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Una placa de masa m, descansa horizontalmente
sobre dos rodillos que giran rápidamente, separadas una distancia 2d.
El coeficiente de rozamiento entre cada una de las rodillos y la placa es μ.
El centro de masas (c.m.) está situado entre las rodillos, equidistante de las
mismas.
Supongamos que el c.m. de la placa se desplaza x
de la posición de equilibrio, hacia la derecha. Dibujamos las fuerzas que
actúan sobre la placa y aplicamos las condiciones de equilibrio
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Equilibrio de las fueras en la dirección vertical
N1+N2=mg
donde N1 es la fuerza que ejerce el
rodillo izquierdo y N2 es la fuerza que ejerce el
rodillo
derecho sobre la placa.
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El momento total respecto del cualquier punto debe
ser cero. Si elegimos el punto de contacto de la placa con el rodillo
derecho, como origen.
-N1·2a+mg·(d-x)=0
Despejamos N1 y N2
en este sistema de dos ecuaciones
Las fuerzas de rozamiento
Consideremos el efecto de las fuerzas de rozamiento
Las fuerzas de rozamiento en el punto de contacto de
los rodillos y la placa son f1=μ·N1 y f2=μ·N2
y sus direcciones son las del movimiento de las ruedas.
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Para entender mejor el sentido de estas dos fuerzas, nos
fijaremos que cuando un camión, que trasporta una caja de masa m
sobre la plataforma, arranca, la fuerza de rozamiento fr=ma
entre la caja y la plataforma hace que la caja permanezca en reposo
sobre la plataforma, siempre que se cumpla que fr<
μs·N. |
Cuando la aceleración a del camión es tal que
fr alcanza el valor máximo μs·N,
la caja empieza a deslizar sobre la plataforma. La fuerza de rozamiento vale fr= μk·N. La aceleración del
camión es a y la aceleración de la caja es ac=fr/m=
μk·g. La aceleración de la caja respecto del conductor del
camión es ac-a.
Ecuaciones del movimiento de la placa
Examinamos los distintos casos que pueden producirse.
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Las dos ruedas giran hacia dentro.
Las fuerzas de rozamiento f1 y f2
tienen los sentidos indicados en la figura. La fuerza horizontal que actúa
sobre la placa es
f=f1-f2=
μ·N1- μ·N2=-(μmg/d)·x
La fuerza f que actúa sobre la placa es
proporcional a su desplazamiento x y de sentido contrario a éste. La
ecuación diferencial del movimiento es
La placa
describe un MAS
de frecuencia angular ω2=μg/d, y de periodo P
La solución de esta ecuación diferencial es
x=A·sen(ωt+φ)
La amplitud A y la fase inicial φ se
determinan a partir de las condiciones iniciales.
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Las ruedas giran hacia fuera
Las fuerzas de rozamiento f1 y f2
tienen los sentidos indicados en la figura. La fuerza horizontal que actúa
sobre la placa es
f=f2-f1=
μ·N2- μ·N1=(μmg/d)·x
La fuerza f que actúa sobre la placa es
proporcional a su desplazamiento x, pero del mismo de sentido. La
ecuación diferencial del movimiento es
Esta no es la ecuación de un MAS. La solución de esta
ecuación diferencial es
x=A·exp(ωt)+B·exp(-ωt)
donde A y B se determinan a partir de las
condiciones iniciales
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Las ruedas giran en el mismo sentido, por
ejemplo, hacia la derecha.
Las fuerzas de rozamiento f1 y f2
tienen los sentidos indicados en la figura. La fuerza horizontal que actúa
sobre la placa es
f=f2+f1= μ·N2+
μ·N1=μmg
La fuerza f es constante, la aceleración de la
placa es constante, su movimiento es
uniformemente acelerado
La solución es
x=x0+v0·t+μgt2/2
donde x0 y v0 son
la posición y la velocidad en el instante t=0.
d=40 cm
μ=0.8
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Las ruedas giran en sentido contrario hacia dentro
El periodo de las oscilaciones es
La amplitud se ha tomado igual a A=10 cm y la
fase inicial φ=0. La posición del c.m. es
x=10·sen(4.43·t) cm
La velocidad es
v=dx/dt=A·ω·cos(ωt+φ)
En el instante inicial t=0, la posición inicial
es x0=0, y la velocidad inicial es v0=10·4.43=44.3
cm/s
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Las ruedas giran en sentido contrario hacia fuera
x=A·exp(ωt)+B·exp(-ωt)
v=dx/dt=
A·ω·exp(ωt)-B·ω·exp(-ωt)
La naturaleza del movimiento depende de las condiciones
iniciales.
Si las condiciones iniciales son tales que A=0,
la placa tiende a la posición de equilibrio x=0, después de un tiempo
teóricamente infinito. En el caso de que A no sea cero, x se
incrementa con el tiempo sin límite, o mejor dicho, hasta que el borde de la
placa alcanza a una de las ruedas o el c.m. de la placa sale fuera de la
región comprendida entre las ruedas. En este último caso, la posición x=0,
es de equilibrio inestable.
En la simulación, las condiciones iniciales se han
elegido de modo que A=0.
Para t=0, x0=B, v0=-B·ω
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Las ruedas giran en el mismo sentido
La posición del c.m. en función del tiempo es
x=x0+v0·t+μgt2/2
En la simulación, las condiciones iniciales, se han
elegido de modo que para t=0, x0=0, v0=0,
por lo que
x= μgt2/2
El movimiento se detiene cuando el borde de la placa
alcanza a una de las ruedas o el c.m. de la placa sale fuera de la región
comprendida entre las ruedas.
Se pulsa el botón titulado Nuevo.
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Se arrastra con el puntero del ratón, la rueda
derecha de color rojo, para establecer la distancia 2d entre las
dos ruedas.
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Se introduce el valor del coeficiente de rozamiento
μ, actuando sobre la barra de desplazamiento titulada
Coef. de rozamiento
Se elige el sentido del movimiento de las dos ruedas,
activando una de las tres casillas
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Girando en sentido contrario, hacia dentro
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Girando en sentido contrario, hacia fuera
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Girando en el mismo sentido
Se pulsa el botón titulado Empieza
Se observa el movimiento de la placa.
En el primer caso, se puede emplear los botones
Pausa/Continua y Paso para medir el periodo de las oscilaciones.
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Placa apoyada en dos
rodillos que giran.