Campo eléctrico y potencial producido por un sistema de cargas.
1.- Calcular el vector campo eléctrico y el potencial del
sistema de cargas de la figura en P y en Q.
Datos: q1 =28 10- 9 C, q2 = -16 10- 9 C, Puntos P(1, 0), y Q(0,1.5)
metros
Solución
En P
E
1
= 9 ·
10
9
28 ·
10
− 9
3
2
= 28
E
1
→
= 28 ·
i
^
E
2
= 9 ·
10
9
16 ·
10
− 9
1
2
= 144
E
2
→
= − 144 ·
i
^
E
→
=
E
1
→
+
E
2
→
= − 116 ·
i
^
N / C
V
P
=
V
1
+
V
2
= 9 ·
10
9
28 ·
10
− 9
3
+ 9 ·
10
9
− 16 ·
10
− 9
1
= − 60 V
En Q
E
1
= 9 ·
10
9
28 ·
10
− 9
2
2
+
1.5
2
= 40.32
E
1
→
=
E
1
cos θ ·
i
^
+
E
1
sin θ ·
j
^
E
1
→
= 32.256 ·
i
^
+ 24.192 ·
j
^
E
2
= 9 ·
10
9
16 ·
10
− 9
1.5
2
= 64 N / C
E
2
→
= − 64 ·
j
^
E
→
=
E
1
→
+
E
2
→
= 32.256 ·
i
^
− 39.808 ·
j
^
N/C
V
Q
=
V
1
+
V
2
= 9 ·
10
9
28 ·
10
− 9
2
2
+
1.5
2
+ 9 ·
10
9
− 16 ·
10
− 9
1.5
= 4.8 V
2.- Calcular el vector campo eléctrico y el potencial del
sistema de cargas de la figura en el centro del hexágono regular.
Datos: q =10 m C,
lado =10 cm
Solución
E = 9 ·
10
9
10 ·
10
− 6
0.1
2
= 9 ·
10
6
N/C
E
O
→
= ( − 2 E sin 60 ·
i
^
− 2 E cos 60 ·
j
^
) − 2 E
j
^
+ ( 2 E sin 60 ·
i
^
− 2 E cos 60 ·
j
^
) =
− 4 E
j
^
= − 36 ·
10
9
j
^
N/C
V
O
= 3 (
9 ·
10
9
10 ·
10
− 6
0.1
) + 3 (
9 ·
10
9
− 10 ·
10
− 6
0.1
) = 0
3.- Dado el sistema de cargas de la figura, calcular el valor de
la carga q para que el campo en P sea horizontal.
Calcular el campo y potencial en P y Q
Solución
En P
E
1
= 9 ·
10
9
3 ·
10
− 6
0.1
2
+
0.12
2
E
2
= 9 ·
10
9
q
0.1
2
E
P
→
= ( − 2
E
1
cos θ ·
i
^
− 2
E
1
sin θ ·
j
^
) + 2
E
2
j
^
− 2
E
1
sin θ + 2
E
2
= 0 q = 0.787 ·
10
− 6
C
E
P
→
= − 2
E
1
cos θ ·
i
^
= − 566721 ·
i
^
N/C
V
P
= 9 ·
10
9
3 ·
10
− 6
0.1
2
+
0.12
2
+ 9 ·
10
9
− 3 ·
10
− 6
0.1
2
+
0.12
2
+ 9 ·
10
9
q
0.1
+ 9 ·
10
9
− q
0.1
= 0
En Q
E
1
= 9 ·
10
9
3 ·
10
− 6
0.24
2
E
2
= 9 ·
10
9
q
0.12
2
E
3
= 9 ·
10
9
3 ·
10
− 6
0.2
2
E
4
= 9 ·
10
9
q
0.12
2
+
0.2
2
E
Q
→
= −
E
1
i
^
+
E
2
i
^
−
E
3
j
^
+ ( −
E
4
cos θ ·
i
^
+
E
4
sin θ ·
j
^
) = − 43803 ·
i
^
− 563337 ·
j
^
N/C
V
Q
= 9 ·
10
9
− 3 ·
10
− 6
0.24
+ 9 ·
10
9
q
0.12
+ 9 ·
10
9
3 ·
10
− 6
0.2
+ 9 ·
10
9
− q
0.12
2
+
0.2
2
= 51161 V
4.- Calcular el campo eléctrico (módulo, dirección y sentido)
en el centro O de un hilo en forma semicircular de radio a , uniformemente cargado con una
carga -Q .
Calcular, también, el potencial en el centro de la semicircunferencia
Solución
En la figura de la izquierda, se muestra el campo eléctrico producido por eun elemento diferencial dq de carga. En la figura de la derecha, el campo total que por simetría tendrá la dirección del eje Y
Tomamos un elemento diferencial de carga dq . Las
componentes del vector campo eléctrico producido por dicha carga en el origen es
d
E
x
=
1
4 π
ε
0
d q
a
2
cos θ d
E
y
=
1
4 π
ε
0
d q
a
2
sin θ
d q =
Q
π a
a · d θ =
Q
π
d θ
Por simetría la componente horizontal Ex de campo se anula
E
x
=
∫
0
π
1
4 π
ε
0
Q
π
a
2
cos θ · d θ = 0
E
y
=
∫
0
π
1
4 π
ε
0
Q
π
a
2
sin θ · d θ =
1
4 π
ε
0
2 Q
π
a
2
E
→
=
1
4 π
ε
0
2 Q
π
a
2
j
^
V =
∫
1
4 π
ε
0
d q
a
=
∫
0
π
1
4 π
ε
0
Q
π a
d θ =
1
4 π
ε
0
Q
a
5.- Una varilla de 25 cm de longitud está cargada con λ =200·10-6 C/m (carga por unidad de longitud). Calcular el campo eléctrico en el punto P a 10 cm del extremo de la varilla, tal como se muestra en la figura
Solución
Consideremos un elemento diferencial dx de la varilla que contiene una carga dq=λ·dx , a una distancia 0.35-x del punto P. El campo producido por esta carga dq tiene la dirección del eje X, y su módulo es
d E =
1
4 π
ε
0
λ d x
(
0.35 − x
)
2
=
18 ·
10
5
(
0.35 − x
)
2
El campo eléctrico total producido por la varilla es
E =
∫
0
0.25
18 ·
10
− 5
(
0.35 − x
)
2
d x =
18 ·
10
5
0.35 − x
|
0
0.25
= 12.86 ·
10
6
N/C
6.- Una varilla de longitud L lleva una carga +Q uniformemente distribuida. Calcular el campo eléctrico en el punto P, distante y del punto medio de la varilla, tal como se ve en la figura
Solución
Consideremos un elemento diferencial dx de varilla distante x del origen, contiene una carga dq =(Q/L )dx , el campo eléctrico producido en P por dicha carga es
d E =
1
4 π
ε
0
d q
r
2
=
1
4 π
ε
0
Q
L
d x
x
2
+
y
2
Por simetría las componentes X se anulan de dos en dos. El campo total tiene la dirección del eje Y y es la suma de las componentes Y
E =
∫
d
E
y
=
∫
− L / 2
L / 2
1
4 π
ε
0
Q
L
d x
x
2
+
y
2
cos θ =
1
4 π
ε
0
Q y
L
∫
− L / 2
L / 2
d x
(
x
2
+
y
2
)
3 / 2
Haciendo el cambio de variable, x=y tanθ , dx=y·dθ /cos2 θ
E =
1
4 π
ε
0
Q
y L
∫
− α
α
cos θ · d θ
=
1
2 π
ε
0
Q
y L
sin α =
1
2 π
ε
0
Q
y L
L / 2
L
2
/ 4 +
y
2
=
1
2 π
ε
0
Q
y
1
L
2
+ 4
y
2