Movimiento de dos bloques superpuestos

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Dinámica

Fuerza de rozamiento
El rozamiento por
deslizamiento
Medida del coeficiente
cinético (I)
Medida del coeficiente
cinético (II)
Medida del coeficiente
cinético (III)
Fuerza de rozamiento 
en un plano inclinado
El mejor ángulo para
arrastrar un bloque
Medida del coeficiente 
estático
Barra apoyada en dos
puntos móviles
Placa apoyada en dos
rodillos que giran
marca.gif (847 bytes)Dos bloques 
  superpuestos
Movimiento de dos bloques superpuestos

Diagrama de fases

Actividades

Referencias

 

En las páginas previas, se ha estudiado problema del movimiento de un bloque sobre una superficie rugosa, ya sea horizontal o inclinada un cierto ángulo.

Las fuerzas sobre el bloque que desliza sobre una superficie horizontal son:

  • El peso, mg

  • La reacción del plano N=mg

  • La fuerza de rozamiento f,

  • La fuerza aplicada P.

 

La máxima fuerza de rozamiento es F=μN

  • Si la fuerza aplicada P es menor que F entonces la fuerza de rozamiento f es igual a la fuerza aplicada P.

P≤F  entonces f=P, el cuerpo permanece en reposo a=0

  • Si la fuerza aplicada P es mayor que F, la fuerza de rozamiento f se toma como constante e igual al valor máximo F, independiente del valor de P. Por simplicidad, supondremos que los valores de los coeficientes estático μs y dinámico μk, coinciden, μks  .

P≥F  entonces f=F,  el cuerpo se mueve con una aceleración a=(P-F)/m

 

Movimiento de dos bloques superpuestos

El problema del movimiento de dos bloques superpuestos que pueden deslizar uno sobre el otro, es mucho más complejo como apreciaremos a lo largo de esta página.

  • Se aplica una fuerza P2 al bloque inferior de masa m2

  • Se aplica una fuerza P1 al bloque superior de masa m1

f1 es la fuerza de rozamiento que describe la interacción entre las moléculas de las superficies de los dos bloques en contacto, su máximo valor es F1.

f2 es la fuerza de rozamiento que describe la interacción entre las moléculas de la superficie del bloque inferior y las del plano horizontal sobre el que descansa, su máximo valor es F2.

Las fuerzas sobre el bloque superior de masa m1 son:

  • El peso m1g

  • La reacción de la superficie del bloque inferior sobre al que se apoya N1=m1g

  • La fuerza de rozamiento f1

  • La fuerza aplicada P1

Las fuerzas sobre el bloque inferior de masa m2 son:

  • El peso m2g

  • La reacción del bloque superior N1

  • La reacción del plano horizontal sobre el que se apoya N2=N1+m2g

  • La fuerza de rozamiento f2, en la cara inferior

  • La fuerza de rozamiento f1, en la cara superior

  • La fuerza aplicada P2

Como vemos, hay dos fuerzas de interacción entre los dos cuerpos (iguales y de sentido contrario), la fuerza de rozamiento f1 en las superficies en contacto y la reacción N1.

Las ecuaciones del movimiento son:

P1-f1=m1a1
P2-f2+f1=m2a2

con |f1|≤F1 y |f2|≤F2

Por razones de simetría, el movimiento de los dos cuerpos cuando P1>0 y P2>0 es semejante al movimiento de los cuerpos cuando P1<0 y P2<0 pero en sentido contrario.

Del mismo modo, el movimiento de ambos cuerpos cuando P2>0 y P1<0 es semejante al movimiento de los cuerpos cuando P2<0 y P1>0 pero en sentido contrario.

Estudiaremos por tanto, el movimiento de ambos cuerpos cuando P2 es positivo y P1 es positivo o negativo.

Supondremos además que F2>F1, esta condición se cumple siempre si el coeficiente de rozamiento μ=μks  entre las superficies en contacto es el mismo.

F2=μN2(m1g+m2g)
F1=
μN1
(m1g)

 

Diagrama de fases 

Los tipos de movimientos que caben esperar para distintos pares de valores de la fuerza aplicada (P1, P2), siendo P1 una fuerza positiva o negativa, y P2 una fuerza positiva, son:

  • Que los dos bloques permanezcan en reposo, a1=0, a2=0.

  • Que el bloque superior se mueva hacia la derecha a1>0 y el inferior esté en reposo a2=0.

  • Que los dos bloques se muevan con distinta aceleración hacia la derecha a1>a2 ó a2>a1

  • Que los dos bloques se muevan con la misma aceleración a1=a2

  • Que el bloque superior se mueva hacia la izquierda y el inferior hacia la derecha a1<0 y a2>0

  • Que el bloque inferior se mueva hacia la izquierda a1<0 y el inferior permanezca en reposo a2=0.

Para analizar los distintos casos, dibujaremos un diagrama de fases, con P1 en el eje vertical y P2 en el eje horizontal.

Fase 0

Las ecuaciones de equilibrio de los dos cuerpos son:

P1-f1=0
P2-f2+f1=
0

El bloque superior empieza a deslizar cuando f1=F1. Para que este bloque permanezca en reposo, se tiene que cumplir que |P1|<F1

El bloque inferior empieza a deslizar cuando f2=F2. Para que este bloque permanezca en reposo, se tiene que cumplir que |P2+P1|<F2

La recta P1=-P2+F2 junto a las rectas P1=F1 y P1=-F1, delimitan la región en color amarillo que señala la fase 0.

Los dos puntos de intersección de la recta inclinada y las rectas horizontales son:

(F2-F1, F1) y (F2+F1, -F1)

señalados en la gráfica

  • Las fuerzas de rozamiento valen

f1=P1
f2=P1+P2

  • Las aceleraciones valen

a1=0
a2
=0

Fase 1

Cuando P1F1 el bloque superior empieza a deslizar, la fuerza de rozamiento f1=F1.

El bloque inferior permanece en reposo mientras que |f2|<F2, es decir, mientras que P2<F2-F1

La fase 1 está delimitada por el eje vertical P2=0, las recta horizontal P1=F1 y la recta vertical P2=F2-F1

  • Las fuerzas de rozamiento valen

f1=F1
f2=P2+F1

  • Las aceleraciones valen

a1=(P1-F1)/m1>0
a2
=0

Fase 6

Cuando P1≤-F1 el bloque superior empieza a deslizar hacia la izquierda, la fuerza de rozamiento f1=-F1 cambia de sentido.

El bloque inferior permanece en reposo, mientras que |f2|<F2, es decir, mientras que P2<F2+F1

La fase 6 está delimitada por el eje vertical P2=0, las recta horizontal P1=-F1 y la recta vertical P2=F2+F1

  • Las fuerzas de rozamiento valen

f1=-F1
f2=P2-F1

  • Las aceleraciones valen

a1=(P1+F1)/m1<0
a2
=0

Fase 5

Cuando P1≤-F1 y P2≥F2+F1 los dos bloques se mueven en sentidos contrarios, el superior hacia la izquierda y el inferior hacia la derecha

  • Las fuerzas de rozamiento valen

f1=-F1
f2= F2

  • Las aceleraciones valen

a1=(P1+F1)/m1<0
a2
=(P2-F1-F2)/m2>0

Fase 3

Los dos bloques tienen la misma aceleración a1=a2=a siempre que el bloque superior esté en reposo sobre el bloque inferior, es decir, siempre que |f1|<F1, mientras que el bloque inferior desliza f2=F2.

Las ecuaciones del movimiento son

P1-f1=m1a
P2-F2+f1=m2a

Eliminando f1 en el sistema de dos ecuaciones, obtenemos la aceleración

Eliminado la aceleración a obtenemos la fuerza de rozamiento f1

Como |f1|<F1 esta región está limitada por la recta

de pendiente m1/m2 y que pasa por el punto (F2-F1, F1) señalado en la figura

y la recta

de pendiente m1/m2 y que pasa por el punto (F2+F1, -F1) señalado en la figura

La fuerza de rozamiento f1 cambia de sentido en esta región. La línea que separa f1>0 de f1<0 tiene de ecuación f1=0

m2P1-m1P2+m1F2=0

que es la recta de pendiente m1/m2 que pasa por el punto (F2, 0)

  • Las fuerzas de rozamiento valen


f2= F2

  • Las aceleraciones valen

Fase 2

La fase 2 es la región de transición entre la región 1 y la región 3. Los dos bloques deslizan

  • Las fuerzas de rozamiento valen

f1=F1
f2= F2

  • Las aceleraciones valen

a1=(P1-F1)/m1>0
a2
=(P2+F1-F2)/m2>0

Se puede comprobar que a1>a2

Fase 4

La fase 4 es la región de transición entre la región 3 y la región 5. Los dos bloques deslizan

  • Las fuerzas de rozamiento valen

f1=-F1
f2= F2

Las aceleraciones valen

a1=(P1+F1)/m1>0
a2
=(P2-F1-F2)/m2>0

Se puede comprobar que a1<a2

Cuando P1=-F1 entonces a1=0, esta es la línea de separación entre las fases 4 y 5

 

Actividades

Se introduce

  • La masa m1 del bloque superior, en el control de edición titulado Bloque encima

  • La masa m2 del bloque inferior, en el control de edición titulado Bloque debajo

  • El coeficiente de rozamiento μ=μks  entre las superficies en contacto, actuando en la barra de desplazamiento titulada Coef. rozamiento.

  • La aceleración de la gravedad se ha fijado en g=10 m/s2.

Se pulsa el botón titulado Inicio

En la parte superior izquierda del applet, se muestra el diagrama de fases.

  • Con el puntero del ratón se mueve un pequeño círculo de color negro, para establecer los valores de las fuerzas aplicadas P1 y P2 en los bloques superior e inferior, respectivamente.

Se pulsa el botón titulado Empieza

En la parte derecha del applet, se muestra los valores de

  • Las fuerzas aplicadas en los respectivos bloques P1 y P2

  • Las fuerzas de rozamiento f1 y f2

  • Los valores máximos de las fuerzas de rozamiento F1 y F2

  • Las aceleraciones de los bloques a1 y a2

En la parte inferior del applet, se muestran los dos bloques superpuestos y se dibujan las fuerzas que actúan sobre cada uno de los bloques.

Como detalle final, cabe mencionar, que cuando el bloque superior desliza sobre el bloque inferior y llega a su extremo, ambos bloques se mueven juntos.

Se invita al lector, a calcular las aceleraciones de los bloques a1 y a2 y las fuerzas de rozamiento f1 y f2 para distintos pares de valores de las fuerzas aplicadas P1 y P2.

 
stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Arrastrar con el puntero del ratón el pequeño círculo de color negro

 

Referencias

Thomsen J. S. Coulomb friction with several blocks. Am. J. Phys.  21 (1953) pp. 446-452