5. Constatación de que la ley de Faraday y la ley de la fuerza de Lorentz son equivalentes y, por lo tanto, válidas para estudiar cualquier fenómeno asociado a la IEM.
A.14
El objetivo que ahora nos planteamos es volver a analizar la actividad A.8 , pero ahora bajo el enfoque de las fuerzas que ejercen los campos, mediante la utilización de la fuerza de Lorentz y comprobar que el resultado final es idéntico. En esta actividad, dado que el fenómeno de inducción se produce como consecuencia del movimiento de conductores a través de un campo magnético, ya se demostró previamente que la variación del flujo a través del área barrida (así se abordó la actividad A.8 mediante la utilización de la ley de Faraday), era cuantitativamente igual al trabajo que, por unidad de carga, (fuerza electromotriz) realiza la fuerza magnética (Lorentz) que surge como consecuencia del movimiento del conductor a través de la región en la que existe un campo magnético. Esa fuerza electromotriz se calcularía así:
∮
(
v
→
×
B
→
)
∘
d l
→
(donde dl es un elemento diferencial de longitud del conductor que se está moviendo)
Así que en las tres situaciones descritas, se produciría el fenómeno de inducción (en la situación 3, en dos ocasiones) y los resultados, después de aplicar la expresión anterior, serían los mismos que los calculados por Faraday.
En todo caso, en la situación 1, donde no hay circuito material cerrado, vamos a explicitar el cálculo, en primer lugar, de la forma habitual en la que lo hacen los libros de texto. Utilizando un enfoque de fuerzas, inicialmente aparecería una fuerza magnética que, en este caso, llevaría los electrones hacia la parte superior de la barra, que haría que se fueran generando unas densidades de carga en los extremos de la barra (de signo negativo arriba y positivo abajo) que harían que apareciese un campo eléctrico conservativo hacia arriba generando una fuerza eléctrica sobre los electrones, de sentido opuesto a la magnética, que iría creciendo hasta que eventualmente la igualaría; a partir de ese momento las densidades de carga no crecerían más. En ese momento, desde un punto de vista cuantitativo, podríamos cuantificar la f.e.m. inducida, mediante el siguiente argumento: por un lado los módulos de las dos fuerzas son iguales ε-vB= ε-Ec . Por otro lado Ec =ΔV/L ΔV=vBL. En este caso, desde el punto de vista cuantitativo, la diferencia de potencial vale lo mismo que la f.e.m. ε=vBL, que es lo que ya habíamos calculado con anterioridad mediante la ley de Faraday. (Recuérdese que diferencia de potencial y fuerza electromotriz son dos magnitudes que, aunque con las mismas unidades, conceptualmente son diferentes; la primera está asociada sólo al trabajo de una fuerza conservativa (eléctrica) y la f.e.m. no necesariamente.
Otra forma de calcular la f.e.m., más directamente relacionada con el trabajo que por unidad de carga realiza, en un ciclo cerrado, la componente de fuerza magnética de la fuerza de Lorentz, que aparece siempre que un conductor se mueve en una región donde existe un campo magnético estacionario, es como se ha dicho con anterioridad, mediante la expresión:
∮
(
v
→
×
B
→
)
∘
d l
→
Cuando se trata de aplicar dicha expresión al caso en el que no haya un circuito material cerrado, se aplica al circuito "virtual" determinado por el área barrida por dicho conductor. Como es evidente en dicho circuito todos los lados que lo conforman no tienen realidad material, por lo tanto, en la práctica la f.e.m, queda circunscrita al lado material y, en consecuencia, cuantitativamente hablando, la f.e.m. coincidirá con el valor que tenga la integral anterior, calculada entre los límites de integración que sean coherentes con la longitud del conductor que se está moviendo; en este caso:
∫
0
L
(
v
→
×
B
→
)
∘
d l
→
= v B
∫
d l
= v B L
En adelante, cuando abordemos las actividades mediante la ley de la fuerza de Lorentz, para calcular la f.e.m. inducida en un conductor que se mueva en una región donde exista un campo magnético estacionario, utilizaremos cualquiera de los dos últimos análisis que se acabamos de indicar.
A.15 B (siendo su módulo, dirección y sentido constantes).
¿Se producirá el fenómeno de inducción electromagnética en el interior del solenoide? Razónalo.
Ahora, hacemos variar el campo magnético en el interior del solenoide [ver a) de la figura de abajo], de manera que se cumple que:
¿Se producirá el fenómeno de inducción electromagnética en el interior del solenoide? Razónalo.
¿Existirá corriente inducida en dicha región? Razónalo.
Si situamos una carga eléctrica en reposo en el interior del solenoide ¿qué le ocurrirá? ¿por qué?
Si introducimos en el interior de ese solenoide una espira conductora [ver b) de la figura de abajo], concéntrica con el solenoide, ¿aparecerá una corriente inducida en ella? ¿por qué? ¿cuál será su sentido?
Con el diseño de esta actividad se persiguen los siguientes objetivos: con el apartado a) tratamos de ver cómo con la mera existencia de un campo magnético constante no se produce el fenómeno de IEM ("idea alternativa" ésta, bastante extendida entre los estudiantes).
En el apartado b), sin embargo, se observará que sí se produce la IEM, independientemente de que no exista corriente inducida, apareciendo un campo eléctrico no conservativo en cada punto que acelerará a la carga que hemos puesto en el interior del solenoide (b.3), ya que al dejarla en reposo el campo magnético no actuará sobre ella.
En el apartado c) se da la IEM, apareciendo, según la ley de Faraday, una fuerza electromotriz consecuencia de la variación del flujo magnético a través de la espira, que provocará que en ella se induzca una corriente eléctrica en el sentido "antihorario"; bajo un enfoque de las 'fuerzas que generan los campos', (ley de la fuerza de Lorentz) se podría decir que la existencia de un campo eléctrico no conservativo en los puntos de la espira movería (la fuerza eléctrica consiguiente) las cargas, generando la corriente inducida en cuestión.
A.16 v =vu x .
(En la figura se muestra uno de los instantes en los que la espira está saliendo de dicho campo).
¿Se producirá el fenómeno de inducción electromagnética en la espira mientras toda ella esté viajando a través de la región donde existe B (x<0)? Razónalo, utilizando para ello la ley de Faraday.
¿Se producirá el fenómeno de IEM mientras la espira esté saliendo de la región x<0 a la de x>0? Razónalo utilizando la misma ley de Faraday.
Calcula la fem neta en ambas ocasiones.
Contesta a las tres cuestiones anteriores, utilizando la ley de la fuerza de Lorentz.
Una vez que hayas contestado a la preguntas anteriores, compara tus respuestas con las soluciones que aparecen en el programa de Simulación del que esta actividad está provista, y saca conclusiones.
La respuesta correcta al apartado a) es que sí y, además dos veces, uno en el lado trasero de la espira y otro en el lado delantero. La clave, como en otras ocasiones, es que hay analizar la variación del flujo magnético a través de las "áreas barridas" por dichos lados y no a través del área del circuito, como se ve en la figura siguiente (espira vista desde arriba).
En cada lado aparecería una fem del mismo valor y la espira se comportaría como un circuito como el que se muestra en la figura de abajo (para designar la polaridad de cada pila, hemos utilizado la regla de Lenz).
Lo que significa que la fem neta es nula y, por lo tanto, no hay corriente inducida.
En relación al apartado b), también se produce el fenómeno de inducción pero una única vez, en el lado trasero; de nuevo la forma adecuada de abordarlo es a través del "área barrida"; ver figura siguiente; en dicha figura hemos denominado Zona A a la región donde está definido el campo magnético B y Zona B a la región donde ya no existe el campo magnético.
En este caso la espira se comportaría como el circuito siguiente:
Como se observa, se induciría una fem que produciría en el circuito de la espira una corriente eléctrica en sentido antihorario (regla de Lenz).
En relación al apartado c), la fem neta, en el primer caso, se calcularía mediante la suma algebraica (resta aritmética en este caso) de las dos fuerzas electromotrices inducidas, que como valen lo mismo: BLv, y están 'en oposición' sería nula (ver el cálculo de la f.e.m. en cada barra, a continuación). En el segundo, utilizando adecuadamente la ley de Faraday nos quedaría:
d Φ
d t
= B
d S
d t
= B L
v d t
d t
= B L v
Siendo vdt el espacio recorrido por la espira en un dt. (Como decíamos antes, en el primer supuesto, así se hubiera calculado la f.e.m. en las barras delantera y trasera de la espira)
d) Si el primer caso lo hubiéramos abordado a través de la fuerza de Lorentz, habríamos visto que en el lado trasero y delantero de la espira habría aparecido una fuerza magnética hacia abajo que habría producido, en principio la aparición de unas densidades de carga (abajo positivas, arriba negativas) que hubieran generado, a su vez un campo eléctrico conservativo; éste último iría creciendo hasta que las fuerzas eléctrica y magnética fuesen iguales; en ese momento, como ya se ha visto en la actividad A.14 , la f.e.m. en cada barra valdría lo mismo: ε=vBL. Como ambas están 'en oposición' la f.e.m. neta sería cero.
En el caso segundo, sólo se produciría el fenómeno de inducción electromagnética en el lado que está dentro del campo; en el aparecería una fuerza magnética dirigida hacia abajo, que "movería" las cargas positivas en sentido antihorario. La f.e.m. asociada al trabajo por unidad de carga de dicha fuerza se calcularía, como en otras ocasiones, a través de la expresión matemática:
ε =
∮
(
v
→
×
B
→
) ∘
d l
→
(donde dl es un elemento diferencial de longitud del conductor que se está moviendo). En este caso dicho valor sería ε=vBL
Como se puede observar, una vez más, los resultados obtenidos a través de las dos leyes son idénticos, lo que demuestra la equivalencia de dichas leyes.
A.17 Un hilo conductor rectilíneo y largo transporta una corriente I; a una distancia d del hilo se encuentra una espira conductora rectangular, tal como se indica en la figura. En estas condiciones iniciales, contesta a la siguiente cuestión:
¿Se producirá el fenómeno de inducción electromagnética en la espira? Razónalo.
Si ahora alejamos la espira del hilo de corriente, llevándola con una velocidad, v, constante, hacia la derecha, responde a las siguientes cuestiones:
¿Se producirá el fenómeno de inducción electromagnética? Razónalo.
En el supuesto de una respuesta afirmativa a la cuestión anterior, calcula la f.e.m. neta, utilizando la ley de Faraday y la de la fuerza de Lorentz.
Si la espira tuviese los dos lados perpendiculares al hilo de material aislante, ¿habría alguna diferencia relevante respecto al caso inicial? Si es así, explica en qué consistiría.
Una vez que hayas contestado a la preguntas anteriores, compara tus respuestas con las soluciones que aparecen en el programa de Simulación del que esta actividad está provista, y saca conclusiones.
Una de las "ideas alternativas" de los estudiantes, relativas al fenómeno de inducción electromagnética, es que afirman que éste sí se produce en cuanto el flujo que atraviesa la espira no sea el mismo en todas las zonas de la misma (como es el caso), sin importar que para que el fenómeno se produzca la variación del flujo magnético debe ser, sólo, con respecto al tiempo. Así pues, en el caso a), no se produce el fenómeno de inducción electromagnética porque la espira está quieta y el campo magnético en la espira es constante en el tiempo (que no en el espacio; se recuerda que el campo magnético que crea un hilo recto largo, es inversamente proporcional a la distancia a la que nos encontremos de dicho hilo).
En relación al apartado b), se producirá un doble fenómeno de inducción electromagnética en los lados izquierdo y derecho de la espira. En actividades anteriores (véase, por ejemplo la situación 3 de la actividad A.8 ) ya se ha explicado, tanto por Faraday como por Lorentz, el porqué de esta afirmación. En esta actividad, a diferencia de la mentada A.8 , la velocidad de los dos lados es la misma pero el campo magnético en cada lado es distinto (eso sí, en cada instante, el campo en cada lado, aunque distinto, es constante).
c) Cálculo de la f.e.m. neta, aplicando Faraday:
Calcularemos la variación del flujo magnético a través del área barrida por el lado más cercano al hilo y por el más alejado. La variación a través del más cercano será mayor, pues el campo magnético ahí es más grande; en consecuencia, la f.e.m. neta no será nula. Aplicando la regla de Lenz, el sentido de la f.e.m., y de la corriente inducida en la espira, será "horario". El comportamiento de la espira será como el circuito de 'continua', con las dos baterías con la polaridad 'en oposición', que se representa a continuación, donde ε1 >ε2
El cálculo matemático de la f.e.m. neta se hará de la forma siguiente:
El flujo a través del área barrida por el lado izquierdo de la espira será:
Φ
B
1
=
∫
d
d + x
B
→
∘
d S
→
=
μ
0
I b
2 π
l n (
d + x
d
)
El flujo a través del área barrida por el lado derecho de la espira será:
Φ
B
2
=
∫
d + a
d + a + x
B
→
∘
d S
→
=
μ
0
I b
2 π
l n (
d + a + x
d + a
)
(En las dos expresiones anteriores, x=vt y la cantidad subintegral de ambas integrales valdría:
μ
0
I
2 π r
b · d r
(Recuérdese que el campo magnético que crea un hilo largo de corriente a una distancia genérica r, es:
B =
μ
0
I
2 π r
Para hallar la f.e.m. neta, calcularemos la variación respecto al tiempo, de cada uno de los flujos anteriores (lo que nos daría, respectivamente,
las fuerzas electromotrices ε1 y
ε2 ) y después, puesto que ambas están en oposición, las restaríamos: εT =ε1 -ε2 .
ε
T
=
d
Φ
B
1
d t
−
d
Φ
B
1
d t
=
μ
0
I b
2 π
(
v
d + x
−
v
d + x + a
) =
μ
0
I b
2 π
(
v
d + v t
−
v
d + v t + a
) =
μ
0
I b v a
2 π (
d + v t
) (
d + v t + a
)
Cálculo de la f.e.m. neta, aplicando Lorentz:
Como consecuencia del movimiento de la espira a través del campo magnético que crea el hilo aparecerá en su lado izquierdo y en su derecho una fuerza magnética hacia arriba (más grande en el izquierdo que en el derecho) que hará que exista una fuerza magnética neta que "moverá" a las cargas positivas a través de la espira en el sentido "horario". Para calcular la f.e.m. en cada lado utilizaremos la expresión:
ε =
∮
(
v
→
×
B
→
) ∘
d l
→
Así, la f.e.m., ε1 , en el lado izquierdo será:
ε
1
=
∫
0
b
v
μ
0
I
2 π (
d + v t
)
d l =
v
μ
0
I
2 π (
d + v t
)
∫
0
b
d l =
μ
0
I v b
2 π (
d + v t
)
La f.e.m. en el lado derecho será:
ε
2
=
∫
0
b
v
μ
0
I
2 π (
d + v t + a
)
d l =
v
μ
0
I
2 π (
d + v t + a
)
∫
0
b
d l =
μ
0
I v b
2 π (
d + v t + a
)
La f.e.m. neta será:
ε
1
−
ε
2
=
μ
0
I v b a
2 π (
d + v t
) (
d + v t + a
)
Es decir, el mismo valor que el obtenido a través de la ley de Faraday.
d) La única diferencia respecto a lo acontecido en los apartados b) y c) es que, a diferencia del caso primero, en el que se inducía una corriente eléctrica permanente, en este último caso no es así, debido a la existencia de esos dos lados de la espira de material dieléctrico.
A.18
¿Se producirá el fenómeno de inducción electromagnética en la varilla? Razónalo.
Si la respuesta a la cuestión anterior ha sido afirmativa, calcula, utilizando la ley de Faraday y la de la fuerza de Lorentz, la fuerza electromotriz inducida en la varilla.
Una vez que hayas contestado a la preguntas anteriores, compara tus respuestas con las soluciones que aparecen en el programa de Simulación del que esta actividad está provista, y saca conclusiones.
Con el análisis de esta actividad tratamos, una vez más, de que los estudiantes superen el error teórico de abordar el fenómeno de inducción electromagnética, cuando utilizan la ley de Faraday, calculando la variación del flujo magnético a través del área del circuito; error que se agudiza, obviamente, cuando no existe un circuito material cerrado, como sucede en este caso. La variante de esta actividad, respecto de otras que hemos abordado con anterioridad, es que aquí el campo magnético que hay en cada punto de la varilla no es el mismo.
Con respecto a la cuestión a) hay que decir que sí se produce el fenómeno de inducción electromagnética, consecuencia del movimiento de un conductor a través de un campo magnético. Es verdad que, dado que no hay un circuito cerrado, no se inducirá una intensidad de corriente permanente en la varilla. Pero no lo es menos que se inducirá una f.e.m. en dicha varilla.
b) El cálculo de la f.e.m. inducida por Faraday, se haría, como siempre, hallando la variación del flujo magnético, respecto al tiempo, a través del área barrida por la varilla en su movimiento. Así pues, el valor absoluto de dicha f.e.m. se calcularía así:
El flujo que atravesará la superficie barrida por la espira en un tiempo t, valdrá:
Φ =
∫
d
d + L
μ
0
I
2 π r
v t · d r =
μ
0
I v t
2 π
ln (
L + d
d
)
Donde vt dr representa un 'área diferencial': dS, del área barrida por la varilla en un tiempo: t; concretamente, sería el área de un rectángulo 'diferencial' de base: dr y de altura: vt. Por lo tanto la f.e.m. inducida sería:
ε =
d Φ
d t
=
μ
0
I v
2 π
ln (
L + d
d
)
La regla de Lenz indicaría que en ese circuito virtual la corriente tendría el sentido contario al de la agujas del reloj, lo que implica que en la varilla aparecerían unas densidades de carga que tendrían signo positivo en el extremo de la varilla más cercano al hilo y negativo en el más alejado.
Si abordáramos el problema a través de la ley de Lorentz, observaríamos que aparece una fuerza magnética (en la varilla) dirigida hacia la izquierda, que llevaría a las cargas positivas hacia la izquierda, apareciendo una densidad de carga negativa en la derecha de dicha varilla; estas densidades de carga crearían un campo eléctrico conservativo, y en consecuencia una fuerza eléctrica dirigida hacia la derecha que haría que, eventualmente esas densidades de carga dejaran de crecer (cuando ambas fuerzas fueran iguales en módulo). El cálculo de la f.e.m., utilizando el enfoque de Lorentz propiamente dicho, sería, como lo hemos hecho en ocasiones anteriores, mediante la expresión:
ε =
∮
(
v
→
×
B
→
) ∘
d l
→
En este caso:
ε =
∫
d
d + L
v
μ
0
I
2 π r
d r =
μ
0
I v
2 π
ln (
L + d
d
)
Como se observa, de nuevo, cualquiera de las dos leyes sirve para abordar el problema planteado.
A.19
¿Se producirá el fenómeno de inducción electromagnética? Razónalo.
En el supuesto de que tu contestación haya sido afirmativa, calcula, utilizando la ley de Faraday y la de la fuerza de Lorentz, la f.e.m. inducida.
Si la varilla metálica en cuestión la hacemos girar en las mismas condiciones que en el caso descrito, pero ahora el extremo opuesto al lugar donde se encuentra el eje, se apoya permanentemente sobre una espira conductora circular de radio L (ver Fig. b), contesta a las siguientes cuestiones:
¿Se producirá el fenómeno de inducción electromagnética? Razónalo.
En el supuesto de que tu contestación haya sido afirmativa, calcula, utilizando la ley de Faraday y la de la fuerza de Lorentz, la f.e.m. inducida.
Una vez que hayas contestado a la preguntas anteriores, compara tus respuestas con las soluciones que aparecen en el programa de Simulación del que esta actividad está provista, y saca conclusiones.
En relación a la situación inicial (una varilla gira en un campo magnético sin apoyarse en nada) nos encontramos ante un caso ya analizado en actividades previas en las que sí se produce el fenómeno de inducción electromagnética, como consecuencia del movimiento de un conductor en una región donde existe un campo magnético estacionario; en esta ocasión, la novedad es que no es un movimiento de traslación sino de rotación alrededor de un eje.
Para el cálculo de la f.e.m., utilizando la ley de Faraday, hallaremos la variación del flujo magnético a través del área barrida por la varilla cuando ésta gira. Obsérvese que, en este caso, la forma geométrica de esa área es un sector circular (recordamos que el área de un sector circular, inscrito en un círculo de radio: R y con un ángulo de apertura: θ vale: Sm =θR2 /2
En este caso el espacio angular, θ se puede expresar, dado que se trata de un movimiento circular y uniforme, así: θ=ωt, por lo que el área también se puede expresar: Sm =θtR2 /2 ; por lo tanto la f.e.m. se podrá calcular, como la variación del flujo magnético respecto del tiempo, de la forma siguiente:
ε =
d Φ
d t
= B
d
S
m
d t
= B
1
2
ω
L
2
=
1
2
B ω
L
2
Además, en este caso, aplicando la regla de Lenz, (al circuito virtual del área barrida), el sentido de la f.e.m. sería "antihorario" y, en consecuencia, aparecerá, sendas densidades de carga eléctrica en los extremos de la varilla, positiva en el extremo unido al eje de giro y negativa en el opuesto.
Si el cálculo lo hubiésemos abordado aplicando la ley de Lorentz, se hubiera visto que, en primer lugar, aparece una fuerza magnética sobre las cargas de la barra, ello provocaría la aparición de unas densidades de carga en los extremos de la barra que, a su vez, generarían un campo eléctrico en sentido contario, ...etc. (ya se ha explicado lo mismo en actividades anteriores). Para el cálculo por la fuerza de Lorentz, propiamente dicho, utilizaríamos, como ya hemos visto con anterioridad, la expresión de la f.e.m. que es igual a:
∮
(
v
→
×
B
→
) ∘
d l
→
Puesto que en este caso se trata de un movimiento de rotación alrededor de un eje, la v de dicha expresión se corresponderá con la velocidad del centro de masas, vCM , de la varilla. Aplicando conceptos del ámbito de la cinemática de rotación de los sólidos rígidos podemos relacionar esta última velocidad con la velocidad angular que lleva y la longitud de la barra; dicha relación es: vCM =Lω/2. Por consiguiente, para esta situación, la f.e.m. se calcularía de la siguiente manera:
ε =
∫
0
L
v
C M
B d l =
∫
0
L
1
2
L ω B d l =
1
2
B ω
L
2
La fuerza magnética, ya mentada, llevaría las cargas positivas hacia el extremo de la varilla unido al eje de giro y, por lo tanto, en el otro extremo aparecería una densidad de carga de signo negativo.
Como queda de manifiesto, una vez más, los resultados obtenidos a través de las dos leyes son idénticos.
Para el diseño de la segunda situación (cuando la varilla se apoya en la espira circular) hemos tenido un objetivo añadido ... puesto que los estudiantes, en la mayor parte de las ocasiones, de forma acrítica, afirman que sí hay f.e.m. inducida en cuanto observan que un circuito cerrado (en este caso la espira circular) es atravesado por un campo magnético, hemos querido trabajar este asunto con esta actividad. Además, y de forma colateral, también se puede aprovechar para distinguir entre un conductor cargado eléctricamente y un conductor recorrido por una intensidad de corriente (ambas situaciones son, a menudo, asimiladas como iguales por los estudiantes, cayendo en un "reduccionismo funcional").
En concreto, y contestando a las cuestiones c) y d) de esta actividad, hay que decir que a la barra que gira le sucedería lo mismo que en el caso anterior, y por idénticos motivos, se apoye o no en la espira circular. La única diferencia es que entre el extremo de la varilla, que está en permanente contacto con la espira circular, y que está cargado con una densidad de carga negativa, consecuencia de la inducción en la varilla, y su punto de contacto con la espira circular, habría un trasiego de cargas de ese extremo a la espira circular y eso haría que dicha espira se fuese cargando electrostáticamente (no que fuese recorrida por un intensidad de corriente permanente). Por supuesto, el fenómeno de inducción electromagnética no aparecería en dicha espira ya que, ni a su través hay variación del flujo magnético con el tiempo, ni se está moviendo a través de un campo magnético.
Comentario A.14
