Ecuación de la trayectoria

La energía y el momento angular en coordenadas polares

La posición del punto P es

x=r·cosθ
y=r·
sinθ

Expresamos la velocidad de la partícula en coordenadas polares

v = d r dt = r ^ dr dt +r d r ^ dt

Calculamos las componentes rectangulares de los vectores unitarios r ^ , θ ^

r ^ = i ^ cosθ+ j ^ sinθ θ ^ = i ^ sinθ+ j ^ cosθ

vemos que

d r ^ dt =sinθ dθ dt i ^ +cosθ dθ dt j ^ = dθ dt θ ^

Las componentes del vector velocidad en coordenadas polares son, por tanto

v = dr dt r ^ +r dθ dt θ ^

La expresión de la energía en coordenadas polares es

E= 1 2 m v 2 GMm r E= 1 2 m ( dr dt ) 2 + 1 2 m r 2 ( dθ dt ) 2 GMm r

Donde -GMm/r es la energía potencial correspondiente a la fuerza conservativa F=GMm/r2.

Expresamos el momento angular en coordenadas polares

L = r ×m v =m r ×( dr dt r ^ +r dθ dt θ ^ )=m r 2 dθ dt k ^

Despejamos dθ /dt en la expresión del momento angular y la introducimos en la expresión de la energía. Tenemos dos ecuaciones

E= 1 2 m ( dr dt ) 2 + L 2 2m r 2 GMm r L=m r 2 dθ dt

Movimiento en la dirección radial

Analizamos la primera ecuación de la energía. Decimos que la partícula se mueve en una región unidimensional r>0 bajo un potencial efectivo, cuyo aspecto se muestra en la figura

E p (r)= L 2 2m r 2 GMm r

Representamos una función de la forma f(r)=a/r2-b/r con a=1 y b=5. Calculamos los puntos de intersección con la recta horizontal e=-2

a=1; 
b=5; 
e=-2; 
f=@(r) a./r.^2-b./r;
fplot(f,[0.2,3],'color','r')
line([0,3],[e,e],'color','k')

%raíces
r1=(-b+sqrt(b^2+4*a*e))/(2*e);
r2=(-b-sqrt(b^2+4*a*e))/(2*e);
line([r1,r1],[0,e], 'lineStyle','--')
line([r2,r2],[0,e],'lineStyle','--')
grid on
xlabel('r')
ylabel('V(r)')
title('Energía potencial')

El mínimo se encuentra en la posición rm=2a/b

>> 2*a/b
ans =    0.4000

La energía E de la partícula puede ser positiva o negativa. El valor de la energía total no puede ser menor que el mínimo de la energía potencial efectiva.

El valor mínimo de obtiene derivando Ep(r) respecto a r e igualando a cero

L 2 m r 3 + GMm r 2 =0 r c = L 2 GM m 2

El cuerpo describe una trayectoria circular de radio rc con velocidad vc. El momento angular L=mrcvc.

v c 2 = GM r c

La misma expresión, que la que se deduciría a partir de la dinámica del movimiento circular uniforme. La energía vale

E= GMm 2 r c

Cuando la energía total E es mayor que el mínimo y menor que cero, como vemos en la gráfica, la recta horizontal que señala la energía total corta a curva que describe la energía potencial Ep(r), en dos puntos r1 y r2, soluciones de la ecuación de segundo grado

E= L 2 2m r 2 GMm r

Llamando u=1/r

L 2 2m u 2 GMmuE=0 u 1,2 = 1± 1+ 2 L 2 E G 2 M 2 m 3 L 2 GM m 2 = 1±ε d r 1 = d 1+ε r 2 = d 1ε

Donde ε es la excentricidad y d un factor de escala, que obtendremos más abajo al deducir la ecuación de la trayectoria.

Fuerza central y conservativa

Utilizamos las propiedades de la fuerza de atracción: central y conservativa, para obtener la ecuación de la trayectoria

En la primera ecuación de la energía sustituímos dr/dt por

dr dt = dr dθ dθ dt = dr dθ L m r 2

Despejamos dθ/dr para obtener la ecuación de la trayectoria

dθ dr = L m r 2 2 m ( E L 2 2m r 2 + GMm r )

Para integrar se hace el cambio u=1/r

θ θ 0 = L 2m du E L 2m u 2 +GMmu

Donde θ0 es la constante de integración que se determina a partir de las condiciones iniciales.

Tenemos una integral del tipo

du a u 2 +bu+c = du a[ c a + b 2 4 a 2 ( u b 2a ) 2 ] a= L 2 2m b= GMmc=E

Hacemos un nuevo cambio de variable

u b 2a = c a + b 2 4 a 2 cosξ

Con este cambio la integral es inmediata

θ θ 0 = L 2m 1 a dξ θ θ 0 =ξ

Deshacemos los cambios

1 r b 2a = c a + b 2 4 a 2 cos( θ θ 0 ) 1 r = GM m 2 L 2 ( 1+ 1+ 2 L 2 E G 2 M 2 m 3 cos( θ θ 0 ) )

La ecuación de la trayectoria es una cónica (elipse, parábola o hipérbola) dependiendo del valor de la excentricidad ε .

r= d 1+εcos( θ θ 0 ) ε= 1+ 2 L 2 E m 3 G 2 M 2 d= L 2 GM m 2

Clase de cónica Descripción geométrica Descripción física
Elipse ε<1 E<0
Parábola ε=1 E=0
Hipérbola ε>1 E>0

Las secciones cónicas (elipse, hipérbola y parábola) es el resultado de la intersección de una superficie cónica y un plano

Dibujamos las cónicas de excentricidades (0, 0.3,0.5,0.7,0.8,0.85) elipses, (1) parábola y (1.1,1.3,1.5,2.5) hipérbolas

hold on
for e=[0,0.3,0.5,0.7,0.8,0.85,0.9,1,1.1,1.3,1.5,2.5]
    f=@(x) 1./(1+e*cos(x));
    ang=pi;
    if e>1 %hipérbolas
        ang=acos(-1/e)-pi/180;
    elseif e==1 %parábola
        ang=5*pi/6;
    end
    fplot(@(x) f(x).*cos(x), @(x) f(x).*sin(x) ,[-ang,ang],
 'displayName',num2str(e))
end
legend('-DynamicLegend','Location','northwest')
plot(0,0,'ko','markersize',3,'markeredgecolor','k','markerfacecolor','k')
hold off
axis equal
axis off

Para ver bien las trayectorias es necesario utilizar los botones Zoom In y Pan de la ventana gráfica

Ecuación del movimiento

En este apartado vamos a obtener la ecuación de la trayectoria aplicando la segunda ley de Newton.

Fuerzas atractivas

En el primer apartado hemos obtenido la expresión del vector velocidad en coordenadas polares. La expresión del vector aceleración es:

a = d v dt = d 2 r d t 2 r ^ + dr dt d r ^ dt +( r d 2 θ d t 2 + dr dt dθ dt ) θ ^ +r dθ dt d θ ^ dt = d 2 r d t 2 r ^ + dr dt dθ dt θ ^ +( r d 2 θ d t 2 + dr dt dθ dt ) θ ^ r ( dθ dt ) 2 r ^ = ( d 2 r d t 2 r ( dθ dt ) 2 ) r ^ +( r d 2 θ d t 2 +2 dr dt dθ dt ) θ ^

Sobre la partícula de masa m actúa una fuerza atractiva inversamente proporcional al cuadrado de la distancia r al centro de fuerzas. Las ecuaciones del movimiento son

m( d 2 r d t 2 r ( dθ dt ) 2 )=G Mm r 2 m( r d 2 θ d t 2 +2 dθ dt dr dt )=0

La segunda ecuación nos indica que el momento angular L (expresado en coordenadas polares es constante)

d dt ( m r 2 dθ dt )=0L=m r 2 dθ dt =cte

Teniendo en cuenta la constancia del momento angular L, escribimos la primera ecuación de la forma

d 2 r d t 2 L 2 m 2 r 3 =G M r 2

Para calcular la ecuación de la trayectoria r=r(θ), eliminamos el tiempo t del siguiente modo

dr dt = dr dθ dθ dt = L m r 2 dr dθ d 2 r d t 2 = d dt ( L m r 2 dr dθ )= d dθ ( L m r 2 dr dθ ) dθ dt = L m r 2 d dθ ( L m r 2 dr dθ ) d 2 r d t 2 = L 2 m 2 r 4 ( d 2 r d θ 2 2 r ( dr dθ ) 2 )

Obtenemos una ecuación en términos de r y de sus derivadas respecto del ángulo θ

d 2 r d θ 2 2 r ( dr dθ ) 2 r= GM m 2 L 2 r 2

Hacemos el cambio de variable u=1/r

dr dθ = 1 u 2 du dθ d 2 r dθ = 2 u 3 ( du dθ ) 2 1 u 2 d 2 u d θ 2

la ecuación del movimiento se convierte en

d 2 u d θ 2 +u= GM m 2 L 2

La solución de la ecuación diferencial es

u=Asinθ+Bcosθ+ GM m 2 L 2

En forma equivalente, escribiendo

A L 2 GM m 2 =εsin θ 0 B L 2 GM m 2 =εcos θ 0 u= GM m 2 L 2 ( εcos(θ θ 0 )+1 )

Calculamos la constante ε a partir de la conservación de la energía.

E= 1 2 m{ ( dr dt ) 2 + r 2 ( dθ dt ) 2 } GMm r E= 1 2 L 2 m r 4 { ( dr dθ ) 2 + r 2 } GMm r E= 1 2 L 2 m u 4 { 1 u 4 ( du dθ ) 2 + 1 u 2 }GMmu E= 1 2 L 2 m { ( du dθ ) 2 + u 2 }GMmu

Introduciendo la expresión de u y su derivada du/dθ, obtenemos

ε= 1+ 2 L 2 G 2 M 2 m 3 E

La ecuación de la trayectoria es r=1/u

1 r = GM m 2 L 2 ( εcos(θ θ 0 )+1 )

Fuerzas repulsivas

Sobre la partícula actúa una fuerza repulsiva inversamente proporcional al cuadrado de la distancia r al centro de fuerzas. Por ejemplo, un núcleo fijo de carga Q que repele a una partícula alfa de masa m y carga q. Las ecuaciones del movimiento son

m( d 2 r d t 2 r ( dθ dt ) 2 )= k r 2 k= Qq 4π ε 0 m( r d 2 θ d t 2 +2 dθ dt dr dt )=0

Siguiendo los mismos pasos que para la fuerza atractiva, la solución es

u=Asinθ+Bcosθ km L 2

De forma equivalente

u= km L 2 ( εcos(θ θ 0 )1 )

Calculamos la constante ε a partir de la conservación de la energía.

E= 1 2 m{ ( dr dt ) 2 + r 2 ( dθ dt ) 2 }+ k r E= 1 2 L 2 m { ( du dθ ) 2 + u 2 }+ku

Introduciendo la expresión de u y su derivada du/dθ, obtenemos

ε= 1+ 2 L 2 k 2 m E

La ecuación de la trayectoria es r=1/u

1 r = km L 2 ( εcos(θ θ 0 )1 )