Oscilaciones de una placa horizontal apoyada en dos rodillos que giran

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Dinámica

Fuerza de rozamiento
El rozamiento por
deslizamiento
Medida del coeficiente
cinético (I)
Medida del coeficiente
cinético (II)
Medida del coeficiente
cinético (III)
Fuerza de rozamiento 
en un plano inclinado
El mejor ángulo para
arrastrar un bloque
Medida del coeficiente 
estático
Barra apoyada en dos
puntos móviles
marca.gif (847 bytes)Placa apoyada en dos
 rodillos que giran.
Dos bloques
superpuestos

Descripción

Ejemplos

Actividades

Referencias

 

Una placa de masa m, descansa horizontalmente sobre dos rodillos que giran rápidamente, separadas una distancia 2d. El coeficiente de rozamiento entre cada una de las rodillos y la placa es μ. El centro de masas (c.m.) está situado entre las rodillos, equidistante de las mismas.

 

 

Descripción

Supongamos que el c.m. de la placa se desplaza x de la posición de equilibrio, hacia la derecha. Dibujamos las fuerzas que actúan sobre la placa y aplicamos las condiciones de equilibrio

  1. Equilibrio de las fueras en la dirección vertical

N1+N2=mg

donde N1 es la fuerza que ejerce el rodillo izquierdo y N2 es la fuerza que ejerce el rodillo derecho sobre la placa.

  1. El momento total respecto del cualquier punto debe ser cero. Si elegimos el punto de contacto de la placa con el rodillo derecho, como origen.

-N1·2a+mg·(d-x)=0

Despejamos N1 y N2 en este sistema de dos ecuaciones

Las fuerzas de rozamiento

Consideremos el efecto de las fuerzas de rozamiento

Las fuerzas de rozamiento en el punto de contacto de los rodillos y la placa son f1=μ·N1 y f2=μ·N2 y sus direcciones son las del movimiento de las ruedas.

Para entender mejor el sentido de estas dos fuerzas, nos fijaremos que cuando un camión, que trasporta una caja de masa m sobre la plataforma, arranca, la fuerza de rozamiento fr=ma entre la caja y la plataforma hace que la caja permanezca en reposo sobre la plataforma, siempre que se cumpla que fr< μs·N.

Cuando la aceleración a del camión es tal que  fr alcanza el valor máximo μs·N, la caja empieza a deslizar sobre la plataforma. La fuerza de rozamiento vale fr= μk·N. La aceleración del camión es a y la aceleración de la caja es ac=fr/m= μk·g. La aceleración de la caja respecto del conductor del camión es ac-a.

Ecuaciones del movimiento de la placa

Examinamos los distintos casos que pueden producirse.

  1. Las dos ruedas giran hacia dentro.

Las fuerzas de rozamiento f1 y f2 tienen los sentidos indicados en la figura. La fuerza horizontal que actúa sobre la placa es

f=f1-f2= μ·N1- μ·N2=-(μmg/dx

La fuerza f que actúa sobre la placa es proporcional a su desplazamiento x y de sentido contrario a éste. La ecuación diferencial del movimiento es

La placa describe un MAS de frecuencia angular ω2=μg/d, y de periodo P

La solución de esta ecuación diferencial es

x=A·sen(ωt+φ)

La amplitud A y la fase inicial φ se determinan a partir de las condiciones iniciales.

  1. Las ruedas giran hacia fuera

Las fuerzas de rozamiento f1 y f2 tienen los sentidos indicados en la figura. La fuerza horizontal que actúa sobre la placa es

f=f2-f1= μ·N2- μ·N1=(μmg/dx

La fuerza f que actúa sobre la placa es proporcional a su desplazamiento x, pero del mismo de sentido. La ecuación diferencial del movimiento es

Esta no es la ecuación de un MAS. La solución de esta ecuación diferencial es

x=A·exp(ωt)+B·exp(-ωt)

donde A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales

  1. Las ruedas giran en el mismo sentido, por ejemplo, hacia la derecha.

Las fuerzas de rozamiento f1 y f2 tienen los sentidos indicados en la figura. La fuerza horizontal que actúa sobre la placa es

f=f2+f1= μ·N2+ μ·N1=μmg

La fuerza f es constante, la aceleración de la placa es constante, su movimiento es uniformemente acelerado

La solución es

x=x0+v0·t+μgt2/2

donde x0 y v0 son la posición y la velocidad en el instante t=0.

 

Ejemplos

d=40 cm
μ
=0.8

  1. Las ruedas giran en sentido contrario hacia dentro

El periodo de las oscilaciones es

La amplitud se ha tomado igual a A=10 cm y la fase inicial φ=0. La posición del c.m. es

x=10·sen(4.43·t) cm

La velocidad es

v=dx/dt=A·ω·cos(ωt+φ)

En el instante inicial t=0, la posición inicial es x0=0, y la velocidad inicial es v0=10·4.43=44.3 cm/s

  1. Las ruedas giran en sentido contrario hacia fuera

x=A·exp(ωt)+B·exp(-ωt)

v=dx/dt=ω·exp(ωt)-B·ω·exp(-ωt)

La naturaleza del movimiento depende de las condiciones iniciales.

Si las condiciones iniciales son tales que A=0, la placa tiende a la posición de equilibrio x=0, después de un tiempo teóricamente infinito. En el caso de que A no sea cero, x se incrementa con el tiempo sin límite, o mejor dicho, hasta que el borde de la placa alcanza a una de las ruedas o el c.m. de la placa sale fuera de la región comprendida entre las ruedas. En este último caso, la posición x=0, es de equilibrio inestable.

En la simulación, las condiciones iniciales se han elegido de modo que A=0.

Para t=0, x0=B, v0=-B·ω

  1. Las ruedas giran en el mismo sentido

La posición del c.m. en función del tiempo es

x=x0+v0·t+μgt2/2

En la simulación, las condiciones iniciales, se han elegido de modo que para t=0, x0=0, v0=0, por lo que

x= μgt2/2

El movimiento se detiene cuando el borde de la placa alcanza a una de las ruedas o el c.m. de la placa sale fuera de la región comprendida entre las ruedas.

 

Actividades

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

  • Se arrastra con el puntero del ratón, la rueda derecha de color rojo, para establecer la distancia 2d entre las dos ruedas.

  • Se introduce el valor del coeficiente de rozamiento μ, actuando sobre la barra de desplazamiento titulada Coef. de rozamiento

Se elige el sentido del movimiento de las dos ruedas, activando una de las tres casillas

  1. Girando en sentido contrario, hacia dentro

  2. Girando en sentido contrario, hacia fuera

  3. Girando en el mismo sentido

Se pulsa el botón titulado Empieza

Se observa el movimiento de la placa.

En el primer caso, se puede emplear los botones Pausa/Continua y Paso para medir el periodo de las oscilaciones. 

 

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Arrastrar con el puntero del ratón la rueda de color rojo

 

Referencias

Metzger E. An unusual case of Simple Harmonic Motion. Am. J. Phys. 40, August 1972, pp. 1167-1168