El fenómeno de Inducción Electromagnética. Leyes de Faraday y de la fuerza de Lorentz

4. ¿Existe alguna otra forma de cuantificar la IEM? Ley de la fuerza de Lorentz. (Enfoque basado en las fuerzas que ejercen los campos)

A.10 Imaginemos un solenoide largo por el que circula una corriente I.

¿Cómo y cuál es el campo magnético creado por él?

Si al situar una carga en reposo tanto en el interior como en el exterior de un solenoide recorrido por una corriente constante, observamos que continúa en reposo, ¿A qué será debido?

Si al situar una carga en reposo tanto en el interior como en el exterior del solenoide recorrido ahora por una corriente que varía en el tiempo, observamos que se mueve, ¿a qué será debido?

Comentario A.10

Con esta actividad se trataría de observar, de nuevo, cómo los 'campos' actúan sólo sobre sus fuentes. De esta manera, y recordando que el campo magnético en el exterior de un solenoide es, básicamente cero, y en su interior en el centro y sus aledaños, constante, los estudiantes deberían llegar a la conclusión de que, en el caso a), no hay fuerza eléctrica porque no existe campo eléctrico y no hay fuerza magnética porque la carga está en reposo.

En lo que se refiere al apartado b), como la carga está en reposo, la única fuerza que la ha podido mover es de carácter eléctrico y ésta se ha producido como consecuencia de la variación de B con t, en el interior del solenoide, que ha inducido un campo eléctrico no coulombiano.

Se propone trabajar esta actividad en grupos pequeños y luego hacer una puesta en común con todo el grupo.

A.11 ¿Podemos distinguir de alguna manera el campo coulombiano creado por cargas puntuales en reposo y este campo? Recuerda la actividad relativa a campo eléctrico donde se comprobaba que no podía existir una configuración de cargas eléctricas tal que el patrón de campo eléctrico fuera el de la figura:

Circulación del campo eléctrico. Variación del campo eléctrico inducido en el interior y exterior de un solenoide. Teorema de Gauss para campos eléctricos en presencia de campo inducido por variación del campo magnético.

Comentario A.11

La finalidad más importante de esta actividad es mostrar la diferencia entre los campos eléctricos generados por cargas eléctricas estáticas (campos eléctricos 'coulombianos' o 'conservativos': E_C) y los inducidos como consecuencia de la variación de un campo magnético con el tiempo (campos eléctricos 'no coulombianos' o 'no conservativos': E_NC).

La experiencia demuestra que el 'patrón' de campo eléctrico no coulmbiano que se genera, tanto en el exterior como en el interior de un solenoide en el que la corriente esta variando con el tiempo de manera que el campo magnético asociado crece hacia fuera, es el que se representa en la siguiente figura:

Es decir las líneas de campo, ahora, son cerradas, rodeando al agente que lo ha creado, a diferencia del patrón de líneas de campo creadas por cargas eléctricas estáticas que tenían su origen en las propias cargas y, en muchos casos, eran abiertas.

En el caso actual el campo, en el interior del solenoide, es proporcional a la distancia a la que nos situemos del centro (r) y cuando estamos en el exterior decrece con dicha distancia. En todo caso la circulación de dicho campo, a lo largo de una línea cerrada nunca podrá ser cero, dadas las direcciones que el vector campo y el tangente a la línea de circulación tienen, por lo que dicho campo, a diferencia del creado por cargas estáticas no es conservativo:

$\oint {\vec{E}}_{NC} \cdot \vec{dl} \neq 0$

La última cuestión que aquí analizamos es si la ley de Gauss del campo eléctrico se modificaría como consecuencia de la aparición de una nueva fuente de campos eléctricos. Dicha ley, ahora, se tendría que enunciar así:

$∯ ({\vec{E}}_{C} + {\vec{E}}_{NC}) \cdot \vec{dS} = \frac{Q_{int}}{ε_{0}}$

Esa integral se podría descomponer en dos integrales; la correspondiente al campo eléctrico no conservativo siempre daría nula, dad la definición de flujo y teniendo en cuenta que las líneas de campo eléctrico no coulombiano son siempre cerradas. Así que la ley de Gauss, correspondiente al campo eléctrico, no se modificaría en absoluto.

Esta explicación, sobre el campo eléctrico no coulombiano, será guiada por el profesor.

A.12 Consideremos nuestro solenoide largo en donde el campo magnético saliente creado en su interior debido a la corriente que circula en sus espiras aumenta con el tiempo. Imaginemos que el solenoide se encuentra rodeado por un conductor circular de radio r2. Dibuja sobre el conductor el campo eléctrico inducido (no coulombiano E_NC).

Si la fem inducida es el trabajo por unidad de carga dado a una partícula para desplazarla a lo largo de una trayectoria cerrada, ¿Cuánto vale entonces dicha fem en términos del ENC, omitiendo cualquier otra posible fuente? ¿Y, si elegimos como conductor circular otro de radio 2r₂? ¿Qué podemos concluir al comparar ambos resultados?

Comentario A.12

Con esta actividad tratamos de conseguir varios objetivos: por un lado encontrar una relación que ligue el campo eléctrico inducido con la fuerza electromotriz asociada a él.

Para el apartado b), cuando r= r₂, tendríamos lo siguiente:

$ε_{ind} = \frac{W}{q} = \oint {\vec{F}}_{NC} \cdot \vec{dl} \cdot \frac{1}{q} = \oint {\vec{E}}_{NC} \cdot \vec{dl} = E_{NC} 2 π r_{2}$

Cuando r = 2r₂ el valor de la fuerza electromotriz inducida no variaría ya que la disminución del campo se compensaría con el aumento de la longitud de la línea; esto significa que la 'fem' inducida en un circuito cerrado que rodea al solenoide, es independiente del tamaño del circuito.

En todo caso se debe constatar que el fenómeno de inducción, bajo el punto de vista microscópico, consiste en la aparición de un campo eléctrico no coulombiano (se produce siempre que hay una variación de B con t); sin embargo, por ejemplo en este caso, no habría aparecido el efecto de la corriente inducida en el circuito si éste no hubiera sido de material conductor y no por ello se hubiese dejado de producir el fenómeno de inducción electromagnética.

Esta explicación será guiada por el profesor.

A.13 a) Escribe la ley de fuerza de Lorentz incluyendo en ella todos los términos que puedan hacer moverse a las cargas.

b) Escribe la fem entendida como el trabajo total realizado sobre la unidad de carga para desplazarla alrededor de una trayectoria cerrada e identifica cada uno de los términos obtenidos.

¿Aprecias alguno que aún no hemos valorado?

Comentario A.13

Hasta el momento el fenómeno de inducción que hemos analizado se debía al fenómeno físico de la variación de un campo magnético con el tiempo. La cuestión que aquí nos vamos a plantear, y que completará el estudio del fenómeno de inducción electromagnética, es si para ese observador inercial que está en reposo, y con el que estamos evaluando los fenómenos desde el comienzo del tema, existirá otra causa física distinta a las analizadas en las primeras actividades de este programa, que también produzcan el fenómeno de inducción.

Para abordar esto partiremos de recordar la ley de Lorentz así como la definición de fem y cotejar lo que aparece con lo que ya sabemos para poder sacar conclusiones, de forma razonada

Ley de Lorentz:

$\vec{F} = q {\vec{E}}_{C} + q {\vec{E}}_{NC} + q \vec{v} \times \vec{B}$

En consecuencia la fuerza electromotriz definida ya en la actividad: A.12 valdría:

$ε = \oint {\vec{E}}_{C} \cdot \vec{dl} + \oint {\vec{E}}_{NC} \cdot \vec{dl} + \oint (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot \vec{dl}$

Analizando detenidamente esta última expresión, podemos deducir lo siguiente:

En la parte derecha de la igualdad, el primer término siempre es cero dado el carácter conservativo de ese campo; el segundo término (de ámbito eléctrico) es el estudiado en las actividades previas. Como se observa, queda aún un tercer término no nulo de carácter magnético, para el observador inercial en reposo, que también da lugar a una fem inducida por el movimiento.

De todo lo anterior se deduce que, como ya hemos visto, que para un observador inercial en reposo, existen dos fenómenos físicos distintos que producen el fenómeno de inducción electromagnética, a saber: una variación de un campo magnético con el tiempo (fenómeno de índole eléctrica) y/o movimiento de un conductor a través de un campo magnético constante (fenómeno de carácter magnético).

Esta explicación será guiada por el profesor.

Una vez que se ha visto que cualquier fenómeno de inducción electromagnética se puede abordar o bien a través de la ley de Faraday, o bien utilizando la ley de Fuerza de Lorentz, se van a plantear a continuación un conjunto de Actividades, relacionadas obviamente con el fenómeno de inducción electromagnética, que se tendrán que analizar y cuantificar utilizando la ley de Faraday y la ley de la fuerza de Lorentz de manera que se constate que ambas son equivalentes y, por lo tanto, válidas para estudiar cualquier fenómeno asociado a la inducción electromagnética.