El fenómeno de Inducción Electromagnética. Leyes de Faraday y de la fuerza de Lorentz

3. ¿Cómo se puede cuantificar la IEM?. Ley de Faraday. (Enfoque basado en el modelo de campo)

A.5 ¿Conoces alguna magnitud que englobe la intensidad del campo magnético, el área de una superficie y la orientación relativa de ambas? Calcula el valor de esa magnitud para la situación descrita en las actividades A.2 y A.3, y comprueba si su variación temporal coincide con la magnitud de la fem inducida en cada caso.

Comentario A.5

Como ya se había adelantado en la actividad anterior, el objetivo de estas últimas actividades es el de abordar la ley de Faraday de una forma razonada y crítica huyendo de una presentación meramente operativa de dicha ley.

Con respecto a la primera parte de la actividad, se debería llegar a la conclusión de que esa magnitud es el flujo magnético.

En lo que se refiere a la comprobación de la experiencia de la actividad A.4, veamos:

El flujo magnético que atraviesa el circuito que rodea al solenoide, coincide con el flujo que atraviesa el interior del solenoide pues el B_ext = 0. Concretamente el flujo valdría:

$Φ_{B} = B_{1} π r_{1}^{2}$

Su variación temporal sería:

$\frac{d Φ_{B}}{dt} = π r_{1}^{2} \frac{{dB}_{1}}{dt}$

esto implicaría lo siguiente:

Si dB₁/dt crece --> dΦ_B/dt crece
Si dB₁/dt = 0 --> dΦ_B/dt = 0
Si r₁ crece --> dΦ_B/dt crece

Se propone trabajar esta actividad en grupos pequeños y luego hacer una puesta en común con todo el grupo, hasta este punto. Después el profesor tomará la palabra para introducir formalmente la ley de Faraday a la vez que hace la puesta en común de la primera parte de la actividad.

Introducción de la ley de Faraday:

El objetivo de esta última parte de la actividad es que el profesor presente, analizado todo lo anterior, una de las leyes fundamentales del electromagnetismo que es la denominada ley de Faraday (más tarde se completará con la regla de Lenz, para determinar el sentido de la 'fem').

Así pues, la ley de Faraday nos indica que la fem inducida en cualquier recorrido (circuito) material o virtual, viene cuantificada por la rapidez con que el flujo magnético está variando a través de dicho recorrido. Esto se refleja, matemáticamente de la siguiente forma:

$| ε | = | \frac{d Φ_{B}}{dt} |$

donde el flujo magnético Φ_B tiene un valor:

$Φ_{B} = \iint \vec{B} \cdot \vec{d S}$

En consecuencia, la ley de Faraday, para un observador inercial en reposo, da cuenta de si la variación del flujo magnético se debe a la variación del campo magnético con el tiempo o si es debido al área barrida por el circuito cuando se mueve a través de un campo B constante (o por ambas causas). Esta es la mayor virtualidad de la ley de Faraday, que es capaz de cuantificar la fem inducida, con una misma expresión matemática, de dos procesos, que para el observador aludido, son totalmente diferentes.

En relación con lo que acabamos de decir, se podría demostrar, analíticamente, que la parte de la fem debida al movimiento: ε_movimiento, que resultaría, cuando derivamos el flujo con respecto al tiempo, (en la expresión de la ley de Faraday):

$B \frac{{dS}_{m}}{dt}$

tendría el mismo valor que:

$\oint (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot \vec{d l}$

siendo S_m la superficie ‘barrida’ por el conductor cuando se mueve a través del campo magnético constante (en ocasiones esa superficie ‘barrida’ no coincide con la superficie que encierra el propio circuito, en el supuesto de que éste fuera cerrado)

A.6 La ley de Faraday nos da cuenta de la magnitud de la fem inducida. Para reflejar la dirección de dicha ‘fem’, podemos imaginar un hilo conductor que rodee a la región de flujo cambiante tal que “La fuerza electromotriz inducida daría lugar a una corriente en la dirección que produzca un campo magnético que trate de mantener el flujo constante (el efecto se opone a la causa)”

Contrasta la veracidad de esta regla (regla de Lenz) para todas las situaciones que hasta este punto hemos considerado.
Durante la corrección de un examen escrito el profesor constata el siguiente error: “La fem inducida da lugar siempre a una corriente que produce un campo magnético que se opone al campo magnético aplicado”. Utiliza un ejemplo que demuestre la limitada validez de dicha afirmación.

Comentario A.6

A.7 Supongamos que lanzamos con una pequeña velocidad el imán hacia la bobina de la figura respecto a un observador inercial en reposo.

Razona de manera cualitativa la sucesión de procesos que se desencadenan, teniendo en cuenta el sentido de la corriente inducida y las consiguientes fuerzas entre el imán y la espira.
En base a lo anterior, si el sentido de la corriente inducida fuera el contrario, ¿Se violaría el principio de conservación de la energía?

Comentario A.7

El objetivo de esta actividad es doble: por un lado, utilizar en una experiencia concreta la ley de Faraday, (en la figura siguiente se ilustra el problema del apartado a), y por otro, hacer especial hincapié en que la regla de Lenz no es otra cosa, aplicada a la inducción magnética, que el Principio de Conservación de la Energía.

Se propone trabajar esta actividad en grupos pequeños y luego hacer una puesta en común con todo el grupo, hasta este punto. Después el profesor tomará la palabra para introducir de formalmente la ley de Lenz a la vez que hace la puesta en común de la primera parte da la actividad.

Introducción de la ley de Faraday con la regla de Lenz:

Esta actividad pone el colofón al conjunto de actividades abordadas hasta el momento, que tenían un objetivo básico: analizar la denominada ley de Faraday-Lenz, que en su forma integral (que es la que estudia en este nivel) adquiere la siguiente forma:

$ε = - \frac{d Φ}{dt}$

Donde el signo menos ‘modeliza’ la regla de Lenz.

Recordamos que las fuentes de esa fem pueden ser: variación de B con t; movimiento de un conductor a través de un B constante; ambas a la vez. En el primer caso no hace falta presencia de materia; en el segundo sí.

A.8 Una vez estudiada la ley de Faraday (o, como algunos la denominan, de Faraday-Lenz), se trataría de analizar, a través de la utilización de dicha ley, las siguientes situaciones:

Situación 1: Una barra conductora se mueve con velocidad v, constante, en una región donde existe un campo magnético, B, uniforme, tal como se indica en la figura a).

Situación 2: En este caso, la barra conductora, que hacemos que se mueva con velocidad constante, v, a través de la misma región que en la situación 1, se apoya en un rail conductor en forma de "U", como se observa en la figura b).

Situación 3: En la misma región que en las situaciones anteriores, colocamos dos railes conductores paralelos y abiertos. En dichos railes se apoyan dos barras conductoras que hacemos que se muevan con sendas velocidades v1 y v2 constantes, como se ve en la figura c).

Pues bien, para las tres situaciones descritas, contestar a las siguientes cuestiones:

¿Se producirá el fenómeno de inducción electromagnética? Razónalo
¿Cuánto valdrá la f.e.m. neta?
¿Se inducirá una corriente eléctrica, I, permanente?

Una vez que hayas contestado a la preguntas anteriores, compara tus respuestas con las soluciones que aparecen en el programa de Simulación del que esta actividad está provista, y saca conclusiones.

Datos: Módulo del campo magnético: B; longitud de la barra: L

Situación 1

Campo magnético: Longitud
Velocidad: Fuerza

Situación 2

Campo magnético: Longitud
Velocidad: Fuerza

Situación 3

Campo Longitud
Velocidad 1: Velocidad 2:
Fuerza

Comentario A.8

El objetivo fundamental de esta actividad es el de aplicar, en diferentes situaciones, la ley de Faraday. En concreto, en todas las situaciones propuestas, el fenómeno de inducción electromagnética, que siempre se va a producir, se debe al movimiento de un conductor a través de un campo magnético constante.

En la Situación 1, el área barrida por la barra en un dt es: Ldx; como B es constante, la rapidez de cambio del flujo magnético será:

$\frac{d Φ}{d t} = B L \frac{d x}{d t} = B L v$

siendo v la velocidad que lleva la barra.

Tenemos que resaltar que en esta situación, los libros de texto suelen abordar el asunto, exclusivamente, aplicando la ley de Lorentz, dando la sensación de que la ley de Faraday no es adecuada; esto no es así. Mientras la barra se mueve, va barriendo un área y se induce una fem en dicha barra de valor: BLv, que hace que se muevan las cargas; ahora bien como el circuito es abierto (virtual), aparecerán unas densidades de carga, positivas en la parte de abajo y negativas en la parte de arriba de la barra. Si dicha barra se colocara más tarde sobre los raíles en forma de "U", equivalente a la Situación 2, se comportaría como una batería con la siguiente polaridad (en este caso):

En esta primera situación, evidentemente no habría una corriente inducida permanente ya que no disponemos de un circuito cerrado.

En la Situación 2, y por el mismo motivo explicitado en el caso anterior, se produciría el fenómeno de inducción electromagnética, induciéndose una f.e.m. de valor: ε=BLv, aunque, en este caso, dado que disponemos de un circuito cerrado se induciría una intensidad de corriente que circularía a través de dicho circuito en el sentido de las agujas del reloj (regla de Lenz).

En cuanto a la Situación 3, se produciría en cada barra el fenómeno de inducción electromagnética, por la misma razón que en la Situación 1. La f.e.m. en la primera barra valdría: ε₁=BLv₁ y en la segunda barra: ε₂=BLv₂. El conjunto de las barras con los dos railes se comportaría como un circuito de corriente continua tal como el que se muestra a continuación:

En consecuencia, en esta Situación 3, la fuerza electromotriz neta, valdrá: ε_T = ε₁- ε₂, por lo que se nos pueden presentar tres supuestos, a saber:

Que ε₁ sea mayor que ε₂ (porque v₁ v₂) se induciría una corriente eléctrica en el circuito cerrado formado por los dos railes y las dos barras; dicha corriente circularía en el sentido "antihorario" (regla de Lenz).
Que ε₁ sea menor que ε₂ (porque v₁ v₂) se induciría una corriente eléctrica en el circuito cerrado formado por los dos railes y las dos barras; dicha corriente circularía en el sentido "horario" (regla de Lenz).
Que ambas fuerzas electromotrices fuesen iguales (porque las velocidades con las que se desplazan ambas barras sean idénticas); esto daría lugar a un doble fenómeno de inducción electromagnética, como en los casos anteriores, pero dado que la fuerza electromotriz neta es cero, no circularía por el circuito anterior, corriente eléctrica alguna.

Hemos de subrayar que es en este último caso en el que se pone de manifiesto, de una forma muy nítida, la "idea alternativa" de los estudiantes consistente en calcular la variación del flujo magnético a través del área del circuito y no a través del área barrida por el conductor cuando se mueve en una región donde existe un campo magnético constante. En este sentido, cuando se les pregunta, en este caso III), si se produce el fenómeno de inducción electromagnética contestan que no y su argumento es que no hay variación de flujo magnético a través del circuito formado por los dos railes y las dos barras que se mueven con la misma velocidad…

A.9 Un campesino avispado ha sido descubierto robando corriente de las líneas de alta tensión que pasan por sus tierras y por las que circula corriente alterna según I=I₀senωt. Para ello utilizaba un dispositivo como el que se esquematiza en la figura. ¿Cuál es la fem extraída?

Comentario A.9

Aunque su resolución se ajusta a los parámetros de los problemas habituales de inducción electromagnética, el enunciado pretende incluir una cierta dosis de humor que pueda ayudar a que los estudiantes aborden el problema con mayor ánimo. La inclusión, a posteriori, de datos numéricos que se ajustan a la realidad, permite valorar la eficacia del método y especular sobre su posible mejora e inconvenientes. Desde el punto de vista de las estrategias de resolución, destaca la dificultad que supone el que el campo magnético, además de ser variable con el tiempo, también varíe con la posición.

Veamos cómo aborda la situación.

¿Cómo podemos interpretar el método empleado por el campesino para extraer corriente de las líneas de alta tensión?

Al ser la corriente alterna, su intensidad es variable con el tiempo y esto hace que el flujo del campo magnético que esta corriente crea en su entorno, a través de cualquier superficie delimitada por una espira conductora, sea también variable con el tiempo. Este flujo variable da lugar a una fem inducida en la espira que es la que, a través de las conexiones pertinentes, el campesino extrae para su beneficio.

En el esquema se nos indica que se utiliza una espira rectangular próxima a los hilos de alta tensión, que no son rectilíneos, aunque si consideramos la espira lo suficientemente próxima a ellos, podremos actuar como si lo fueran y simplificar así los posteriores cálculos.

¿Cómo deberá diseñar su dispositivo el aldeano para maximizar la fem extraída?

La fem extraída deberá depender de todos aquellos factores que alteren la variación temporal del flujo magnético a través de la espira conductora utilizada. Es decir, dependerá de aspectos característicos de la línea de alta tensión (los cuales el campesino no podrá modificar) y de variables relativas a la propia espira conductora y su posición relativa respecto a los cables de corriente (sobre las que sí podrá actuar).

Entre los primeros tenemos:

La intensidad I₀ que circula por la línea que, cuanto mayor sea, mayor campo creará en su entorno dando lugar a una mayor variación temporal del flujo. La frecuencia angular ω=2πf que, cuanto mayor sea, mayor será el ritmo de cambio de la intensidad que circula por los cables y mayor la variación temporal del flujo magnético que crea a través de la espira.

Los parámetros sobre los que el aldeano podrá incidir son:

La distancia c de la espira al hilo que, cuanto mayor sea, menor será el campo magnético en la región ocupada por la espira y menor el flujo a su través. Además, si pretendemos considerar el hilo como rectilíneo e infinito no deberíamos alejar la espira mucho de él.

Las propias dimensiones a y b de la espira que, cuanto mayores sean, mayor será el flujo a su través.

También influye la orientación de la espira respecto del cable de alta tensión. En el presente caso viene dada en la figura y se corresponde con la orientación de máximo flujo y, por tanto, la más favorable.

Un último factor que incidirá, distinto de los dos tipos antes citados, es la permeabilidad del medio que altera el campo. En nuestro caso consideraremos el aire y, por tanto, constante.

Como la corriente es alterna, la fem inducida variará de forma análoga con el tiempo. Su valor máximo ε₀ vendrá dado por ε₀=ε₀ (I₀,ω, a, b, c, μ₀).

¿Cómo podremos obtener la expresión matemática del campo magnético creado por la lámina?

Para obtener la fem inducida deberemos calcular la variación temporal del flujo magnético a través de la superficie definida por la espira de corriente. Como el campo creado por el hilo de alta tensión varía con la distancia a él, el flujo lo calcularemos dividiendo la espira en franjas diferenciales y luego sumando mediante una integral definida:

$Φ = \int_{S} \vec{B} \cdot d \vec{S} = \int_{c}^{c + a} \frac{μ_{0} I}{2 π} b \frac{d r}{r} = \frac{μ_{0} I b}{2 π} \ln (\frac{c + a}{c})$

Como I=I₀senωt, la fem inducida:

$ε = - \frac{d ϕ}{d t} = - \frac{μ_{0} I_{0} b ω}{2 π} \ln (\frac{c + a}{c}) \cos ω t$

con sentido alterno en el tiempo.

$ε_{0} = \frac{μ_{0} I_{0} b ω}{2 π} \ln (\frac{c + a}{c})$

¿Es coherente el resultado con respecto a las hipótesis emitidas?

Se comprueba que, tanto los factores relativos a la intensidad de la corriente de alta tensión, como los referentes a la geometría de la espira y al medio, figuran en la expresión obtenida tal y como habíamos previsto. Para analizar la variación de la distancia c, es conveniente escribir el resultado como:

$ε_{0} = \frac{μ_{0} I_{0} b ω}{2 π} \ln (1 + \frac{a}{c})$

El resultado, se comprueba que es dimensionalmente homogéneo:

$\frac{N}{A^{2}} \cdot A \cdot m \cdot \frac{1}{s} = \frac{N \cdot m}{\frac{C}{s} \cdot s} = \frac{N \cdot m}{C} = V$

¿Es realmente eficaz el método propuesto por el aldeano?

Para valorar esta cuestión podemos pedir a nuestros estudiantes que calculen la dimensión b de la espira que habría que colocar si la línea de alta tensión transportara una corriente de I₀=10kA y f=60Hz y si el campesino pretendiera obtener una fem de valor máximo de 170V (típico para una corriente alterna de 120V) y si suponemos que coloca la espira, de ancho a=0.5m, a c=5m de la línea.

Despejando la dimensión que queremos obtener, queda:

$b = \frac{ε_{0} 2 π}{μ_{0} I_{0} ω \ln (\frac{c + a}{c})}$

Y, sustituyendo valores, se tiene que sería necesaria una espira de 2.7km de largo, lo que, desde luego, no hace que el sistema empleado sea muy operativo.

Se propone trabajar esta actividad en grupos pequeños y luego hacer una puesta en común con todo el grupo.