Electromagnetismo |
Campo eléctrico La ley de Coulomb El motor de Franklin Campo y potencial de una carga puntual Campo y potencial de dos cargas Dipolo eléctrico Línea de cargas. Ley de Gauss.
Modelo átomico de Kelvin-Thomson La cubeta de Faraday. Conductores Generador de Van de Graaff Conductores (II) Carga inducida en un conductor Esfera conductora en un campo uniforme Un péndulo que des- carga un condensador. Ping-pong eléctrico Método de las imágenes. Fuerza entre dos esferas conductoras |
Potencial producido por el anillo en un
punto z de su eje de simetría Campo eléctrico producido por el anillo en un punto de su eje de simetría Potencial producido por el anillo cargado en un punto fuera del eje Campo eléctrico producido por el anillo cargado en el punto fuera del eje |
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En esta página se calcula el campo eléctrico y el potencial producido por un anillo uniformemente cargado en un punto de su eje de simetría. Aplicaremos el resultado obtenido para calcular el campo y potencial producido por un disco de radio R, uniformemente cargado y finalmente, el campo producido por un plano indefinido, cuando el radio del disco se hace muy grande. Sin embargo, el campo y el potencial en un punto fuera del eje del anillo requiere el cálculo de integrales elípticas completas de primera y segunda especie. El anillo de radio a contiene una carga q uniformemente distribuida en su longitud.
Potencial producido por el anillo en un punto z de su eje de simetría
Campo eléctrico producido por el anillo en un punto de su eje de simetría
El campo también se puede obtener a partir del potencial
Disco uniformemente cargado
El campo total producido por el disco cargado es la suma de los campos producidos por todos los anillos que forman el disco.
Para un plano indefinido cargado R→∞
El mismo resultado se obtiene aplicando la ley de Gauss.
Potencial producido por el anillo cargado en un punto fuera del eje
El potencial en el punto P vale
donde |r-r’| es la distancia entre el elemento diferencial de carga dq y el punto P.
La integral se convierte en
Las tablas de integrales elípticas (Good) nos da la siguiente equivalencia
K(m) es la integral elíptica completa de primera especie El potencial V en el punto P vale
El valor de K(m) se puede consultar en una tabla de integrales elípticas (Puig Adam)
Campo eléctrico producido por el anillo cargado en el punto fuera del eje
El campo eléctrico producido por el elemento diferencial de carga dE tiene la dirección y el sentido del vector diferencia r-r’, que une la posición de la carga y el punto P.
Las componentes del campo total son:
Por simetría, la componente Y del campo debe anularse, como puede comprobarse fácilmente resolviendo la integral inmediata. Como cosθ es una función par podemos hace la
sustitución El resultado es
Las tablas de integrales elípticas (Good) nos da las siguientes equivalencias
Las expresiones de las componentes del campo son, ahora,
En la figura, se muestra la dirección del campo eléctrico mediante flechas, en el plano XZ, con x>0 y z>0. El módulo del campo no se puede mostrar ya que cambia significativamente de un punto cercano al anillo a otro algo más alejado. El radio del anillo es a=1.0
Caso particular Estudiamos el campo a lo largo del eje del anillo, x →0,
Las integrales elípticas tienden ambas a K(0)=E(0)=π/2 Como podemos comprobar fácilmente Ex→0, fijarse que los dos últimos términos entre paréntesis se cancelan y Ex en el límite, resulta proporcional a x. En cuanto a la componente Z.
Resultado que hemos obtenido previamente.
ActividadesSe introduce
Se pulsa en el botón titulado Calcular El programa interactivo calcula las componentes Ex y Ez del campo, su módulo y el ángulo que forma con el eje X. Las componentes del campo Ex y Ez se expresan en términos de (x/a) y (z/a) de la siguiente forma
El campo en un punto del eje Z se expresa en términos de (z/a)
El programa interactivo calcula el valor de Ex
y de Ey proporcionales a la constante |
Good R. H. Elliptic integrals, the forgotten functions. Eur. J. Phys. 22 (2001) pp. 119-126.
Zypman F. R., Electric field of a ring of charge. Am. J. Phys. 74 (4) April 2006, pp. 295-300.
Puig Adam P. Curso teórico de cálculo integral aplicado a la Física y a la Técnica. Biblioteca Matemática, 1972, págs.71-73.
Anillo cargado
