Movimiento vertical de un cohete (II)

En esta página, estudiamos el movimiento vertical de un cohete en el que el gas es expulsado a velocidad constante u relativa al cohete. La cantidad de combustible que se quema en la unidad de tiempo no es constante sino que varía exponencialmente con el tiempo de la forma m₀exp(-t/τ), donde m₀ es la masa inicial del cohete, suma de la carga útil y la del combustible inicial m_c.

Movimiento vertical

En la página titulada Movimiento vertical de un cohete (I), dedujimos la ecuación de un cohete que se mueve verticalmente.

$\begin{array}{l} - m g = m \frac{d v}{d t} + u \frac{d m}{d t} \\ \frac{d v}{d t} = - g - \frac{u}{m} \frac{d m}{d t} \end{array}$

Si la masa del cohete disminuye exponencialmente con el tiempo, m=m₀exp(-t/τ),

$\frac{d v}{d t} = - g + \frac{u}{τ}$

El cohete se mueve con aceleración constante a=u/τ-g hasta que se agota el combustible, en el instante t_e cuando la masa del cohete se hace igual a la masa de la carga útil m₀-m_c.

$m_{0} - m_{c} = m_{0} \exp (- \frac{t_{e}}{τ}) t_{e} = τ \ln \frac{m_{0}}{m_{0} - m_{c}}$

La velocidad y altura del cohete en el instante t<t_e son, respectivamente

$\begin{array}{l} v = v_{0} + a t \\ x = x_{0} + v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2} \end{array}$

donde v₀ es la velocidad inicial y x₀ es la altura inicial de partida. Supondremos que la altura máxima que alcanza el cohete no es demasiado elevada para tener en cuenta la variación de la aceleración de la gravedad g con la altura.

Rozamiento con el aire

La fuerza de rozamiento depende de la velocidad relativa entre el cuerpo y el fluido. Se aplican dos posibles aproximaciones dependiendo del régimen del fluido:

La fuerza de rozamiento es proporcional a la velocidad para bajos números de Reynolds (Re<1)

F_r=λv

La fuerza de rozamiento es proporcional al cuadrado de la velocidad, para altos números de Reynolds (Re>1000).

F_r=λv²

La ecuación del movimiento del cohete para t<t_e en el primer caso es

$\begin{array}{l} - m g - F_{r} = m \frac{d v}{d t} + u \frac{d m}{d t} \\ \frac{d^{2} x}{d t^{2}} = - g + \frac{u}{τ} - \frac{λ}{m} \frac{d x}{d t} m = m_{0} \exp (t / τ) \end{array}$

y en el segundo

$\frac{d^{2} x}{d t^{2}} = - g + \frac{u}{τ} - \frac{λ}{m} {(\frac{d x}{d t})}^{2} m = m_{0} \exp (t / τ)$

Se resuelven, estas ecuaciones diferenciales por procedimientos numéricos con las siguientes condiciones iniciales: en el instante t=0, dx/dt=v₀ y x=0.

Cuando se agota el combustible, t>t_e las ecuaciones del movimiento, son respectivamente.

$\begin{array}{l} \frac{d v}{d t} = - g - \frac{λ}{m_{0} - m_{c}} v \\ \frac{d v}{d t} = - g - \frac{λ}{m_{0} - m_{c}} v^{2} \end{array}$

que tienen solución analítica, pero que resolveremos por procedimientos numéricos con las siguientes condiciones iniciales: en el instante t=t_e, dx/dt=v_e y x=x_e, donde v_e y x_e son la velocidad y alturas del cohete en el momento t_e en el que se agota el combustible.

Actividades

Se introduce

La velocidad de salida de los gases u relativa al cohete, en el control de edición titulado Velocidad gases.
El tiempo característico τ, de disminución de la masa del cohete en función del tiempo, en el control de edición titulado Constante de tiempo.
La constante λ proporcional a la velocidad o al cuadrado de la velocidad, en el control de edición titulado Rozamiento..
La masa del cohete se ha fijado en m₀=1000 kg
La masa del combustible se ha fijado en m_c=700 kg
Se elige el tipo de fuerza de rozamiento, seleccionado el botón de radio Lineal o Cuadrático.

Se pulsa el botón titulado Empieza

En la parte izquierda del applet, un círculo de color blanco muestra la altura del cohete.

A la derecha, se representa la velocidad del cohete en función del tiempo.

Al lado del cohete se representan las fuerzas que actúan sobre el mismo:

El peso: una flecha blanca hacia abajo
La fuerza de empuje proporcionada por los gases expulsados: una flecha de color rosa hacia arriba
La fuerza de rozamiento: una flecha de color azul claro hacia abajo

Referencias

Rodrigues H., Oliveira Pinho M., Portes Jr D., Santiago A. J.. Modelling the dynamics of bodies self-propelled by exponential mass exhaustation. Eur. J. Phys 29 (2008) 527-537