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El reloj de arena

	El reloj de arena consta de dos recipientes iguales de forma aproximadamente cónica unidos por un cuello cilíndrico por donde fluye la arena desde el recipiente superior al inferior. El reloj se coloca sobre una balanza electrónica de alta sensibilidad, que mide la diferencia entre el peso del reloj cuando está en marcha y cuando está parado.
	A medida que la arena fluye del recipiente superior al inferior, su centro de masas se mueve hacia abajo, su aceleración ac es hacia abajo, por lo que la resultante de las fuerzas sobre el sistema será hacia abajo y por tanto, la balanza medirá una fuerza N que será menor que el peso mg.
	Este razonamiento como vamos a ver es incorrecto, ya que aunque es cierto que el centro de masas se mueve hacia abajo, su aceleración ac es hacia arriba. La balanza medirá una fuerza N que será mayor que el peso mg.

Descripción

En la figura, se muestra un reloj de arena en un instante t. Sea y₂ la posición de la superficie libre de la arena en la porción superior e y₁ la posición en la porción inferior. La posición del cuello cilíndrico que une ambas porciones es a. Sea A(y) el área de la sección trasversal del reloj de arena en la posición y, y ρ la densidad de la arena.

La posición Y_c del centro de masas del sistema está dada por

${\displaystyle M{Y}_c={\displaystyle \underset{0}{\overset{y_1}{\int }}y\rho A(y)·dy}+{\displaystyle \underset{a}{\overset{y_2}{\int }}y\rho A(y)·dy}+C}$

donde M es la masa total del reloj de arena, y C es una constante que tiene en cuenta la arena que está cayendo, la masa del recipiente de vidrio y otros detalles fijos de la construcción del reloj de arena. 

Derivando con respecto del tiempo, obtenemos la velocidad del centro de masas v_c

${\displaystyle M{v}_c=\rho \left(A(y_1)y_1\frac{d{y}_1}{dt}+A(y_2)y_2\frac{d{y}_2}{dt}\right)}$

El flujo f se define como la masa que sale del recipiente superior en la unidad de tiempo, o que entra en el recipiente inferior en la unidad de tiempo.

${\displaystyle f=\frac{dm}{dt}=\rho A(y_1)\frac{d{y}_1}{dt}=-A(y_2)\frac{d{y}_2}{dt}}$

La velocidad del c.m. v_c tiene una expresión muy simple

Mv_c=f(y₁-y₂)

Como y₁<y₂, la velocidad del c.m v_c es negativa (hacia abajo)

Derivando de nuevo, con respecto del tiempo, obtenemos la aceleración del centro de masas

${\displaystyle M{a}_c=f\left(\frac{d{y}_1}{dt}-\frac{d{y}_2}{dt}\right)+(y_1-y_2)\frac{df}{dt}}$

El flujo f de arena es aproximadamente constante, por lo que el segundo término es casi nulo.

Colocamos el reloj de arena sobre una balanza electrónica. Sea ΔF, la diferencia entre el peso N del reloj en marcha y el peso Mg del reloj de arena parado.

${\displaystyle \Delta F=N-Mg=M{a}_c=\frac{f^2}{\rho }\left(\frac{1}{A(y_1)}+\frac{1}{A(y_2)}\right)}$      (1)

ΔF>0, la aceleración del c.m. es siempre positiva, hacia arriba, aunque el centro de masas se mueve hacia abajo. Cuando el reloj está en marcha, la balanza mide una fuerza N mayor que el peso Mg del reloj parado.

En esta deducción, no se considera el estado transitorio, cuando la arena comienza a caer ni cuando termina de fluir la arena, solamente la situación intermedia.

Reloj de arena de forma cilíndrica

Consta de dos cilindros iguales de radio R y longitud L, unidos por un cuello por el que fluye arena a razón constante de f  kg/s.

Posición del centro de masa

Calculamos el centro de masas de la arena contenida en ambos recipientes, despreciando el cuello que los une. Los centros de masas de la arena de cada una de las porciones se señalan en la figura mediante puntos de color rojo.

La masa (o volumen para un cuerpo homogéneo) de la porción inferior es πR2y1 La posición de su centro de masas y1/2 El volumen de la porción superior  πR2(y2-a) La posición de su centro de masas (y2+a)/2

La posición del centro de masas del sistema es 

${\displaystyle y_c=\frac{(\pi R^2{y}_1)y_1/2+(\pi R^2(y_2-a))((y_2+a)/2)}{\pi R^{2}L}=\frac{y_1^2+y_2^2-a^2}{2L}}$

Velocidad del c.m.

Derivando con respecto del tiempo

${\displaystyle v_c=\frac{y_1\frac{d{y}_1}{dt}+y_2\frac{d{y}_2}{dt}}{L}=\frac{f}{\rho \pi R^{2}L}(y_1-y_2)}$

donde se ha definido el flujo f de arena como

${\displaystyle f=\frac{dm}{dt}=\rho \pi R^2\frac{d{y}_1}{dt}=-\rho \pi R^2\frac{d{y}_2}{dt}}$

Aceleración del c.m.

Derivando respecto del tiempo

${\displaystyle a_c=\frac{f}{\rho \pi R^{2}L}\left(\frac{d{y}_1}{dt}-\frac{d{y}_2}{dt}\right)=\frac{f}{\rho \pi R^{2}L}\frac{2f}{\rho \pi R^2}=2{\left(\frac{f}{\rho \pi R^2}\right)}^2\frac{1}{L}}$

La aceleración del centro de masas es constante

A partir de la fórmula (1) podemos obtener también la aceleración del c.m.

${\displaystyle M{a}_c=\frac{f^2}{\rho }\left(\frac{1}{A(y_1)}+\frac{1}{A(y_2)}\right)}$

Como A(y₁)=A(y₂)=πR²

y la masa de la arena es M=ρ πR²L

${\displaystyle (\rho \pi R^{2}L)a_c=\frac{f^2}{\rho }\frac{2}{\pi R^2}{a}_c=2{\left(\frac{f}{\rho \pi R^2}\right)}^2\frac{1}{L}}$

Reloj de arena de forma cónica

Consta de dos conos iguales de radio R y altura H, unidos por sus vértices. Posición del centro de masa En el instante t, la arena está contenida en un cono de radio r y altura (H-h) y un tronco de cono de radio R de base y altura h.

• Centro de masa de un cono macizo o de un tronco de cono

La posición y_c  centro de masa de una figura cónica de revolución alrededor del eje Y se calcula mediante la fórmula

${\displaystyle y_c=\frac{{\displaystyle {\int }_0^{h}y\pi x^{2}dy}}{{\displaystyle {\int }_0^h\pi x^{2}dy}}}$

Para integrar se ha de relacionar x e y

${\displaystyle \frac{x}{(H-y)}=\frac{R}{H}x=\frac{R(H-y)}{H}}$

La integral es inmediata

${\displaystyle y_c=\frac{\frac{\pi R^2}{H^2}\left(H^2\frac{h^2}{2}-2H\frac{h^3}{3}+\frac{h^4}{4}\right)}{\frac{\pi R^2}{H^2}\left(H^{2}h-H{h}^2+\frac{h^3}{3}\right)}}$

El denominador es el volumen del tronco de altura h.

Cuando h=H tenemos el centro de masas de un cono macizo de radio R y altura H

${\displaystyle y_c=\frac{\frac{\pi R^2}{H^2}\left(\frac{H^4}{12}\right)}{\frac{\pi R^2}{H^2}\left(\frac{H^3}{3}\right)}=\frac{\frac{1}{12}\pi R^2{H}^2}{\frac{1}{3}\pi R^{2}H}=\frac{H}{4}}$

El denominador de y_c es el volumen del cono πR²H/3

Calculamos la posición del centro de masas de cada unas de las dos porciones de arena: un tronco de cono y de un cono invertido, respecto del origen situado en el vértice común de ambos conos.

• Cono de altura (H-h) situado en la porción superior del reloj de arena (véase la figura de arriba)

El radio r de la base del cono invertido es

${\displaystyle \frac{r}{(H-h)}=\frac{R}{H}r=\frac{R(H-h)}{H}}$

Su volumen es

${\displaystyle V_1=\frac{1}{3}\pi \frac{R^2}{H^2}{\left(H-h\right)}^3}$

La posición del centro de masas se encuentra a (H-h)/4 de la base o a y₁=3(H-h)/4 del vértice donde está situado el origen.

• La posición del centro de masas del tronco de cono

La hemos calculado anteriormente. Está a y_c de la base del tronco de cono o a –(H-y_c) del origen situado en el vértice. Su posición y₂=-H+y_c es

${\displaystyle y_2=-H+\frac{\left(H^2\frac{h}{2}-2H\frac{h^2}{3}+\frac{h^3}{4}\right)}{\left(H^2-Hh+\frac{h^2}{3}\right)}}$

El volumen del tronco de cono V₂ lo hemos calculado ya

${\displaystyle V_2=\frac{\pi R^2}{H^2}\left(H^{2}h-H{h}^2+\frac{h^3}{3}\right)}$

• El centro de masas del conjunto formado por el cono invertido superior y el tronco de cono inferior es

${\displaystyle Y_c=\frac{y_1{V}_1+y_2{V}_2}{V_1+V_2}}$

V=V₁+V₂ es el volumen total, es decir, del cono de radio R y altura H, V=πR²H/3, como puede comprobarse fácilmente.

${\displaystyle Y_c=\frac{\frac{3}{4}{H}^4-6H^{3}h+9H^2{h}^2-6H{h}^3+\frac{3}{2}{h}^4}{H^3}}$

Velocidad del c.m.

Derivando con respecto del tiempo obtenemos la velocidad del c.m.

${\displaystyle v_c=\frac{d{Y}_c}{dt}=\frac{-6H^3+18H^{2}h-18H{h}^2+6h^3}{H^3}\frac{dh}{dt}=-\frac{6{(H-h)}^3}{H^3}\frac{dh}{dt}}$

 El flujo es

${\displaystyle \begin{array}{l}f=\frac{dm}{dt}=\rho \pi r^2\frac{dh}{dt}=\rho \pi \frac{R^2{(H-h)}^2}{H^2}\frac{dh}{dt}\\ v_c=-\frac{6(H-h)}{\rho \pi R^{2}H}f\end{array}}$

Aceleración del c.m.

Derivando respecto del tiempo obtenemos la aceleración del c.m.

${\displaystyle a_c=\frac{d{v}_c}{dt}=\frac{8}{\rho R^{2}H}f\frac{dh}{dt}=6{\left(\frac{f}{\rho \pi R^2}\right)}^2\frac{H}{{(H-h)}^2}}$

La aceleración del c.m. es positiva y tiende a infinito cuando h→H, es decir, cuando se agota la arena de la parte superior.

Podemos calcular también la aceleración del c.m. mediante la expresión (1) obtenida en el apartado descripción

${\displaystyle M{a}_c=\frac{f^2}{\rho }\left(\frac{1}{A(y_1)}+\frac{1}{A(y_2)}\right)}$

Para un reloj de arena formado por dos conos iguales unidos por sus vértices,

${\displaystyle A(y_1)=A(y_2)=A(H-h)=\frac{\pi R^2{(H-h)}^2}{H^2}}$

por lo que

${\displaystyle M{a}_c=\frac{2f^2}{\rho \pi R^2}\frac{H^2}{{(H-h)}^2}}$

La masa total de arena es

${\displaystyle M=\rho \frac{\pi R^{2}H}{3}}$

La aceleración del c.m. es

${\displaystyle a_c=6{\left(\frac{f}{\rho \pi R^2}\right)}^2\frac{H}{{(H-h)}^2}}$

Altura de la arena en el recipiente cónico inferior.

El flujo f de arena es constante, al cabo de un cierto tiempo t, la arena llena el volumen V=f·t/ρ de un tronco de cono de altura h. Ya hemos calculado la fórmula del volumen de un tronco de cono.

${\displaystyle \frac{f·t}{\rho }=\frac{\pi R^2}{H^2}\left(H^{2}h-H{h}^2+\frac{h^3}{3}\right)}$

Conocido el radio de la base R del cono y su altura H, tenemos que resolver una ecuación cúbica, para hallar la altura h del tronco de cono, en el instante t.

${\displaystyle \frac{h^3}{3}-H{h}^2+H^{2}h-\frac{H^{2}f·t}{\pi R^2\rho }=0}$

Esta ecuación se resuelve por procedimientos numéricos en el programa interactivo

Ejemplo

• Radio de la base del cono, R=0.5 m

• Altura del cono H=0.5 m

• Densidad de la arena ρ=2500 kg/m³

• Flujo de arena f=0.13 kg/s

En un instante dado t la altura h del tronco de cono es de 0.20 m. Calcular el instante t, la posición del c.m. y la diferencia de fuerzas ΔF=Ma_c que señala la balanza.

• Instante t

Calculamos el volumen del tronco de cono de altura h=0.2 m

${\displaystyle \begin{array}{l}V=\frac{\pi R^2}{H^2}\left(H^{2}h-H{h}^2+\frac{h^3}{3}\right)\\ V=\frac{\pi ·{0.5}^2}{{0.5}^2}\left({0.5}^2·0.2-0.5·{0.2}^2+\frac{{0.2}^3}{3}\right)=0.103{\text{m}}^{\text{3}}\end{array}}$

La masa de arena contenida en este volumen es m=ρ·V=2500·0.103=256.6 kg

Como el flujo constante de arena es f=dm/dt=0.13 kg/s,

m=f·t, t=1974 s.

• Posición del c.m.

${\displaystyle \begin{array}{l}{Y}_c=\frac{\frac{3}{4}{H}^4-6H^{3}h+9H^2{h}^2-6H{h}^3+\frac{3}{2}{h}^4}{H^3}\\ Y_c=\frac{\frac{3}{4}{0.5}^4-6·{0.5}^3·0.2+9·{0.5}^2·{0.2}^2-6·0.5·{0.2}^3+\frac{3}{2}{0.2}^4}{{0.5}^3}=-0.278\text{m}=27.8\text{cm}\end{array}}$

• La fuerza que mide la balanza es

${\displaystyle \begin{array}{l}\Delta F=M{a}_c=\frac{2f^2}{\rho \pi R^2}\frac{H^2}{{(H-h)}^2}\\ \Delta F=\frac{2·{0.13}^2}{2500·\pi ·{0.5}^2}\frac{{0.5}^2}{{(0.5-0.2)}^2}=4.78·{10}^{-5}\text{kg}\end{array}}$

Como vemos el efecto es muy pequeño, y para medirlo experimentalmente (véase el artículo citado en las referencias) es preciso emplear una balanza que mida una masa elevada con una gran precisión.

Actividades

Se introduce

• El radio R de la base del cono (en cm), actuando en la barra de desplazamiento titulada Radio cono.

• El flujo f (en kg/s), actuando en la barra de desplazamiento titulada Flujo.

• La altura H del cono se ha fijado en el valor H=0.5 m

• La densidad de la arena se ha fijado en el valor ρ=2500 kg/m³.

Se pulsa el botón titulado Empieza

• Cuando el reloj está parado, su peso es Mg

• Cuando está en marcha, su peso es algo mayor N

La diferencia es ΔF=N-Mg=Ma_c

La balanza mide esta diferencia. Al principio cuando el reloj está parado ΔF=0, pero luego, se incrementa hasta que tiende (teóricamente) a infinito cuando deja de fluir la arena procedente del recipiente cónico superior.

Vemos como el c.m. del sistema, señalado por un punto de color rojo, desciende a medida que cae la arena del recipiente cónico superior.

Referencias

Shen K. Y., Scott B. The hourglass problem. Am. J. Phys. 53 (8) August 1985, pp. 787-788.

Curso Interactivo de Física en Internet © Ángel Franco García