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Movimiento vertical de un cohete (II)

En esta página, estudiamos el movimiento vertical de un cohete en el que el gas es expulsado a velocidad constante u relativa al cohete. La cantidad de combustible que se quema en la unidad de tiempo no es constante sino que varía exponencialmente con el tiempo de la forma m0exp(-t/τ), donde m0 es la masa inicial del cohete, suma de la carga útil y la del combustible inicial mc.

Movimiento vertical

En la página titulada Movimiento vertical de un cohete (I), dedujimos la ecuación de un cohete que se mueve verticalmente.

mg=m dv dt +u dm dt dv dt =g u m dm dt

Si la masa del cohete disminuye exponencialmente con el tiempo, m=m0exp(-t/τ),

dv dt =g+ u τ

El cohete se mueve con aceleración constante a=u/τ-g hasta que se agota el combustible, en el instante te cuando la masa del cohete se hace igual a la masa de la carga útil m0-mc.

m 0 m c = m 0 exp( t e τ ) t e =τln m 0 m 0 m c

La velocidad y altura del cohete en el instante t<te son, respectivamente

v= v 0 +at x= x 0 + v 0 t+ 1 2 a t 2

donde v0 es la velocidad inicial y x0 es la altura inicial de partida. Supondremos que la altura máxima que alcanza el cohete no es demasiado elevada para tener en cuenta la variación de la aceleración de la gravedad g con la altura.

Rozamiento con el aire

La fuerza de rozamiento depende de la velocidad relativa entre el cuerpo y el fluido. Se aplican dos posibles aproximaciones dependiendo del régimen del fluido:

La ecuación del movimiento del cohete para t<te en el primer caso es

mg F r =m dv dt +u dm dt d 2 x d t 2 =g+ u τ λ m dx dt m= m 0 exp(t/τ)

y en el segundo

d 2 x d t 2 =g+ u τ λ m ( dx dt ) 2 m= m 0 exp( t/τ )

Se resuelven, estas ecuaciones diferenciales por procedimientos numéricos con las siguientes condiciones iniciales: en el instante t=0, dx/dt=v0 y x=0.

Cuando se agota el combustible, t>te las ecuaciones del movimiento, son respectivamente.

dv dt =g λ m 0 m c v dv dt =g λ m 0 m c v 2

que tienen solución analítica, pero que resolveremos por procedimientos numéricos con las siguientes condiciones iniciales: en el instante t=te, dx/dt=ve y x=xe, donde ve y xe son la velocidad y alturas del cohete en el momento te en el que se agota el combustible.

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Empieza

En la parte izquierda del applet, un círculo de color blanco muestra la altura del cohete.

A la derecha, se representa la velocidad del cohete en función del tiempo.

Al lado del cohete se representan las fuerzas que actúan sobre el mismo:

Referencias

Rodrigues H., Oliveira Pinho M., Portes Jr D., Santiago A. J.. Modelling the dynamics of bodies self-propelled by exponential mass exhaustation. Eur. J. Phys 29 (2008) 527-537

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