Electromagnetismo |
Campo eléctrico La ley de Coulomb El motor de Franklin Campo y potencial de una carga puntual Campo y potencial de dos cargas Dipolo eléctrico Línea de cargas. Ley de Gauss. Anillo cargado Modelo atómico de Kelvin-Thomson La cubeta de Faraday. Conductores Generador de Van de Graaff Conductores (II) Carga inducida en un conductor Esfera conductora en un campo uniforme Un péndulo que des- carga un condensador Ping-pong eléctrico Método de las imágenes.
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 Método
de las imágenesFuerza entre las dos esferas conductoras
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Cuando se comienza el estudio del electromagnetismo, siempre se menciona la ley de Coulomb de atracción o repulsión entre cargas puntuales q1 y q2
Donde d es la separación entre las cargas puntuales. En realidad las cargas no son puntuales sino esferas conductoras de radio R. Ahora bien, cuando dos esferas conductoras de la misma carga y radio están cercanas, se produce una redistribución de las cargas debido a la influencia mutua electrostática, las esferas se polarizan y las cargas del mismo signo tienden a alejarse lo máximo posible, la fuerza de repulsión entre las esferas será menor que la correspondiente a dos cargas puntuales iguales y del mismo signo. Si las esferas conductoras tienen carga de signos opuestos, las cargas tienden a acercarse, dando lugar a una fuerza de atracción mayor que la correspondiente a dos cargas iguales y de signo contrario. En esta página, vamos a medir la fuerza de repulsión F entre dos esferas conductoras del mismo radio R con la misma carga Q, y del mismo signo. Vamos a comprobar que la fuerza difiere de
cuando las esferas están próximas.
Método de las imágenesEn páginas anteriores, hemos estudiado ejemplos de aplicación del método de las imágenes. En este página, aplicaremos dicho método a dos esferas del mismo radio R y de la misma carga Q, separadas entre sus centros una distancia d>2R. Situaremos el origen en el centro de la primera esfera. La simetría del problema nos permite reemplazar las esferas cargadas por dos sucesiones idénticas de cargas puntuales q0, q1…qn… situadas en la línea que une los centros en las posiciones x0, x1…xn … y d-x0, d-x1…d-xn …, respectivamente. Nos fijaremos exclusivamente en la primera esfera cuyo centro está en el origen. 1.-Colocamos una carga q0 en el centro de la primera esfera, en el origen x0=0. La superficie de la primera esfera de radio R es equipotencial. Colocamos una carga idéntica q0 en el centro de la segunda esfera. La superficie de la primera esfera deja de ser equipotencial.
2.-Colocamos una carga q1 a una distancia x1 del centro de la primera esfera.
El potencial producido por la carga q0 situada en el centro de la segunda esfera y por la carga adicional q1 debe cancelarse en la superficie de la primera esfera, para que siga siendo equipotencial. El potencial en el punto A (R, 0) y B(-R, 0) producido por ambas cargas debe ser cero
Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas cuya solución es
3.-Si colocamos una carga q1 en la posición d-x1, la superficie de la primera esfera deja de ser equipotencial. 4.-Colocamos una carga q2 en la posición x2, tal como se muestra en la figura.
El potencial producido por la carga q1 situada en la segunda esfera y por la carga adicional q2 debe cancelarse en la superficie de la primera esfera, para que siga siendo equipotencial. El potencial en el punto A (R, 0) y B(-R, 0) producido por ambas cargas debe ser cero
Primero eliminamos q1 y q2 y despejamos x2, luego, despejamos q2 de la primera o de la segunda ecuación
o bien,
5.-Si colocamos una carga q2 en la posición d-x2 la superficie de la primera esfera deja de ser equipotencial. 6.-Colocamos una carga q3 en la posición x3, tal como se muestra en la figura.
El potencial producido por la carga q2 situada en la segunda esfera y por la carga adicional q3 debe cancelarse en la superficie de la primera esfera, para que siga siendo equipotencial. El potencial en el punto A (R, 0) y B(-R, 0) producido por ambas cargas debe ser cero
Primero eliminamos q2 y q3 y despejamos x3, luego, despejamos q3 de la primera o de la segunda ecuación
o bien,
7.- Continuamos es proceso iterativo, obteniendo el valor de la carga imagen q4 en la posición x4.
La carga total de cada esfera es
que es proporcional a q0 ActividadesSe introduce
Se pulsa el botón titulado Calcular. Se trazan las líneas de fuerza y equipotenciales del sistema formado por dos esferas conductoras del mismo radio y con la misma carga. |
Fuerza entre las dos esferas conductorasLa fuerza entre las dos esferas es la suma de las fuerzas entre cada par de cargas imagen una carga correspondiente a la primera esfera y la otra correspondiente a la segunda esfera
Otra forma de calcular la fuerza es la siguiente. El potencial V en la superficie de cada una de las dos esferas conductoras está producido por la carga en su centro q0.
Si tenemos un conjunto de N conductores cargados con carga Qi y cuyo potencial en su superficie es Vi, la energía electrostática es
En el caso de dos conductores cargados con la misma carga Q y cuya superficie está al mismo potencial V U=QV La energía electrostática U es una función de la distancia d de separación de los centros de las dos esferas o bien, de β=R/d La fuerza F se obtiene derivando la energía electrostática U respecto de la distancia d de separación de los centros de las dos esferas.
En el artículo citado en las referencias se obtiene una expresión aproximada de F en potencias de β. F=Fc(1-4β3-6β5+14β6-8β7+54β8-50β9+154β10-264β11+494β12-1092β13+1830β14
que es la fuerza de repulsión entre dos cargas puntuales Q situadas a una distancia d. En la figura, se compara la fuerza de repulsión ente dos cargas puntuales Fc (en azul), y el desarrollo en serie de la fuerza F entre dos esferas conductoras iguales en términos del parámetro β=R/d hasta el término 18, en rojo, para d>2.1R
Para la mayor parte de los experimentos escolares, en los que la separación de los centros de las esferas d>2.5R es suficiente el primer término corrector para estar de acuerdo con los resultados experimentales. F≈Fc(1-4β3)
Cálculo aproximado de la fuerza de repulsión entre dos esferasPara calcular la fuerza de repulsión entre dos esferas del mismo radio R y la misma carga Q, se emplea el siguiente procedimiento numérico. El programa interactivo calcula las cargas imágenes q0…qn y sus posiciones x0…..xn correspondientes a la primera esfera, que son las misma que las de la segunda esfera pero en las posiciones d-x0…..d-xn, mediante las relaciones de recurrencia
Se calcula la carga inicial q0 teniendo en cuanta que la carga de cada esfera es Q.
Se calcula la fuerza entre los dos conjuntos de cargas imágenes
Se detiene el proceso iterativo cuando el cociente
es menor que una cantidad prefijada, cuyo valor tomaremos ε=10-6. El programa interactivo calcula la fuerza F en unidades Fu
En estas unidades la fuerza Fc de repulsión entre dos cargas puntuales separadas una distancia d es
ActividadesSe introduce
Se pulsa el botón titulado Calcular.
Para volver a empezar a tomar medidas se pulsa el botón titulado Nuevo. El programa interactivo calcula la fuerza de repulsión entre las dos esferas conductoras para distancias entre sus centros mayores que 2.01R, e indica el número de cargas imagen necesarias para calcularla
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Slisko J., Brito-Orta R. A., On approximate formulas for the electrostatic force between two conducting spheres. Am. J. Phys. 66 (4) April 1998, pp. 352-355.
Fuerza entre dos
esferas conductoras
