Movimiento de partículas cargadas en un campo eléctrico

1.-Entre dos placas planas y paralelas cargadas con cargas iguales y opuestas existe un campo eléctrico uniforme. Se libera un electrón con una velocidad de v₀=2 ·10⁷ m/s en una dirección formando 5º por debajo del eje equidistante de las placas de un tubo de rayos catódicos, tal como se indica en la figura. La intensidad del campo eléctrico es de 20000 N/C y está dirigido hacia abajo.

¿Cuánto se habrá desviado el electrón en sentido vertical a la salida de las placas del condensador, x=4 cm?. ¿Cuál es su vector velocidad?
¿A qué distancia por encima del eje choca con la pantalla fluorescente, distante 12 cm del condensador?
Datos: carga del electrón q=1.6·10^-19C, masa m=9.1·10^-31 kg

Solución

Ecuaciones del movimiento entre las placas del condensador:

${\begin{cases} a_{x} = 0 \\ a_{y} = \frac{q E}{m} = \frac{1.6 \cdot 10^{- 19} \cdot 2 \cdot 10^{4}}{9.1 \cdot 10^{- 31}} \end{cases} {\begin{cases} v_{x} = 2 \cdot 10^{7} \cdot \cos 5 \\ v_{y} = - 2 \cdot 10^{7} \sin 5 + a_{y} t \end{cases} {\begin{cases} x = 2 \cdot 10^{7} \cdot \cos 5 \cdot t \\ y = - 2 \cdot 10^{7} \sin 5 \cdot t + \frac{1}{2} a_{y} t^{2} \end{cases}$

A la salida de las placas, x=0.04, entonces t=2.0·10^-9 s, se calcula la desviación y₀=0.0036 m

El movimiento fuera de las placas es rectilíneo y uniforme

$\begin{array}{l} t = 2.0 \cdot 10^{- 9} s {\begin{cases} v_{x} = 1 {.992·10}^{7} \\ v_{y} = 0 {.532·10}^{7} \end{cases} \\ {\begin{cases} x = v_{x} t \\ y = y_{0} + v_{y} t \end{cases} \end{array}$

Para x=0.12 se obtiene y=0.0356 m
O bien, geométricamente.

$d = y_{0} + 0.12 \cdot \tan θ = y_{0} + 0.12 \frac{v_{y}}{v_{x}} = 0.0356 m$

2.-Sean dos esferas conductoras de radio r y masa m. La primera se carga con +q y la segunda con -3q. En la situación inicial, los centros de las esferas están separados una distancia L y permanecen en reposo.

Se sueltan y chocan elásticamente. Calcular la velocidad de las esferas inmediatamente antes del choque.

En el momento en el que se ponen en contacto, se transfiere carga de una a la otra esfera hasta que adquieren la misma carga -q, un proceso que se supone instantáneo.

Calcular la velocidad de las esferas cuando están muy alejadas una de la otra después de choque.

Se desprecia los efectos de la polarización de las esferas cargadas

Physics Challenge for Teachers and Students. Opposites repel... eventually. The Physics Teacher. Vol. 59, March 2021, pp. 222
Solution to the March, 2021 Challenge. Phys. Teach. 59, A382 (2021)

Solución

Aplicamos el principio de conservación de la energía

Antes del choque

$\begin{array}{l} \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{(+ q) (- 3 q)}{L} = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{(+ q) (- 3 q)}{2 r} \\ v^{2} = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{3 q^{2}}{m} (\frac{1}{2 r} - \frac{1}{L}) \end{array}$

En el momento del choque elástico, las velocidades de las esferas cambian de sentido

Después del choque

$\begin{array}{l} \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{(- q) (- q)}{2 r} + \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} m v_{f}^{2} + \frac{1}{2} m v_{f}^{2} \\ v_{f} = \sqrt{\frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{q^{2}}{m} (\frac{2}{r} - \frac{3}{L})} \end{array}$

En el infinito, la energía potencial de interacción de las dos cargas es nula

3.- Un protón de masa m y carga e, y una partícula alfa de masa 4m y carga 2e se aproximan una a la otra desde una distancia muy grande. Sus velocidades iniciales son las mismas, v.

Calcular la mínima separación d entre las dos partículas cargadas.

Physics Challenge for Teachers and Students. Close Encounter. The Physics Teacher. Vol. 40, February 2002, pp. 123

Solución

En el Sistema de Referencia del Centro de Masas, la energía cinética de las partículas se convierte en energía potencial eléctrica de las cargas.

La velocidad del centro de masas es

$v_{c m} = \frac{4 m \cdot v - m \cdot v}{4 m + m} = \frac{3}{5} v$

Las velocidades de la partícula alfa y del protón en dicho Sistema de Referencia son

$\begin{array}{l} v_{1} = v - v_{c m} = \frac{2}{5} v \\ v_{2} = - v - v_{c m} = - \frac{8}{5} v \end{array}$

La energía cinética se convierte en energía potencial

$\begin{array}{l} \frac{1}{2} 4 m {(\frac{2}{5} v)}^{2} + \frac{1}{2} m {(- \frac{8}{5} v)}^{2} = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{(2 e) e}{d} \\ \frac{8}{5} m v^{2} = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{2 e^{2}}{d} \\ d = \frac{5 e^{2}}{16 π ε_{0} m v^{2}} \end{array}$

4.-Tres esferas metálicas pequeñas tienen la misma carga q, sus masas son m, 4m y m. Las esferas están unidas por medio de dos cuerdas inextensibles y de masas despreciables de longitud d.

En la situación inicial, las esferas están en reposo alineadas y colocadas sobre un plano horizontal sin rozamiento. Se empuja la bola central de masa 4m proporcionándole una velocidad v en la dirección del eje Y, perpendicular a la línea que une las esferas.

Calcular la mínima distancia D entre las esferas de masa m.

Physics Challenge for Teachers and Students. Know strings attached!. The Physics Teacher. Vol. 55, March 2017, pp. 186

Solución

Cuando la velocidad de las esferas en el Sistema de Referencia del centro de masa es cero, la distancia D es mínima.

La velocidad del centro de masas es

$v_{c m} = \frac{4 m \cdot v}{4 m + m + m} = \frac{2}{3} v$

Las velocidades iniciales de las esferas en el Sistema de Referencia del centro de masa, son

$\begin{array}{l} v_{1} = 0 - \frac{2}{3} v = - \frac{2}{3} v \\ v_{2} = 0 - \frac{2}{3} v = - \frac{2}{3} v \\ v_{3} = v - \frac{2}{3} v = \frac{1}{3} v \end{array}$

su dirección es el eje Y

Las energías inicial y final del sistema formado por las tres cargas en el Sistema de Referencia del centro de masa, son

$\begin{array}{l} E_{i} = \frac{1}{2} m {(- \frac{2}{3} v)}^{2} + \frac{1}{2} m {(- \frac{2}{3} v)}^{2} + \frac{1}{2} 4 m {(\frac{1}{3} v)}^{2} + \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{q^{2}}{2 d} + \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{q^{2}}{d} + \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{q^{2}}{d} \\ E_{f} = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{q^{2}}{D} + \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{q^{2}}{d} + \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{q^{2}}{d} \end{array}$

La energía inicial es igual a la final, despejamos D

$\begin{array}{l} \frac{2}{3} m v^{2} = \frac{q^{2}}{4 π ε_{0}} (\frac{1}{D} - \frac{1}{2 d}) \\ \frac{1}{D} = \frac{1}{2 d} + \frac{4 π ε_{0}}{q^{2}} \frac{2}{3} m v^{2} \end{array}$

5.-Una carga q₁ y masa m está suspendida de un hilo de longitud l. Otra carga q₂ del mismo signo se mueve muy despacio desde el infinito hasta el lugar que ocupaba la primera carga. Como consecuencia la primera carga se se desplaza un ángulo θ, elevándose una altura h.

Calcular el trabajo W necesario para mover la carga q₂

Physics Challenge for Teachers and Students. Defying gravity. The Physics Teacher. Vol. 52, March 2014, pp. 186

Solución

El trabajo W es la suma del incremento en la energía potencial mgh y la energía potencial electrostática almacenada por el sistema de dos cargas

$W = m g h + \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{q_{1} q_{2}}{d}$

Donde d es la distancia entre las dos cargas, h=dsin(θ/2)

Estudiamos el equilibrio de la carga q₁.

${\begin{cases} \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{q_{1} q_{2}}{d^{2}} \sin (\frac{θ}{2}) + T \cos θ = m g \\ \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{q_{1} q_{2}}{d^{2}} \cos (\frac{θ}{2}) = T \sin θ \end{cases}$

Eliminando la tensión del hilo T

$\begin{array}{l} \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{q_{1} q_{2}}{d^{2}} (\sin (\frac{θ}{2}) + \cos (\frac{θ}{2}) \frac{\cos θ}{\sin θ}) = m g \\ \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{q_{1} q_{2}}{d^{2}} = 2 m g \sin (\frac{θ}{2}) \\ \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{q_{1} q_{2}}{d^{2}} = 2 m g \frac{h}{d} \\ \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{q_{1} q_{2}}{d} = 2 m g h \end{array}$

El trabajo es W=3mgh