• Inicio
• Dinámica
• Trabajo y energía

Movimiento a lo largo de la cicloide con rozamiento

Sobre la partícula actúan tres fuerzas:

• El peso mg

• La reacción de la superficie N en el punto de contacto

• La fuerza de rozamiento, f_r  que se opone al movimiento, de sentido contrario a la velocidad v.

Descomponemos el peso, y escribimos las ecuaciones del movimiento en la dirección tangencial y en la dirección normal

ma_t=-mgsinθ-f_r
ma_n=N-mgcosθ

Cuando el cuerpo está deslizando, la fuerza de rozamiento vale

f_r=μN

Teniendo en cuenta las definiciones de aceleración tangencial a_t y aceleración normal a_n,

${\displaystyle a_t=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}s}{d{t}^2}{a}_n=\frac{v^2}{\rho }}$

y eliminando la reacción N de la superficie en el punto de contacto, expresamos las dos ecuaciones del movimiento en una única ecuación diferencial

${\displaystyle \frac{dv}{dt}=-g\sin \theta -\mu g\cos \theta -\mu \frac{v^2}{\rho }}$

La velocidad y la aceleración se expresan en términos del parámetro θ, y sus derivadas respecto del tiempo.

${\displaystyle \begin{array}{l}v=\frac{ds}{dt}=4R\cos \theta \frac{d\theta }{dt}\\ \frac{dv}{dt}=-4R\sin \theta {\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2+4R\cos \theta \frac{d^2\theta }{d{t}^2}\end{array}}$

Se obtiene la ecuación diferencial de segundo orden

${\displaystyle \frac{d^2\theta }{d{t}^2}=-\frac{g}{4R}\left(\mu +\tan \theta \right)+\left(-\mu +\tan \theta \right){\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2}$

que se resuelve por procedimientos numéricos con las condiciones iniciales t=0, θ=θ₀, dθ/dt=0.

Cuando el cuerpo se mueve hacia la izquierda, la fuerza de rozamiento cambia de sentido, en la ecuación diferencial cambiamos +μ por – μ.

Solución analítica

La ecuación del movimiento se puede integrar para obtener una expresión de la velocidad v en función del parámetro θ.

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{dv}{dt}=-g\sin \theta -\mu g\cos \theta -\mu \frac{v^2}{\rho }\\ v\frac{dv}{ds}=-g\sin \theta -\mu g\cos \theta -\mu \frac{v^2}{4R\cos \theta }\\ \frac{1}{8R\cos \theta }\frac{d{v}^2}{d\theta }=-g\sin \theta -\mu g\cos \theta -\mu \frac{v^2}{4R\cos \theta }\end{array}}$

Llamando $x=\frac{v^2}{2Rg}$ , nos queda la ecuación diferencial

${\displaystyle \frac{dx}{d\theta }+2\mu x=-2\left(\sin \text{(2}\theta )+\mu \cos (2\theta )+\mu \right)}$

La solución de la ecuación diferencial completa es la suma de la solución de la ecuación diferencial homogénea y de la solución particular:

x₁=Asin(2θ)+Bcos(2θ)+C

Introduciendo la solución particular en la ecuación diferencial obtenemos los valores de los coeficientes A, B y C

${\displaystyle A=\frac{-2\mu }{{\mu }^2+1}B=\frac{1-{\mu }^2}{{\mu }^2+1}C=-1}$

Buscamos la solución de la ecuación diferencial homogénea

${\displaystyle \frac{dx}{d\theta }+2\mu x=0\frac{dx}{x}=-2\mu ·d\theta {\displaystyle \int \frac{dx}{x}=-{\displaystyle \int 2\mu ·d\theta }}}$

Integrando ambos miembros obtenemos lnx=-2μθ+lnD, donde lnD es la constante de integración

x₂=D·exp(-2μθ)

La solución completa de la ecuación diferencial es x=x₁+x₂

${\displaystyle \frac{v^2}{2Rg}=D\exp (-2\mu \theta )-\frac{2\mu }{1+{\mu }^2}\sin (2\theta )+\frac{1-{\mu }^2}{1+{\mu }^2}\cos (2\theta )-1}$

La constante D se determina a partir de las condiciones iniciales, en el instante t=0, θ=θ₀, v=0

${\displaystyle \frac{v^2}{2Rg}=\left\{\begin{array}{l}\frac{-2\mu }{1+{\mu }^2}\sin (2\theta )+\frac{1-{\mu }^2}{1+{\mu }^2}\text{cos}(2\theta )-1+\\ \exp \left(2\mu ({\theta }_0-\theta )\right)\left(\frac{2\mu }{1+{\mu }^2}\sin (2{\theta }_0)-\frac{1-{\mu }^2}{1+{\mu }^2}\text{cos}(2{\theta }_0)+1\right)\end{array}\right\}}$                          (1)

En la figura, se representa v²/(2Rg) en función de la longitud del arco s,  para varios valores del coeficiente de rozamiento μ=0.0,  μ=0.25, μ=0.5 y μ=0.75. La posición de partida es θ₀=-89º, s₀≈-4.0.

Cuando no hay rozamiento, la posición final cuando la partícula vuelve a pararse es s=4.0. Cuando hay rozamiento la posición final es s<4.0.

Sucesivas posiciones de parada

Cuando no hay rozamiento, una partícula que parte de la posición θ₀<0, alcanza su máxima velocidad cuando pasa por el punto más bajo de la trayectoria y se detiene momentáneamente en la posición -θ₀, inicia el camino de vuelta y se detiene en la posición de partida θ₀, y así, sucesivamente.

Cuando hay rozamiento, la partícula que parte de la posición θ₀, llega hasta la posición θ₁, se cumple que |θ₀|>|θ₁|. Pueden ocurrir dos casos:

• Que la componente del peso sea mayor que la fuerza de rozamiento (supondremos que μ_s= μ_k= μ)

mgsin|θ₁|≥μ·mgcosθ₁,  o bien que, tan|θ₁|≥μ

La partícula inicia su camino de vuelta, llegando a una posición |θ₂|<|θ₁|

• Que tan|θ₁|<μ

La partícula se para definitivamente

Supongamos que que la partícula prosigue el camino de vuelta hasta la posición θ₂. Si se cumple que tan|θ₂|≥μ, se inicia por segunda vez su camino de ida. En caso contrario, se detiene permanentemente.

Supongamos que la partícula parte de la posición θ_0. Para calcular la posición de parada θ₁ se pone v=0 en la ecuación (1) y se calcula la raíz de la ecuación trascendente.

${\displaystyle \left\{\begin{array}{l}\frac{-2\mu }{1+{\mu }^2}\sin (2\theta )+\frac{1-{\mu }^2}{1+{\mu }^2}\text{cos}(2\theta )-1+\\ \exp \left(2\mu ({\theta }_0-\theta )\right)\left(\frac{2\mu }{1+{\mu }^2}\sin (2{\theta }_0)-\frac{1-{\mu }^2}{1+{\mu }^2}\text{cos}(2{\theta }_0)+1\right)\end{array}\right\}=0}$

Si se cumple que tan|θ₁|≥μ la partícula continúa moviéndose hacia la izquierda, en caso contrario, se detiene permanentemente.

Supongamos que la partícula realiza el camino de vuelta, la fuerza de rozamiento cambia de signo (véase la figura más arriba), por lo que en la ecuación anterior cambiamos +μ por – μ. La posición de de parada θ₂, es la raíz de la ecuación trascendente

${\displaystyle \left\{\begin{array}{l}\frac{2\mu }{1+{\mu }^2}\sin (2\theta )+\frac{1-{\mu }^2}{1+{\mu }^2}\text{cos}(2\theta )-1+\\ \exp \left(-2\mu ({\theta }_1-\theta )\right)\left(-\frac{2\mu }{1+{\mu }^2}\sin (2{\theta }_1)-\frac{1-{\mu }^2}{1+{\mu }^2}\text{cos}(2{\theta }_1)+1\right)\end{array}\right\}=0}$

Si se cumple que tan|θ₂|≥μ la partícula continúa moviéndose hacia la derecha, en caso contrario, se detiene permanentemente.

Supongamos que la partícula vuelve a realizar el camino de ida, la fuerza de rozamiento cambia de signo, por lo que en la ecuación anterior cambiamos +μ por – μ. La posición de parada θ₃, es la raíz de la ecuación trascendente

${\displaystyle \left\{\begin{array}{l}\frac{-2\mu }{1+{\mu }^2}\sin (2\theta )+\frac{1-{\mu }^2}{1+{\mu }^2}\text{cos}(2\theta )-1+\\ \exp \left(2\mu ({\theta }_2-\theta )\right)\left(\frac{2\mu }{1+{\mu }^2}\sin (2{\theta }_2)-\frac{1-{\mu }^2}{1+{\mu }^2}\text{cos}(2{\theta }_2)+1\right)\end{array}\right\}=0}$

y así, sucesivamente…

Balance energético

El trabajo de la fuerza de rozamiento es la diferencia entre la energía final y la energía inicial

${\displaystyle \begin{array}{l}{W}_r=E_f-E_i=\left(\frac{1}{2}m{v}^2+mgy\right)-mg{y}_0=\left(\frac{1}{2}m{v}^2+mgR\left(1-\cos (2\theta )\right)\right)-mgR\left(1-\cos (2{\theta }_0)\right)=\\ \frac{1}{2}m{v}^2+mgR\cos (2{\theta }_0)-mgR\cos (2\theta )\end{array}}$

Sustituyendo la larga expresión de v² en esta ecuación se calcula el trabajo de la fuerza de rozamiento cuando la partícula se desplaza desde la posición θ₀ a θ.

El trabajo de la fuerza de rozamiento se puede calcular también de forma directa

${\displaystyle d{W}_r=-\mu N·ds=-\mu \left(mg\cos \theta +m\frac{v^2}{R}\right)·ds=-\mu \left(mg\cos \theta +m\frac{v^2}{R}\right)·4R\cos \theta ·d\theta }$

Sustituyendo la larga expresión de v² en esta ecuación, e integrando respecto del parámetro θ, obtenemos la expresión del trabajo de la fuerza de rozamiento entre las posiciones θ₀ y θ

Actividades

Se introduce

• El coeficiente de la fuerza de rozamiento μ, actuando en la barra de desplazamiento titulada Coef. rozamiento.

• El valor del parámetro θ, o ángulo de la recta tangente a la cicloide, actuando en la barra de desplazamiento titulada Ángulo inicial. El ángulo tiene que ser estrictamente menor de 90º,

• El valor del parámetro R, o radio del círculo que genera la cicloide se ha fijado en R=1 m.

Se pulsa el botón titulado Empieza

• Con rozamiento cero, μ=0

Comprobar que el periodo de una oscilación es

${\displaystyle P=4\pi \sqrt{\frac{R}{g}}=4\pi \sqrt{\frac{1.0}{9.8}}=4.0\text{s}}$

es independiente de la posición inicial de partida

• Con rozamiento μ≠0

Observamos el movimiento de la partícula sobre la superficie cóncava en forma de cicloide, se marcan los puntos de retorno o las posiciones para los cuales la velocidad de la partícula es cero. Cuando en una de estas posiciones se cumple que tan|θ_i|<μ la partícula se para definitivamente. θ_i es el ángulo que forma la recta tangente a la cicloide en el punto de parada.

El programa interactivo, nos describe de forma cualitativa los cambios energéticos que experimenta la partícula. El círculo de mayor radio, representa la energía inicial, que se va perdiendo a causa del trabajo de la fuerza de rozamiento (en color negro). A su vez, la energía de la partícula se transforma de cinética en potencial y viceversa, tal como indican los sectores rojo y azul del círculo de menor radio que representa la energía total de la partícula en cada instante.

En la parte superior del applet, se proporcionan los datos del tiempo t, la posición de la partícula medido por la longitud del arco s a lo largo de la cicloide y la velocidad v de la partícula.

CinemaApplet1 aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Referencias

Villanueva J. Z. Note on the rough cycloidal slide track. Am. J. Phys. 53 (5) May 1985, pp. 490-491

Curso Interactivo de Física en Internet © Ángel Franco García