La ecuación de la conducción del calor

En una varilla metálica, el calor fluye desde las regiones donde la temperatura es más alta hacia las regiones en la que es más baja. La ley de Fourier establece que el flujo de calor J (energía por unidad de área y unidad de tiempo es proporcional al gradiente de temperatura.

J=K T x

donde K se denomina conductividad térmica del material

Sea una varilla de longitud L y área de la sección transversal S, con una distribución de temperatura no uniforme a lo largo del eje X, desde x=0 hasta x=L. La varilla está hecha de un material de densidad ρ, calor específico c y conductividad térmica K. Supongamos que las caras laterales de la varilla está aisladas y que no hay ninguna fuente de calor interna en la varilla.

Vamos a considerar un trozo de varilla de longitud Δx, entre x y x+Δx. En un intervalo de tiempo Δt, entra calor por su sección izquierda JSΔt y sale calor por su sección derecha J'SΔt. La diferencia se emplea en elevar la temperatura de dicho elemento de volumen que es el producto de la masa por el calor específico y por la diferencia de temperatura (final menos inicial), (T(x,t+Δt)-T(x, t))

cρ(SΔx)T(x,t+Δt)cρ(SΔx)T(x,t)=SΔt ( K T x ) x SΔt ( K T x ) x+Δx T(x,t+Δt)T(x,t) Δt = K cρ ( ( K T x ) x+Δx ( K T x ) x Δx )

En el límite cuando Δt→0 y Δx→0 obtenemos la ecuación que describe la conducción térmica.

T(x,t) t =α 2 T(x,t) x 2

En general, la ecuación de la conducción del calor para un medio homogéneo, en el que la densidad ρ, calor específico c y conductividad térmica K es constante, se escribe

1 α T t = 2 T

En coordendas rectangulares T(x,y,z,t)

1 α T t = 2 T x 2 + 2 T y 2 + 2 T z 2

En coordendas cilíndricas T(r,φ,z,t)

1 α T t = 1 r r ( r T r )+ 1 r 2 2 T φ 2 + 2 T z 2

En coordendas esféricas, T(r,φ,θ,t)

1 α T t = 1 r 2 r ( r 2 T r )+ 1 r 2 sinθ r ( sinθ T θ )+ 1 r 2 sin 2 θ 2 T φ 2

Estudiaremos la conducción de calor unidimensional, a lo largo del eje X, o de la dirección radial en cuerpos que tengan simetría cilíndica o esférica.

Rectangulares 1 α T t = 2 T x 2 Cilíndricas 1 α T t = 1 r r ( r T r ) Esféricas 1 α T t = 1 r 2 r ( r 2 T r )

Condición inicial

Para resolver esta ecuación hay que tener en cuenta la distribución inicial de temperaturas en el cuerpo T(x,0)

Condiciones de contorno

Supondremos que las caras laterales de la varilla está aisladas y solamente puede intercambiar calor con el exterior a través de sus extremos. Como ejemplos de condiciones de contorno citaremos los siguientes:

Supongamos una varilla metálica de longitud L, se ha calentado a una temperatura T0, por el extremo x=L radia calor al ambiente cuya temperatura constante es Ts.

La energía emitida por un cuerpo negro a temperatura T por es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura absoluta, T4 (Ley de Stefan). Por otra parte, el extremo de la barra absorbe radiación proveniente del ambiente, proporcional a la cuarta potencia de su temperatura absoluta. La cantidad de calor radiado dQ en el intervalo de tiempo dt, por una superficie de área S que está a la temperatura T es la diferencia

dQ dt =σ( T 4 T s 4 )S

Donde σ=5.67·10-8 (Wm-2K-4) es la constante de Boltzmann

Este calor radiado proviene del interior de la varilla. En el mismo intervalo de tiempo dt, la cantidad de calor que llega a la superficie desde el interior de la varilla es

K T x S·dt

donde K es la conductividad térmica del material. Igualando ambas cantidades

K T x =σ( T 4 T s 4 )=σ( T T s )( T+ T s )( T 2 + T s 2 ) T(x,t) x | x=L h( T T s )h= 4σ T s 3 K

Por ejemplo, para el aluminio la conductividad térmica K=209.3, a la temperatura ambiente Ts=293 K, obtenemos un valor de h=0.0273 m·K-2

Hemos supuesto que la diferencia entre T y Ts es pequeña. Con esta aproximación, las pérdidas de calor son proporcionales a la diferencia de temperaturas (T-Ts) que es la ley del enfriamiento de Newton.

En general, cuando la diferencia de temperaturas entre un cuerpo y su medio ambiente no es demasiado grande, el calor transferido en la unidad de tiempo hacia el cuerpo o desde el cuerpo por conducción, convección y radiación es aproximadamente proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y el medio externo.

T(x,t) x | x=L =h( T(L,t) T s )

Condiciones de contorno

Las condiciones de contorno en los problemas de condución del calor son los siguientes y sus combinaciones (por ejemplo una superficie que pierde calor y a la vez es iluminada por el sol):

El estado estacionario

Se ha alcanzado el estado estacionario, cuando las temperaturas en los puntos de la barra no cambian con el tiempo. La temperatura es únicamente función de la posición x del punto.

Fuente de calor

Sea una varilla de longitud L y área de la sección transversal S, con una distribución inicial de temperatura T(x,0) a lo largo del eje X, desde x=0 hasta x=L. La varilla está hecha de un material de densidad ρ, calor específico c y conductividad térmica K. Supongamos que las caras laterales de la varilla está aisladas y que se ha incorporado una fuente interna de calor Q(x), 0<x<L.

Vamos a considerar un trozo de varilla de longitud Δx, entre x y x+Δx. En un intervalo de tiempo Δt, entra calor por su sección izquierda JSΔt, sale calor por su sección derecha J'SΔt y además se genera calor Q(x) por unidad de volumen y en la unidad de tiempo. La diferencia se emplea en elevar la temperatura de dicho elemento de volumen que es el producto de la masa por el calor específico y por la diferencia de temperatura (final menos inicial), (T(x,t+Δt)-T(x, t))

cρ(SΔx)T(x,t+Δt)cρ(SΔx)T(x,t)=SΔt ( K T x ) x SΔt ( K T x ) x+Δx +Q(x)SΔxΔt T(x,t+Δt)T(x,t) Δt = K cρ ( ( K T x ) x+Δx ( K T x ) x Δx )+ Q(x) cρ

En el límite cuando Δt→0 y Δx→0 obtenemos la ecuación que describe la conducción térmica con una fuente de calor en su interior.

α 2 T x 2 + Q ρc = T t

Ejemplo: una esfera con una fuente de calor en su centro

Consideremos una esfera de radio R, con una fuente de calor en su centro. Supondremos que la esfera está en un ambiente cuya temperatura Ts no cambia

En el estado estacionario la ecuación de la conducción del calor se escribe

1 r 2 d dr ( r 2 dT dr )= Q αρc 1 r 2 d dr ( r 2 dT dr )=q

Integramos dos veces con respecto a r, obteniendo

T(r)=q r 2 6 + A r +B

La constante A tiene que ser cero ya que T(r) para r=0 tiene que mantenerse finito. La constante B se determina a partir de la condición de contorno, T(R)=Ts

T(r)= q 6 ( R 2 r 2 )+ T s