Órbita de transferencia de Hohmann

Para resolver el problema propuesto, solamente es necesario hacer uso de las propiedades central y conservativa de la fuerza de atracción que hemos estudiado en páginas anteriores y de la dinámica del movimiento circular uniforme.

Órbita circular interior

Cuando la nave espacial describe una órbita circular de radio rA, el módulo de la velocidad vA se puede calcular aplicando la dinámica del movimiento circular uniforme

GMm r A 2 =m v A 2 r A v A 2 = GM r A

Donde M es la masa de la Tierra, G es la constante de la gravitación universal y m es la masa de la nave que se simplifica en las ecuaciones del movimiento.

La energía E1 de la nave espacial en la órbita circular inicial es

E 1 = 1 2 m v A 2 GMm r A = GMm 2 r A

la mitad de la energía potencial

Órbita semielíptica de transferencia

Para calcular la velocidad que debe llevar la nave espacial en el punto A para que alcance la órbita exterior en B, basta aplicar las propiedades central y conservativa de la fuerza de atracción.

Por la propiedad de la fuerza central, el momento angular es constante y por tanto, tiene el mismo valor en A que en B

m r A v 1 =m r B v 2

Por la propiedad de fuerza conservativa, la energía es constante en todos los puntos de la trayectoria y en particular, es la misma en A que en B.

1 2 mv 1 2 GMm r A = 1 2 m v 2 2 GMm r B

Conocidos rA y rB calculamos en este par de ecuaciones las incógnitas v1 y v2.

v 1 2 = 2GM r B r A ( r A + r B ) v 2 2 = 2GM r A r B ( r A + r B )

La energía de la nave espacial es constante en todos los puntos de la trayectoria e igual a

E 2 = 1 2 mv 1 2 GMm r A

La energía que hemos de suministrar al satélite en la posición A para que pase de la órbita circular a la trayectoria de transferencia es la diferencia E2-E1 o bien,

Δ E A = 1 2 mv 1 2 1 2 m v A 2 = GMm 2 r A ( r B r A r B + r A )

Órbita circular exterior

Una vez que la nave espacial llega al punto B, ha de cambiar su velocidad para seguir la trayectoria circular de radio rB. De nuevo, aplicando la dinámica del movimiento circular uniforme tenemos.

GMm r B 2 =m v B 2 r B v B 2 = GM r B

La energía E3 de la nave espacial en la órbita circular final es

E 3 = 1 2 mv B 2 GMm r B = GMm 2 r B

La energía que hemos de suministrar al satélite para que pase de la órbita de transferencia elíptica a la órbita circular de radio rB es la diferencia E3-E2 o bien,

Δ E B = 1 2 mv B 2 1 2 m v 2 2 = GMm 2 r B ( r B r A r B + r A )

El tiempo que tarda la nave espacial en pasar del punto A al punto B principio y fin de la trayectoria de transferencia, es la mitad del periodo P.

P 2 = 4 π 2 a 3 GM a= r B + r A 2

Siendo a el semieje mayor de la elipse.

Combustible gastado por la nave espacial

Supondremos que la nave espacial cambia de velocidad en los puntos A y B mediante sendos impulsos, de duración muy corta, por lo que no tendremos en cuenta la acción del peso.

Al estudiar la dinámica de un cohete, calculamos la cantidad de combustible m0-m que ha de gastar una nave espacial para incrementar su velocidad en v-v0

v v 0 =uln m 0 m m 0 m =exp( v v 0 u )

donde u es la velocidad de escape de los gases al quemarse el combustible, m0 es la masa inicial y m es la masa final y Δv=v-v0 es la variación de velocidad.

La variación total de velocidad que experimenta la nave espacial en los puntos A y B es la suma

Δv=( v 1 v A )+( v B v 2 )

A partir de esta expresión, hallamos la masa final m conocida la masa inicial m0, y el cambio de velocidad Δv que experimenta la nave espacial al pasar de la órbita interior a la exterior.

Ejemplo

Para situar un satélite de comunicaciones en órbita geosíncrona a 35770 km de altura sobre la superficie terrestre se emplea un remolcador espacial. Sabiendo que inicialmente el remolcador describe una órbita circular a 350 km de altura, determinar

Datos

En primer lugar, transformamos las alturas de las órbitas en distancias al centro de la Tierra, rA=(350+6370)·1000 m, rB=(35770+6370)·1000 m.

  1. Calculamos la velocidad del satélite en la órbita circular de 350 km de altura, vA =7704.22 m/s. La energía inicial es E1=-29.68·106·m J (m es la masa de la nave espacial)

  2. Calculamos la velocidad que debe alcanzar v1 =10118.5 m/s, para transferirlo a la órbita de transición y la velocidad del satélite al finalizar dicha órbita elíptica, v2 =1613.6 m/s. La energía de la nave espacial es E2=-8.16·106·m J. El tiempo que tarda la nave espacial en describir la órbita de transferencia es de 18994.2 s.

  3. Calculamos la velocidad del satélite en la órbita geoestacionaria, vB =3076.6 m/s. La energía de la nave espacial es esta órbita es E3=-4.73·106·m J

M=5.98e24; %masa de la Tierra
G=6.67e-11; %constante G
R=6.37e6; %radio de la Tierra
rB=35570*1000+R; %orbita exterior (35570 km de altura)
rA=350*1000+R;  %órbita interior  (350 km de altura)

vA=sqrt(G*M/rA); %velocidad en la órbita circular interior
vB=sqrt(G*M/rB); %velocidad en la órbita circular exterior

%velocidad de salida de la órbita interior
v1=sqrt(2*G*M*rB/(rA*(rA+rB)));
%energía que hay que proporcionar para pasar de vA a v1
inc_A=v1^2/2-vA^2/2; 
%velocidad de llegada a la órbita exterior
v2=rA*v1/rB; 
%energía que hay que proporcionar para pasar de v2 a vB
inc_B=vB^2/2-v2^2/2; 
fprintf('Velcidades en las órbitas circulares:
 vA: %5.1f, vB: %5.1f\n',vA,vB);
fprintf('órbita de transferencia v1: %5.1f, v2: %5.1f\n',v1,v2);
fprintf('Energía suministrada %7.1f \n',inc_A+inc_B);
P=pi*sqrt(a^3/(G*M));  %medio periodo
fprintf('Tiempo (min) %2.1f \n',P/60);

hold on
ang=(0:359)*pi/180;
x=rA*cos(ang);
y=rA*sin(ang);
plot(x,y,'b');
x=rB*cos(ang);
y=rB*sin(ang);
plot(x,y,'r');
%órbita elíptica
a=(rA+rB)/2; %semieje mayor
ex=1-rA/a; %excentricidad
d=a*(1-ex^2);
ang=(0:179)*pi/180;
r=d./(1+ex*cos(ang));
x=r.*cos(ang);
y=r.*sin(ang);
plot(x,y,'k');
hold off
axis equal
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('órbita de transferencia')
Velcidades en las órbitas circulares: vA: 7704.2, vB: 3083.9
órbita de transferencia v1: 10115.1, v2: 1620.7
Energía suministrada 24922331.9 
Tiempo (min) 314.6