren, airean zehar barreiatzen direla eta inguruko espazio osoan sakabanatzen direla. Gauza bera gertatzen da azukre koxkor bat uretan kokatzen dugunean: sakarosa-molekulak uretan zehar sakabanatzen dira. Honelako eta bestelako adibideek erakusten dutenez, difusio-fenomenoa gerta dadin, molekula-distribuzioa ez-homogeneoa izan behar da, alegia, medio bateko bi punturen artean, kontzentrazio-gradiente bat edo diferentzia bat egon behar da.

Demagun materia-kontzentrazioa X ardatzean zehar aldatuz doala. Dei diezaiogun J partikulen korronte-dentsitateari, hau da, azalera unitario batean zehar perpendikularki pasatzen diren partikula-kopuru garbiari denbora unitateko. Fick-en legearen arabera, partikulen korronte-dentsitatea eta kontzentrazio-gradientea proportzionalak dira:

Bi magnitudeen arteko proportzionaltasun konstanteari difusio-koefiziente deritzo, D, eta ezaugarri berezia da bai solutuarena zein disolbatzailearena (m²/s unitateak ditu).

Bolumen-elementu batean (S·dx ) pilatzen doan partikula-kopurua denbora unitateko, izango da, sartzen den fluxua (JS) ken irteten den fluxua (J’S), alegia:

Baina partikula-pilaketa denbora unitateko hau da:

Bi adierazpenak berdinduz eta Fick-en legea erabiliz, honako adierazpena lortzen da:

Deribatu partzialetako ekuazio diferentzial horrek difusioaren fenomenoa deskribatzen du, D difusio-koefizientearen menpe. Esaterako, D koefizienteak ez badu kontzentrazioaren menpekotasunik:

Difusioa dimentsio bakarrean

Demagun difusioa dimentsio bakarrean gertatzen dela; M solutu-masa koordenatuen jatorrian kokatuta dago, irudiak erakusten duen bezala, eta X ardatzean zehar sakabanatzen da:

Ekuazio diferentziala ebatziz, solutuaren n kontzentrazioa lortuko dugu edozein x posiziotan eta edozein t aldiunetan.

Emaitza hori egiazta daiteke ekuazio diferentzialean ordezkatuz:

Ondorengo programa interaktiboan t aldiunea aukeratuz, leihatilan n(x,t) funtzioa irudikatzen da (kanpai-itxurako kurba). Ikus daitekeenez, kurbaren azpiko azalera osoa beti berdina da, edozein aldiunetan, alegia, solutu-kantitate totala konstantea da, eta honela egiazta daiteke:

Hori frogatzeko honako integrala erabili behar da:

Defini dezagun 'batezbesteko desplazamendu koadratikoa':

Integral hori zatika egin daiteke:

Horrek adierazten du, partikulen desplazamenduen karratuen batezbestekoa, eta kurba bakoitzaren azpian zuzenki batez adieraz daiteke, alegia, zuzenkiaren luzerak partikulen batezbesteko sakabanaketa neurtzen du.

Azter ditzagun difusio mota ezberdin bi:

1. Gasa airetan: biak gas idealtzat hartuta. Hurbilketa honetan, difusio-koefizientea konstantea da, alegia, ez da kontzentrazioarekin aldatzen.
2. Solutu solido bat disolbatzaile likido batean: difusio-koefizientea bai da kontzentrazioaren menpekoa, arinki bada ere, baina disoluzio oso diluituak bakarrik hartuko ditugu kontutan, eta horrela difusio-koefizientea ia konstantea da kontzentrazioarekiko.

Bi kasuetan (gas bat airetan zein solido bat uretan) argi geratzen da zein jokabide duen difusio-koefizienteak, eta zein erlazio daukan bere magnitude ordenak difusioaren luzera-eskalarekin edo denbora-eskalarekin.

Saiakuntza

• Lehenik solutua eta disolbatzailea aukeratu behar dira; ondoko taulan zenbait talde aurkezten dira: zenbait gas airetan barreiatzeko eta zenbait solido uretan barreiatzeko. Nabarmena da airearen kasuan difusio-koefizientearen magnitude ordena hamar ber −4 dela, baina uretan berriz, hamar ber −9.

Gasak airetan
1	Hidrogenoa	0.64 10-4
2	Oxigenoa	0.18 10-4
3	Alkohola	0.10 10-4
4	Bentzenoa	0.08 10-4
Solidoak uretan
5	Azukrea	0.36 10-9
6	Gatz arrunta	1.10 10-9
7	Alkohola	0.80 10-9

• Ondorengo programa interaktiboan Denbora aukeratu behar da, desplazamendu-barrari saguaz eragiten, alegia, n(x, t)  kanpai itxurako kurba zein aldiunetarako irudikatuko den. Gasetan orduak dira, baina solidoetan egunak.

Grafikoa botoian klik egin.

Grafikoak puntu bakoitzeko kontzentrazioa adierazten du dimentsio bakarreko medioan zehar, n(x), aukeratu den aldiunerako. Azken aldian kalkulatutako aldiunean (marra gorriz) eta aurrekoan kalkulatutako aldiunean (marra urdinez). Leihatilaren goiko eta eskumako aldean horixe adierazten da.

Kuestioak

Kurbaren azpian zuzenki batek adierazten du partikulen batezbesteko sakabanaketa (batezbesteko desplazamendu koadratikoa); goiko eta ezkerreko erpinean zuzenki horren luzera zenbakiz ematen da. X ardatzaren unitateak dm-tan daude adierazita.

Konpara bitez talde bereko difusio-kasuak solutuaren sakabanaketa neurtuz aldiune berean, ea zein barreiatzen den gehiago. Edota konpara bitez gasen difusioa airetan eta solidoen difusioa uretan.

Gatz-difusioa uretan

Gatz difusioa uretan gertatzen da, adibidez, itsasadar batean itsasoko eta ibaiko urak nahasten direnean. Honako simulazioak erakusten du nolako ezaugarriak dituen difusio mota horrek. Ibaiko urak dentsitate txikiagoa du eta itsasokoaren gainean mihiztatzen da. Hortaz, sakontasunaren arabera gatz kontzentrazioa handituz doa.

Har dezagun honako kontzentrazio-saltoa norabide bakarrean:

c=c₀  baldin x<0
c=0,  baldin x>0

hasierako aldiunean, t=0.

Difusioaren ekuazioak honako soluzioa ematen du:

errore-funtzioa (erf) honela definitzen da:

Gatzaren difusio-koefizientea ur purutan ezaguna da: D=1.484·10^-9 m²/s.

Saiakuntza

Aukeran idatz daiteke:

• Difusio-koefizientea, D, baina 10^-9 m²/s-ko eskalan, desplazamendu-barrari saguaz eragiten.

• Denbora (h), alegia, zein aldiunetan kalkulatuko den kontzentrazio-distribuzioa: c(x)/c_o hasierako aldiunetik abiatuta eta ordutan zenbatuta, desplazamendu-barrari saguaz eragiten.

Grafikoa botoian klik egin.

Grafikoak puntu bakoitzeko kontzentrazioa adierazten du dimentsio bakarreko medioan zehar, c(x)/ c_o, aukeratu den aldiunerako. Azken aldian kalkulatutako aldiunean (marra gorriz) eta aurrekoan kalkulatutako aldiunean (marra urdinez). Leihatilaren goiko eta eskumako aldean aldiuneak adierazten dira.

Grafikoaren azpian, barra horizontal gorri batek, kolorearen arabera adierazten du, baita ere, x puntu bakoitzeko kontzentrazioa dimentsio bakarreko medioan zehar: kolore gorri biziak kontzentrazio maximoa adierazten du (c=1) eta zuriak kontzentrazio minimoa (c=0). Bitarteko kontzentrazioak gorrixkak dira.

Difusioa bi dimentsiotan: tinta-tanta

Tinta-tanta bat, a erradioduna, ur ontzi batean kokatzen da. Ontziaren R erradioa tantarena baino askoz handiagoa da, a<<R. Uraren sakonera txikia da, 1 cm ingurukoa, eta horrela, tantak hondoa berehala atzematen du. Hortaz, tintaren higidura bi dimentsiotako difusio soila izango da.

Bi dimentsiotako difusio-prozesua honako ekuazio diferentzialarekin deskribatzen da:

n da tintaren kontzentrazioa, r posizio erradialaren eta t denboraren arabera aldakorra, eta D difusio koefizientea.

Hasierako aldiunean, t=0, tinta guztia homogeneoki banatuta dago, uraren barruan, a erradiodun zirkulu batean, alegia: n=n0 baldin r≤a n=0, baldin r>a.

Ekuazio diferentzial horren soluzioa honelakoa da (ikus bedi erreferentzietan aipatutako artikulua).

Adierazpen horretan, I₀(x) "Bessel-en zero-ordenako funtzio eraldatua" da. Eta honako aldagai aldaketak eginez:

Honela berridatz daiteke:

Aldagai erlatibo horien menpe ekuazioak ez du menpekotasunik ez a erradioarekin ezta D difusio-koefizientearekin.

Ondoko irudiak erakusten du, marra urdinez, τ=0.02 aldiune erlatiboko kontzentrazio "erlatiboa", alegia, n(x,τ)/no,  posizio erradial erlatiboaren menpe, x=r/a, eta hasierako egoerarekin konparatzen da (marra gorriarekin). Ezagutzen badira D difusio-koefizientea eta tantaren hasierako a erradioa, orduan kalkula daiteke tinta-kontzentrazioa n(r, t) tantaren zentrotik r distantziara eta t aldiunean, aldagaiak berriro aldatuz: r=x·a eta  t=a2·τ/D.

Programak gutxienez τ =0.003 denbora-tartea behar du tinta-kontzentrazio funtzio osoa x posizioaren menpe kalkulatzeko.

Lortutako emaitzan egiazta daiteke tinta-kantitate totala konstantea izan behar dela.

Tinta kantitate osoa honako integralaz kalkulatzen da:

eta erradio unitateko zirkulu batean dagoen tinta-kantitatearen proportzionala da.

Saiakuntza

Aukeran idatz daiteke:

• Denbora erlatiboa, τ desplazamendu-barrari saguaz eragiten, edo zenbaki bat idatziz laukian, baina 0.003 baino handiagoa.

Grafikoa botoian klik egin.

Grafikoan, eskuman, marra urdinez kontzentrazio erlatiboa adierazten da (n(x, τ)/n_o), posizio erlatiboaren menpe (x=r/a), eta hasierako egoerarekin konparatzen da (marra gorria). Ezkerrean grisen eskalarekin ere tinta-kontzentrazioa adierazten da posizio beraren menpe.

double erfcc(double x) {
//función complementaria 1-erf(x)
	double t,z,ans;
	z=Math.abs(x);
	t=1.0/(1.0+0.5*z);
	ans=t*Math.exp(-z*z-1.26551223+t*(1.00002368+t*(0.37409196+t*(0.09678418+
		t*(-0.18628806+t*(0.27886807+t*(-1.13520398+t*(1.48851587+
		t*(-0.82215223+t*0.17087277)))))))));
	return x >= 0.0 ? ans : 2.0-ans;
}

//método de Simpson

public double integral(double a, double b, int n){
	if(n%2==1) n++;
	double h=(b-a)/n;
	double suma=f(a)+f(b);
	for(int i=1; i<n; i+=2){
		suma+=4*f(a+i*h);
	}
	for(int i=2; i<n; i+=2){
		suma+=2*f(a+i*h);
	}
	return (suma*h/3);
}

double f(double z){
	double temp=Math.exp(-z*z/(4*t))*bessi0(x*z/(2*t))*z;
	return temp;
}


public double bessi0(double x) {
//Returns the modifed Bessel function I0(x) for any real x.
	double ax,ans;
	double y; //Accumulate polynomials in double precision.
	if ((ax=Math.abs(x)) < 3.75) { //Polynomial t.
		y=x/3.75;
		y*=y;
		ans=1.0+y*(3.5156229+y*(3.0899424+y*(1.2067492+y*(0.2659732+y*(0.360768e-1+y*0.45813e-2)))));
	} else {
		y=3.75/ax;
		ans=(Math.exp(ax)/Math.sqrt(ax))*(0.39894228+y*(0.1328592e-1+y*(0.225319e-2+
		y*(-0.157565e-2+y*(0.916281e-2+y*(-0.2057706e-1+y*(0.2635537e-1
		+y*(-0.1647633e-1+y*0.392377e-2))))))));
	}
	return ans;
}

//se representa la función

 y=Math.exp(-x*x/(4*t))*integral(0.0, 1.0, 40)/(2*t);