Electromagnetismo

Condensadores

Condensador plano-
paralelo

Modelo eléctrico de 
un ciclo de Carnot

Condensador cilíndrico

Condensador esférico

Condensador con un
dieléctrico.

Fuerza sobre un 
dieléctrico (I)

Fuerza sobre un 
dieléctrico (II)

Carga y descarga de
un condensador

Medida de la velocidad
de una bala

Agrupación de
condensadores

Dos esferas conductoras

Dos esferas conductoras en un campo eléctrico uniforme

Referencias

Capacidad de un condensador esférico

Un condensador esférico está formado por dos superficies conductoras esféricas, concéntricas de radios a y b, cargadas con cargas iguales y opuestas +Q y –Q, respectivamente.

Situamos imaginariamente, una superficie esférica concéntrica de radio r, para determinar el campo eléctrico en las distintas regiones aplicando la ley de Gauss.

Como ya se ha explicado en la página titulada “Modelo atómico de Kelvin_Thomson”, en este problema de simetría esférica, el campo eléctrico tiene dirección radial y su módulo es constante en todos los puntos de una superficie esférica de radio r. El flujo del campo eléctrico E a través de dicha superficie cerrada vale

Determinamos la carga q encerrada en dicha superficie esférica, para distintos valores del radio r,  aplicamos la ley de Gauss

• Para r<a, la superficie esférica de radio r, no contiene ninguna carga, q=0, y E=0

• Para a<r<b, la superficie esférica de radio r, contiene una carga, q=+Q,

• Para r>b, la superficie esférica de radio r, contiene una carga, q=+Q-Q=0, y E=0

En la figura, se representa el módulo del campo E en función de r. La diferencia de potencial entre las dos placas es de radios a y b es

La capacidad de un condensador esférico es

Si el radio del segundo conductor esférico es muy grande b→∞, entonces tenemos la capacidad de un condensador esférico de radio R=a

Suponiendo que la Tierra es un conductor esférico de radio R=6370 km, su capacidad sería

Dos esferas conductoras

Sean dos esferas conductoras de radios R₁ y R₂ respectivamente, que están inicialmente aisladas una de la otra y cargadas con cargas Q₁ y Q₂ respectivamente.

Los potenciales de las superficies de las dos esferas son, respectivamente

Se ponen en contacto las dos esferas mediante un cable. La carga pasa de una esfera a la otra hasta que sus potenciales se igualan.

En este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas despejamos q₁ y q₂

El potencial común V vale

Dos esferas conductoras en un campo eléctrico uniforme

Examinamos ahora, el siguiente problema. Dos esferas conductoras del mismo radio R, inicialmente descargadas están unidas mediante un hilo conductor. Se colocan en una región en la que existe un campo eléctrico uniforme E, paralelo al eje X, tal como se muestra en la figura. El centro de la primera esfera está fijada en el origen y el centro de la segunda se desplaza a una distancia x₀.

El  radio de las esferas es pequeño para que el efecto de las cargas inducidas en sus superficies sea despreciable.

La diferencia de potencial entre las dos esferas es E·x₀. Pero como están conectadas por un hilo conductor deberán estar al mismo potencial, pasará carga de la primera a la segunda esfera hasta que sus potenciales se igualen. La primera esfera se carga con una carga -q y la segunda con una carga +q.

La diferencia de potencial entre dos esferas de radio R cargadas con cargas +q y –q es

Esta diferencia de potencial debe ser igual a E·x₀

Movimiento de la segunda esfera

La primera esfera está fija en el origen, la segunda esfera se coloca en la posición inicial x₀ y se suelta. Observamos que esta esfera se mueve bajo la acción de dos fuerzas, la que ejerce el campo eléctrico y la fuerza de atracción entre las dos esferas.

Cuando la segunda esfera está a una distancia x, la fuerza de atracción entre dos cargas puntuales +q y -q vale

que es constante

La fuerza que ejerce el campo eléctrico sobre la segunda esfera cargada con carga +q vale

La ecuación del movimiento de la segunda esfera de masa m es

La solución de esta ecuación diferencial es

Las constantes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales, en el instante t=0, la posición de la segunda esfera es x₀ y su velocidad dx/dt=0.

La posición x y velocidad v de la segunda esfera vale

La velocidad también la podemos obtener a partir de la relación entre el trabajo de las fuerzas que actúan sobre una partícula y la variación de energía cinética.

Sustituyendo x por su expresión en función del tiempo t, podemos comprobar después de hacer algunas operaciones, que se obtiene v en función de t.

Ejemplo:

• Intensidad del campo eléctrico, E=0.9

• Radio de las esferas, R=0.2

• Posición inicial, x₀=5.0

• Se ha elegido los valores de la masa m y radio R tal que el parámetro a vale a=E² 

El tiempo que tarda en llegar a la posición x=15.0 es t=1.97. La velocidad en dicha posición es v=12.67..

Aproximaciones

Suponiendo que R es pequeño, el parámetro b es pequeño y por tanto, se puede despreciar la fuerza de atracción entre las esferas frente a la fuerza que ejerce el campo eléctrico externo E.

Actividades

Se introduce

• El valor del campo E, actuando en la barra de desplazamiento titulada Campo eléctrico.

• El radio de la esfera se ha fijado en R=0.2

• El parámetro a se ha fijado de modo que a=E²

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Con el puntero del ratón se arrastra la segunda esfera.

• Cuando dicha esfera se acerca a la esfera situada en el origen, la carga pasa de la esfera derecha a la izquierda. La carga de cada esfera disminuye, así lo señala la intensidad del color azul (negativa) y rojo (positiva).

• Cuando la esfera se aleja del origen, la carga, representada por puntos de color rojo, pasa de la esfera derecha a la esfera situada en el origen, la carga de cada esfera aumenta, así lo señala la intensidad del color azul (negativa) y rojo (positiva).

Se pulsa el botón titulado Empieza

La esfera situada en la posición x₀, se mueve bajo la acción de la fuerza que ejerce el campo eléctrico y la fuerza de atracción entre las dos esferas.

A medida que la segunda esfera se aleja del origen, la carga de cada esfera aumenta.

Los datos del tiempo t y la velocidad v aparecen en la parte inferior izquierda del applet, la posición x aparece al lado de la esfera que se mueve.