Ecuación de la trayectoria

La energía y el momento angular en coordenadas polares

La posición del punto P es

x=r·cosθ
y=r·
sinθ

Expresamos la velocidad de la partícula en coordenadas polares

v= dr dt = r ^ dr dt +r d r ^ dt

Calculamos las componentes rectangulares de los vectores unitarios r y θ

r ^ = i ^ cosθ+ j ^ sinθ θ ^ = i ^ sinθ+ j ^ cosθ

vemos que

d r ^ dt = i ^ sinθ dθ dt + j ^ cosθ dθ dt = θ ^ dθ dt

Las componentes del vector velocidad en coordenadas polares son, por tanto

v= r ^ dr dt + θ ^ r dθ dt

La expresión de la energía en coordenadas polares es

E= 1 2 m v 2 GMm r E= 1 2 m ( dr dt ) 2 + 1 2 m r 2 ( dθ dt ) 2 GMm r

Donde -GMm/r es la energía potencial correspondiente a la fuerza conservativa F=GMm/r2.

Expresamos el momento angular L en coordenadas polares

L=r×mv=mr×( r ^ dr dt + θ ^ r dθ dt )=m r 2 dθ dt k ^

Despejamos dθ /dt en la expresión del momento angular y la introducimos en la expresión de la energía. Tenemos dos ecuaciones

E= 1 2 m ( dr dt ) 2 + L 2 2m r 2 GMm r L=m r 2 dθ dt

Movimiento en la dirección radial

Analizamos la primera ecuación de la energía. Decimos que la partícula se mueve en una región unidimensional r>0 bajo un potencial efectivo, cuyo aspecto se muestra en la figura

E p (r)= L 2 2m r 2 GMm r

La energía E de la partícula puede ser positiva o negativa. El valor de la energía total no puede ser menor que el mínimo de la energía potencial efectiva.

El valor mínimo de obtiene derivando Ep(r) respecto a r e igualando a cero

L 2 m r 3 + GMm r 2 =0 r c = L 2 GM m 2

El cuerpo describe una trayectoria circular de radio rc con velocidad vc. El momento angular L=mrcvc.

v c 2 = GM r c

La misma expresión, que la que se deduciría a partir de la dinámica del movimiento circular uniforme. La energía vale

E= GMm 2 r c

Cuando la energía total E es mayor que el mínimo y menor que cero, como vemos en la gráfica, la recta horizontal que señala la energía total corta a curva que describe la energía potencial Ep(r), en dos puntos r1 y r2, soluciones de la ecuación de segundo grado

E= L 2 2m r 2 GMm r

Llamando u=1/r

L 2 2m u 2 GMmuE=0 u 1,2 = 1± 1+ 2 L 2 E G 2 M 2 m 3 L 2 GM m 2 = 1±ε d r 1 = d 1+ε r 2 = d 1ε

Donde ε es la excentricidad y d un factor de escala, que obtendremos más abajo al deducir la ecuación de la trayectoria.

Fuerza central y conservativa

Utilizamos las propiedades de la fuerza de atracción: central y conservativa, para obtener la ecuación de la trayectoria

En la primera ecuación de la energía sustituímos dr/dt por

dr dt = dr dθ dθ dt = dr dθ L m r 2

Despejamos dθ/dt para obtener la ecuación de la trayectoria

dθ dr = L m r 2 2 m ( E L 2 2m r 2 + GMm r )

Para integrar se hace el cambio u=1/r

θ θ 0 = L 2m du E L 2m u 2 +GMmu

Donde θ0 es la constante de integración que se determina a partir de las condiciones iniciales.

Tenemos una integral del tipo

du a u 2 +bu+c = du a[ c a + b 2 4 a 2 ( u b 2a ) 2 ] a= L 2 2m b= GMmc=E

Hacemos un nuevo cambio de variable

u b 2a = c a + b 2 4 a 2 cosξ

Con este cambio la integral es inmediata

θ θ 0 = L 2m 1 a dξ θ θ 0 =ξ

Deshacemos los cambios

1 r b 2a = c a + b 2 4 a 2 cos( θ θ 0 ) 1 r = GM m 2 L 2 ( 1+ 1+ 2 L 2 E G 2 M 2 m 3 cos( θ θ 0 ) )

La ecuación de la trayectoria es una cónica (elipse, parábola o hipérbola) dependiendo del valor de la excentricidad ε .

r= d 1+εcos( θ θ 0 ) ε= 1+ 2 L 2 E m 3 G 2 M 2 d= L 2 GM m 2

Clase de cónica Descripción geométrica Descripción física
Elipse ε<1 E<0
Parábola ε=1 E=0
Hipérbola ε>1 E>0

Las secciones cónicas (elipse, hipérbola y parábola) es el resultado de la intersección de una superficie cónica y un plano

Ecuación del movimiento

En este apartado vamos a obtener la ecuación de la trayectoria aplicando la segunda ley de Newton. Sobre la partícula actúa una fuerza inversamente proporcional al cuadrado de la distancia r al centro de fuerzas

La aceleración en coordendas polares

En el primer apartado hemos obtenido la expresión del vector velocidad en coordenadas polares. La expresión del vector aceleración es:

a= dv dt = d 2 r d t 2 r ^ + dr dt d r ^ dt +( r d 2 θ d t 2 + dr dt dθ dt ) θ ^ +r dθ dt d θ ^ dt = d 2 r d t 2 r ^ + dr dt dθ dt θ ^ +( r d 2 θ d t 2 + dr dt dθ dt ) θ ^ r ( dθ dt ) 2 r ^ = ( d 2 r d t 2 r ( dθ dt ) 2 ) r ^ +( r d 2 θ d t 2 +2 dr dt dθ dt ) θ ^

Las ecuaciones del movimiento son

m( d 2 r d t 2 r ( dθ dt ) 2 )=G Mm r 2 m( r d 2 θ d t 2 +2 dθ dt dr dt )=0

La segunda ecuación nos indica que el momento angular L (expresado en coordenadas polares es constante)

d dt ( m r 2 dθ dt )=0L=m r 2 dθ dt =cte

Teniendo en cuenta la constancia del momento angular L, escribimos la primera ecuación de la forma

d 2 r d t 2 L 2 m 2 r 3 =G M r 2

Aplicamos la regla de la cadena para calcular dr/dt y d2r/dt2, para eliminar las derivadas respecto del tiempo t

dr dt = dr dθ dθ dt = L m r 2 dr dθ d 2 r d t 2 = d dt ( L m r 2 dr dθ )= d dθ ( L m r 2 dr dθ ) dθ dt = L m r 2 d dθ ( L m r 2 dr dθ ) d 2 r d t 2 = L 2 m 2 r 4 ( d 2 r d θ 2 2 r ( dr dθ ) 2 )

Obtenemos una ecuación en términos de r y de sus derivadas respecto del ángulo θ

d 2 r d θ 2 2 r ( dr dθ ) 2 r= GM m 2 L 2 r 2

Hacemos el cambio de variable u=1/r

dr dθ = 1 u 2 du dθ d 2 r dθ = 2 u 3 ( du dθ ) 2 1 u 2 d 2 u d θ 2

la ecuación del movimiento se convierte en

d 2 u d θ 2 +u= GM m 2 L 2

La solución de la ecuación diferencial es

u=Asinθ+Bcosθ+ GM m 2 L 2 du dθ =AcosθBsinθ

o bien, en términos de r

1 r =Asinθ+Bcosθ+ GM m 2 L 2 1 r 2 dr dθ =AcosθBsinθ m L dr dt =AcosθBsinθ L=m r 2 ( dθ dt )

donde los coeficientes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales.

Se trata de una ecuación de la forma equivalente a la del apartado anterior, con B=ε·cosθ0 y A=ε·sinθ0

1 r = GM m 2 L 2 ( 1+εcos( θ θ 0 ) )