Electromagnetismo |
Campo eléctrico La ley de Coulomb El motor de Franklin Campo y potencial de una carga puntual Campo y potencial de dos cargas Dipolo eléctrico Línea de cargas. Ley de Gauss. Anillo cargado Modelo atómico de Kelvin-Thomson La cubeta de Faraday. Conductores Generador de Van de Graaff
Carga inducida en un conductor Esfera conductora en un campo uniforme Un péndulo que des- carga un condensador. Ping-pong eléctrico Método de las imágenes. Fuerza entre dos esferas conductoras |
Campo
eléctrico en las proximidades de la superficie de un conductor
Espesor de la capa que contiene la carga en la superficie de un conductor. |
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| Ya hemos visto que una propiedad importante de los conductores es que el campo en el interior de un conductor es cero, E=0, y las consecuencias que se derivan de este hecho. En esta página, vamos a continuar con el estudio de los conductores, determinando el módulo y dirección del campo eléctrico en las proximidades de la superficie del conductor.
Campo eléctrico en las proximidades de la superficie de un conductorDirección del campo eléctrico La dirección del campo eléctrico en las proximidades del conductor es perpendicular a su superficie como vamos a demostrar, a continuación. Como el campo eléctrico es conservativo se deberá cumplir que la circulación del campo eléctrico E es cero en un camino cerrado.
Supongamos que la dirección del campo eléctrico E en las proximidades de la superficie del conductor forma un ángulo θ con dicha superficie, tal como se muestra en la figura.
La circulación del campo eléctrico es la suma de cuatro contribuciones, en el tramo CD es nula, por ser el campo en el interior de un conductor cero. Las contribuciones en los lados AD y BC son aproximadamente cero por ser sus longitudes muy pequeñas |AD|=|BC|≈0. La contribución en el lado AB deberá ser por tanto cero para que la suma total sea cero. Esto solamente es posible, si el campo E es perpendicular a la superficie del conductor, es decir, forma 90º con el camino AB. Por tanto, la consecuencia de que el campo eléctrico sea conservativo, es que la dirección del campo eléctrico en las proximidades de un conductor es perpendicular a la superficie del mismo.
Módulo del campo eléctrico en las proximidades de la superficie de un conductor El teorema de Gauss nos permite calcular el módulo del campo eléctrico en la superficie de un conductor cuando conocemos la distribución de carga en el mismo. El teorema de Gauss afirma, que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual al cociente entre la carga en el interior de dicha superficie dividido entre e0.
1.-Determinar la dirección del campo eléctrico.
2.-Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el flujo
3. Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada La superficie cilíndrica corta la superficie del conductor delimitando un área S, que contiene una carga q=s S 4.-Aplicar el teorema de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico Conductor esféricoEl conductor más simple de estudiar es un conductor esférico cargado. Campo producido por una esfera conductora de radio R cargada con una carga Q.Para una distribución esférica y uniforme de carga, la aplicación del teorema de Gauss requiere los siguientes pasos: 1.-A partir de la simetría de la distribución de carga, determinar la dirección del campo eléctrico. La distribución de carga tiene simetría esférica luego, la dirección del campo es radial 2.-Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el flujo Tomamos como superficie cerrada, una esfera de radio r. El campo eléctrico E es paralelo al vector superficie dS, y el campo es constante en todos los puntos de la superficie esférica como se ve en la figura, por lo que,
El flujo total es; E·4p r2 3. Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada
Potencial de la esfera conductoraEn la figura se representa el campo eléctrico E en función de r.
Obtenemos el potencial de la esfera conductora, calculando el área sombreada en la figura.
Energía de la distribución de cargasComo la carga Q reside en la superficie esférica y el potencial de dicha carga es V, la energía de la distribución de carga es
Espesor de la capa que contiene el exceso de carga en la superficie de un conductorHemos demostrado que un conductor que adquiere una carga eléctrica, el exceso de carga residirá en la superficie como consecuencia de las repulsiones entre las cargas individuales. La carga se distribuirá en una capa muy delgada en la superficie del conductor. La cuestión que se plantea ahora es si la capa tiene un espesor finito o bien es infinitesimal. Campo eléctrico producido por una capa esférica uniformemente cargada
El teorema de Gauss afirma que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual al cociente entre la carga en el interior de dicha superficie dividido entre e0.
Para una distribución esférica y uniforme de carga, la aplicación del teorema de Gauss requiere los siguientes pasos: 1.-A partir de la simetría de la distribución de carga, determinar la dirección del campo eléctrico. La distribución de carga tiene simetría esférica luego, la dirección del campo es radial 2.-Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el flujo Tomamos como superficie cerrada, una esfera de radio r. El campo eléctrico E es paralelo al vector superficie dS, y el campo es constante en todos los puntos de la superficie esférica como se ve en la figura, por lo que,
El flujo total es; E·4p r2 3. Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada
4.-Aplicar el teorema de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico
La aplicación del teorema de Gauss para las regiones r<a y r>b resulta más simple.
Potencial a una distancia a<r<bEn la figura se muestra la representación gráfica del campo E en función de r.
El potencial a la distancia r señalada en la figura es la medida del área sombreada. Como el campo E es una función discontinua de r tenemos que sumar dos áreas.
Energía de la distribución de cargaLa energía de la distribución de carga es
Donde dq es la carga existente en la capa comprendida entre las superficies esféricas de radios r y r+dr, y V(r) es el potencial en la posición que ocupa dicha carga. El volumen de dicha capa es 4πr2·dr
Después de un proceso de integración y simplificación algo laborioso, se llega al siguiente resultado
Cuando a tiende a b de modo que la capa que contiene la distribución uniforme de carga se hace infinitesimal, la densidad de carga tiende infinito, pero la energía U tiende al valor
Esta es precisamente la energía de un conductor esférico de radio b cargado con una carga Q. Hemos demostrado que el exceso de carga en un conductor ocupa una capa de espesor nulo. Como la densidad de carga no puede ser infinita, se ha de tener en cuenta la estructura atómica del metal. El campo más elevado que se puede alcanzar en las proximidades de una superficie conductora es del orden de 109 V/m. La densidad de carga necesaria para producir este campo es de un átomo ionizado (en color rojo en la figura) por cada n átomos superficiales. Podemos calcular el valor de n suponiendo que el radio de un átomo es del orden de R≈10-10 m.
El campo en las proximidades de la superficie de un conductor vale E=σ/ε0. Si E=109 V/m
Si R=10-10 m entonces n=576. Uno de cada 576 átomos superficiales está ionizado
Referencias Gough W. How thick is the charge layer on a metallic surface?. Phys. Educ. 21, 1986, pp. 81-82. |
Conductores (II)
