Difusión. Ley de Fick

La experiencia nos demuestra que cuando abrimos un frasco de perfume o de cualquier otro líquido volátil, percibimos su olor rápidamente en un recinto cerrado. Decimos que las moléculas del líquido después de evaporarse se difunden por el aire, distribuyéndose en todo el espacio circundante. Lo mismo ocurre si colocamos un terrón de azúcar en un vaso de agua, las moléculas de sacarosa se difunden por todo el agua. Estos y otros ejemplos nos muestran que para que tenga lugar el fenómeno de la difusión, la distribución espacial de moléculas no debe ser homogénea, debe existir una diferencia, o gradiente de concentración entre dos puntos del medio.

Supongamos que su concentración varía con la posición al lo largo del eje X. Llamemos J a la densidad de corriente de partículas, es decir, al número efectivo de partículas que atraviesan en la unidad de tiempo un área unitaria perpendicular a la dirección en la que tiene lugar la difusión. La ley de Fick afirma que la densidad de corriente de partículas es proporcional al gradiente de concentración

J=D n x

La constante de proporcionalidad se denomina coeficiente de difusión D y es característico tanto del soluto como del medio en el que se disuelve.

La acumulación de partículas en la unidad de tiempo que se produce en el elemento de volumen S·dx es igual a la diferencia entre el flujo entrante JS, menos el flujo saliente J’S, es decir

JSJ'S= J x Sdx

La acumulación de partículas en la unidad de tiempo es

(Sdx) n t

Igualando ambas expresiones y utilizando la Ley de Fick se obtiene

x ( D n x )= n t

Ecuación diferencial en derivadas parciales que describe el fenómeno de la difusión. Si el coeficiente de difusión D no depende de la concentración

1 D n t = 2 n x 2

Difusión unidimensional

Vamos a considerar el problema de la difusión unidimensional de una masa M de soluto, situada en el origen de un medio unidimesional representado por el eje X.

La solución de la ecuación diferencial nos da la concentración en los puntos x del medio en cada instante de tiempo t.

n(x,t)= M 2 πDt exp( x 2 4Dt )

La cual se puede comprobarse por simple sustitución en la ecuación diferencial

El área bajo la curva acampanada es la misma para todos las gráficas.

n(x,t)dx =2 0 M 2 πDt exp( x 2 4Dt ) dx=M

Para ello, se emplea el resultado de la integral

0 exp(α x 2 )dx = 1 2 π α

>> syms x a positive;
>> int('exp(-a*x^2)',x,0,inf)
ans =pi^(1/2)/(2*a^(1/2))

Desplazamiento medio cuadrático

< x 2 >= 1 M x 2 n(x,t)dx= 1 πDt 0 x 2 exp( x 2 4Dt ) dx

Integramos por partes

0 x 2 exp(α x 2 )dx = 1 2α ( xexp(α x 2 ) | 0 + 0 exp(α x 2 )dx )= 1 4α π α < x 2 >= 1 πDt 0 x 2 exp( x 2 4Dt ) dx=2Dt

>> syms x a positive;
>> int('x^2*exp(-a*x^2)',x,0,inf)
ans =pi^(1/2)/(4*a^(3/2))

Debajo de cada curva, se traza un segmento cuya longitud es igual al doble de la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de los desplazamientos de las partículas y mide la extensión efectiva de las partículas en el medio.

< x 2 > = 2Dt

Vamos a estudiar dos tipos de difusión

  1. Gas en aire, se supondrán gases ideales. En esta aproximación, el coeficiente de difusión se mantiene constante y no varía con la concentración. El exponente del coeficiente de difusión es -4

  2. De un soluto sólido en un disolvente, el coeficiente de difusión es sensible a la concentración, aunque supondremos disoluciones diluidas. Para bajas concentraciones, el coeficiente de difusión se mantiene aproximadamente constante. El exponente del coeficiente de difusión es -9

En los dos ejemplos de difusión, de un gas en aire, o de un soluto en agua (líquido), se pone de manifiesto la relación entre el orden de magnitud del coeficiente de difusión y la escala de longitud o de tiempo en el que transcurren ambos fenómenos.

Gases y vapores en aire
Hidrógeno 0.64 10-4
Oxígeno 0.18 10-4
Alcohol 0.10 10-4
Benceno 0.08 10-4
D=0.64e-4; %hidrógeno en aire
hold on
for t=10:30:100 %segundos
    f=@(x) exp(-x^2/(4*D*t))/sqrt(4*D*t);
    [x,y]=fplot(f,[-0.5,0.5]);
    plot(x,y, 'displayName',num2str(t));
end
hold off
grid on
legend('-DynamicLegend','location','northeast')
xlabel('x')
ylabel('n(x,t)')
title('Difusión unidimensional')

Soluciones acuosas
Azúcar 0.36 10-9
Sal común 1.10 10-9
Alcohol 0.80 10-9
D=1.10e-9; %Sal común en agua
hold on
for t=(10:30:100)*24*3600 %días*segundos cada día
    f=@(x) exp(-x^2/(4*D*t))/sqrt(4*D*t);
    [x,y]=fplot(f,[-0.5,0.5]);
    plot(x,y, 'displayName',num2str(t/(24*3600)));
end
hold off
grid on
legend('-DynamicLegend','location','northeast')
xlabel('x')
ylabel('n(x,t)')
title('Difusión unidimensional')

Difusión de la sal en el agua

El siguiente ejemplo, explica las características esenciales de la mezcla en un estuario, del agua salada procedente del mar con el agua de un río.  El agua del río menos densa fluye sobre el agua de mar. Hay por tanto, una discontinuidad en la densidad con la profundidad, debido a las diferencias de salinidad.

Consideremos la siguiente distribución unidimensional de la concentración

c=c0 para x<0
c=0
, para x>0

en el instante t=0.

La solución de la ecuación de la difusión es

c(x,t)= c 0 2 ( 1erf( x 2 Dt ) )

La función error se define

erf(x)= 2 π 0 x exp( z 2 )dz

D=1.484·10-9 m2/s es el coeficiente de difusión de la sal en agua pura

Se representa la concentración c(x, t)/ c0 de cada punto x del medio unidimensional en varios instantes.

D=1.484e-9; %Sal común en agua
hold on
for t=(10:30:100)*24*3600 %días*segundos cada día
    f=@(x) (1-erf(x/(2*sqrt(D*t))))/2;
    [x,y]=fplot(f,[-0.5,0.5]);
    plot(x,y, 'displayName',num2str(t/(24*3600)));
end
hold off
grid on
legend('-DynamicLegend','location','northeast')
xlabel('x')
ylabel('n(x,t)')
title('Difusión de sal en agua')

La evaporación como proceso de difusión

Encima de la superficie de un líquido a la temperatura T se crea una capa de vapor saturado en x=0, cuya concentración es cs. Si encima de la superficie del líquido tenemos aire cuya concentración de vapor es c0<cs el vapor se difunde desde la capa límite hacia el aire. De este modo, el proceso de evaporación puede entenderse como un proceso de difusión. La solución de la ecuación de difusión es

c(x,t) c 0 c s c 0 =1erf( x 2 Dt )

La extensión de la capa de vapor se va incrementando en proporción a la raiz cuadrada del tiempo t.

y=@(x) 1-erf(x);
fplot(y,[0,2.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
title('1-erf(x)')
grid on

Difusión de una gota de tinta

Una gota de tinta de radio a se pone en un recipiente de agua de radio R, siendo a<<R. La profundidad del agua es pequeña, del orden de 1 cm, de modo que la gota de tinta alcanza el fondo del recipiente rápidamente y el movimiento de la tinta está determinado por el proceso de difusión únicamente.

El proceso de difusión bidimensional de la tinta en el agua se describe mediante la siguiente ecuación.

2 n r 2 + 1 r n r = 1 D n t

donde D es el coeficiente de difusión de la tinta en agua y n es la concentración de tinta.

En el instante inicial t=0, la tinta está distribuida homogéneamente en el agua dentro de un círculo de radio a.

n=n0 para r≤a
n
=0 para r>a

La solución de la ecuación diferencial es (véase el tercer artículo citado en las referencias)

n(r,t)= n 0 2Dt exp( r 2 4Dt ) 0 a exp ( z 2 4Dt ) ·I 0 ( r·z 2Dt )·z·dz

donde I0(x) es la función modificada de Bessel de orden cero. Haciendo el cambio de variable

x= r a ζ= z a τ= Dt a 2

Obtenemos la ecuación

n(x,τ) n 0 = 1 2τ exp( x 2 4τ ) 0 1 exp ( ζ 2 4τ )· I 0 ( x·ζ 2τ )·ζ·dζ

que es independiente del radio a de la gota y del coeficiente de difusión D de la tinta en el agua.

En la figura, se representa la concentración relativa n(x, τ)/n0 en función de x=r/a (en color azul) y se compara con la situación inicial (color rojo) para el instante τ=0.02.

Conocido el valor del coeficiente de difusión D y el radio inicial de la gota a, determinamos la concentración n(r, t) de tinta a una distancia r=x·a del centro de la gota en el instante t=a2·τ/D

El programa es incapaz de calcular la concentración en función de la distancia x para un tiempo inferior a τ =0.003.

Como comprobación se puede verificar que

la cantidad total de tinta permanece constante, de modo que la integral

0 n(x,τ) n 0 2π·x·dx =π· 1 2 ·1=π

es proporcional a la cantidad inicial de tinta contenida en un círculo de radio unidad.

t=0.2;
x=0:0.02:4;
y=zeros(1,length(x));
for i=1:length(x)
    f=@(z) exp(-z.^2/(4*t)).*besseli(0, x(i)*z/(2*t)).*z;
    y(i)=integral(f,0,1)*exp(-x(i)^2/(4*t))/(2*t);
end
plot(x,y);
grid on
xlabel('r/a')
ylabel('n/n_0')
title('Difusión de una gota de tinta')

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

A la derecha, se representa la concentración relativa n(x, τ)/n0 en función de x=r/a (en color azul) y se compara con la situación inicial (color rojo). A la izquierda, se representa la concentración relativa en función de x codificada en una escala de grises.

Referencias

Puig Adam P., Curso teórico-práctico de ecuaciones diferencias aplicado a la Física y Técnica. Biblioteca Matemática (1970), págs. 305

Puig Adam P.,  Curso teórico-práctico de cálculo integral aplicado a la Física y Técnica. Biblioteca Matemática (1972), págs. 124-125

Booth C., Beer T., Penrose J. Diffusion of salt in tap water. Am. J. Phys. 46 (5) May 1978. pp. 525-527.

Sanboh Lee, H-Y Lee, I-F Lee, C-Y Teeng. Ink diffusion in water. Eur. J. Phys. 25. (2004) pp. 331-336.