Electromagnetismo
Electromagnetismo
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Condensadores Condensador plano- paralelo Modelo eléctrico de un ciclo de Carnot Condensador cilíndrico Condensador esférico Condensador con un dieléctrico. Fuerza sobre un dieléctrico (I) Fuerza sobre un dieléctrico (II) Carga y descarga de un condensador Medida de la velocidad de una bala
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Condensadores en paralelo
Condensadores ideales en serie |
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| Consideremos el problema de los dos condensadores iguales. Inicialmente uno de ellos se encuentra cargado con una carga Q, y el otro descargado. Se ponen en contacto formando un circuito, en el estado final, los dos condensadores quedan cargados con una carga Q/2 cada uno. Este problema, que a primera vista parece trivial, tiene sin embargo, mucho interés ya que nos permite estudiar modelos cada vez más elaborados que explican de forma más realista el proceso de descarga de un condensador y la carga del otro inicialmente descargado.
Condensadores en paraleloLos condensadores se pueden agrupar en serie o en paralelo. El caso más importante sucede cuando se conectan las placas del mismo signo de dos condensadores de capacidades C1 y C2. Si inicialmente, el condensador C1 se ha cargado con una carga Q y se conecta al condensador C2 inicialmente descargado. Después de conectarlos, las cargas pasan de un condensador al otro hasta que se igualan los potenciales.
Las cargas finales de cada condensador q1 y q2, se obtienen a partir de las ecuaciones de la conservación de la carga y de la igualdad de potenciales de los condensadores después de la unión.
Despejando q1 y q2, en el sistema de dos ecuaciones
La energía inicial, es la almacenada en forma de campo eléctrico en el condensador de capacidad C1
La energía final, es la suma de las energías almacenadas en los dos condensadores
Como vemos la energía final Uf es menor que la inicial Ui. En la figura, se muestra la analogía hidráulica de un sistema formado por dos condensadores en paralelo.
Ejemplo: Supongamos que tenemos un condensador cargado a una diferencia de potencial V, la carga que adquiere el condensador es Q0=C·V. La energía acumulada en el condensador es U0=CV2/2
Conectamos este condensador a otro idéntico inicialmente descargado. Cuando el circuito se cierra la carga fluye del primero hacia el segundo hasta que la diferencia de potencial en ambos condensadores es la misma. Como la capacidad C de ambos condensadores es la misma, la carga final de cada uno de los condensadores será la mitad de la carga inicial Q1=Q0/2, V1=V/2 La energía acumulada por el sistema formado por los dos condensadores es
La energía final es la mitad de la energía inicial. Siempre se perderá la mitad de la energía independientemente de que cambiemos o no la resistencia de los cables que unen los condensadores. Supongamos dos depósitos cilíndricos iguales conectados por un tubo horizontal de sección despreciable, tal como se indica en la figura, el primero de ellos con una masa m de agua, y el segundo vacío.
La energía inicial del agua es la energía potencial del centro de masas del agua que está a una altura h de la base. U0=mgh Si se abre la llave, el agua fluye del primer depósito al segundo, hasta que la altura del agua es la misma en ambos. Por tanto, el agua se reparte por igual entre los dos depósitos. La energía final será
la mitad de la energía inicial. Como hemos visto, si no hubiese resistencia alguna, no habría pérdidas, ya que la energía potencial del agua se transforma en cinética del agua que fluye y viceversa. El agua pasaría de un depósito al otro, se produciría un movimiento oscilatorio. Lo mismo ocurriría en un sistema de dos condensadores, la carga oscilaría entre los dos condensadores. La resistencia del tubo, que conecta los dos depósitos, al movimiento del agua es análoga a la resistencia de los cables que conectan los dos condensadores, el primero se opone al flujo del agua, el segundo al flujo de carga. Después de unas cuantas oscilaciones se alcanza la situación final de equilibrio.
La situación final no se alcanza por tanto, de una vez, sino después de un cierto tiempo tanto más pequeño cuanto mayor sea la resistencia.
Circuito formado por dos condensadores y una resistenciaConsideremos el siguiente circuito formado por dos condensadores de capacidades C1 y C2 y una resistencia R. El condensador de capacidad C1 está cargado con una carga Q10 y el condensador de capacidad C2 está está cargado con una carga Q20. En el instante t=0, se cierra el circuito. En un instante dado t, tendremos que
Medimos las diferencias de potencial entre los puntos a y b, b y c, c y a. Se cumplirá que Vab+Vbc+Vca=0
La ecuación del circuito será
Supongamos que la carga q1 disminuye con el tiempo y la carga q2 aumenta con el tiempo, la intensidad i (carga por unidad de tiempo) valdrá
Derivamos la ecuación del circuito respecto del tiempo
Integramos la ecuación diferencial con la siguiente condición inicial: en el instante t=0, la intensidad i=i0. En el instante inicial t=0, el condensador de capacidad C2 tiene una carga Q20, el condensador de capacidad C1 tiene una carga inicial Q10.
La solución de la ecuación diferencial es
Calculamos las cargas de cada condensador en función del tiempo con las siguientes condiciones iniciales: en el instante t=0, la carga del condensador C1 es q1=Q10, y la carga del condensador C2 es q2=Q20.
Como vemos q1+q2=Q10+Q20, la carga total en los condensadores es la carga inicial. Después de un tiempo teóricamente infinito, se establece una situación de equilibrio en el que las cargas finales de los condensadores serán
Estudio energético
Como podemos comprobar parte de la energía inicial se disipa en la resistencia y la otra parte, se almacena en los condensadores en forma de campo eléctrico. Uf=Ui-UR Ejemplo:
En el instante t=3, la carga de cada condensador es
La energía inicial y la energía almacenada en los condensadores en el instante t=3 es
La energía disipada en la resistencia hasta dicho instante vale
La carga final t→∞ de cada condensador vale
La energía final almacenada en los condensadores es
La energía total disipada en la resistencia vale
Como puede comprobarse Uf=Ui-UR ActividadesSe ha fijado
Se introduce
Se pulsa el botón titulado Empieza Se observa el movimiento de cargas entre los condensadores desde el estado inicial al estado final. El lector siguiendo este ejemplo, puede resolver un problema real con datos concretos expresados en el S. I. de unidades de medida. |
Condensadores ideales en serieSean dos condensadores de capacidades C1 y C2 dispuestos en serie.
Los dos condensadores tienen la misma carga q. La diferencia de potencial entre a y c es Vac=Vab+Vbc=q/C1+q/C2=q(1/C1+1/C2) La agrupación de dos condensadores en serie es equivalente al de un condensador de capacidad Ce
Esta es la situación ideal, en la que se supone que los condensadores no pierden carga, las dos placas del condensador están perfectamente aisladas una de la otra. Esto no es lo que ocurre en la situación real.
Condensadores con pérdidas en serieUn condensador con pérdida de carga es equivalente a un condensador ideal de capacidad C que se descarga a través de una resistencia R. Como ya hemos estudiado en la página anterior, la carga del condensador disminuye exponencialmente con el tiempo
La resistencia R no suele ser constante sino que depende de la diferencia de potencial V=q/C entre las placas del condensador. Sin embargo, en nuestro estudio supondremos que la resistencia R es constante. Hay condensadores que tiene constantes de tiempo RC del orden de minutos. Sin embargo, hay otros como aceites o plásticos especiales cuyas constantes de tiempo se miden en horas o en días Consideremos ahora la situación que se muestra en la figura, en la cual los condensadores tienen pérdidas. Se establece una diferencia de potencial V entre a y c. Estado inicial Inicialmente las cargas de los condensadores son iguales y las diferencias de potencial entre sus placas son respectivamente V1=q/C1 y V2=q/C2. Por lo que cumple que
Como V1+V2=V tendremos que
La corriente comienza a fluir a través de las resistencias R1 y R2 y en general, las cargas en los condensadores serán distintas. Estado final Si la diferencia de potencial entre los extremos a y c se mantiene constante, se alcanza un estado estacionario en el que la misma corriente i pasa por las resistencias R1 y R2. Se cumplirá entonces que V1=iR1 y V2=iR2. Por lo que tendremos la relación
Como V1+V2=V tendremos que
La carga final de cada condensador será q1=V1·C1 y q2=C2·V2, de modo que se cumple la relación
Evolución del estado inicial al final Supongamos que a los extremos a y c se aplica una diferencia de potencial constante V. La corriente total i que pasa por a o que sale en b en el instante t, es la suma de dos términos:
tal como hemos visto al estudiar el circuito formado por dos condensadores y una resistencia Del mismo modo, la corriente i que entra en b o que sale en c en el instante t, es la suma de dos términos:
Sustituyendo V2=V-V1 tenemos una ecuación en V2.
o bien
Integramos esta ecuación diferencial con las siguientes condiciones iniciales: en el instante t=0, la diferencia de potencial entre las placas del condensador C2 es V02 tal como vimos al principio de este apartado. Integrando
El resultado final es
Comprobación En el estado inicial t=0 tenemos que
En el estado final t →∞ tenemos
Intensidad de la corriente La intensidad de la corriente i es igual a La intensidad es máxima en el instante t=0, y tiende hacia un valor constante V0/(R1+R2) para t→∞ Caso especial En el caso especial de que C1R1=C2R2 las diferencias de potencial V1 y V2 son independientes del tiempo, aunque la corriente sigue fluyendo a través de cada uno de los condensadores
Como C1R1=C2R2 las cargas en los condensadores q1 y q2 son iguales. Esta condición se puede cumplir eligiendo adecuadamente la constante dieléctrica k y la resistividad ρ del dieléctrico que se coloca entre las placas de un condensador plano paralelo, cuyas placas tiene un área A y están separadas una distancia d.
El producto de ambas magnitudes solamente depende de la constante dieléctrica k y de la resistividad ρ del dieléctrico, RC=ρ kε0. Siempre que de los dieléctricos que separan las placas de los dos condensadores sean tales que cumplan la relación ρ1 k1=ρ2 k2 se cumplirá también que C1R1=C2R2 Ejemplo 1:
En el instante inicial t=0 la relación V1/V2=2.50. Después de un tiempo suficientemente grande t →∞ V1/V2=5.0 Ejemplo 2:
Se cumple el caso especial de que C1R1=C2R2. La relación V1/V2=5 en la situación inicial (t=0) y en la final (t →∞). Aunque la carga de cada condensador no cambia, la intensidad no es nula. Nota: En el artículo citado en las referencias se obtiene la misma expresión de V2(t) suponiendo una situación más relista que V pasa de 0 al valor constante V0 en un tiempo muy corto.
Donde la constante de tiempo τ es muy pequeña comparada con las constantes de tiempo en el proceso de autodescarga de los dos condensadores C1R1 ó C2R2. ActividadesSe introduce
Se pulsa el botón titulado Empieza Se representa en la parte izquierda del applet, V1/V2 en función de t/T. Donde T es la constante de tiempo T=R1R2(C1+C2)/(R1+R2). Dos líneas horizontales de color azul, indican el valor inicial del cociente V1/V2=C2/C1 en el instante t=0, y el valor final de dicho cociente cuando t →∞ V1/V2→R1/R2. La fuente de alimentación la representamos mediante un depósito muy grande, cuya altura de líquido permanece constante durante toda la "experiencia". Los condensadores con pérdidas los representamos como depósitos de fluido que descargan a través de un capilar:
Observamos como va cambiando la altura de fluido en cada uno de los tubos capilares a medida que transcurre el tiempo. Los puntos de color rojo, representan la intensidad i de la corriente ( movimiento de los portadores de carga positivos) que va disminuyendo con el tiempo, hasta que alcanza el valor constante V/(R1+R2) cuando t →∞ Nota: En esta página no se demuestra que el circuito eléctrico y el hidráulico representado en el applet tengan un comportamiento análogo. El circuito hidráulico se emplea exclusivamente como imagen para representar los cambios que tienen lugar en el circuito eléctrico a medida que transcurre el tiempo..
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Condensadores con pérdidas en serie
French A, P. Are the Textbook Writers Wrong about Capacitors?. The Physics Teacher, Vol 31, March 1993, pp156-159
Agrupación de
condensadores
