El flujo de arena

Los materiales granulares como la arena están formados por un conglomerado de partículas macroscópicas. Su comportamiento es diferente de los sólidos y de los fluidos.

Descripción

El flujo (masa por unidad de tiempo) de un material granular de densidad ρ a través de una abertura de área A bajo la acción del campo gravitatorio terrestre g, es

$\frac{d m}{d t} = k ρ \sqrt{g} A^{\frac{5}{4}}$

donde k es una constante.

Como se estudiará en el capítulo Fluidos, el flujo de un líquido a través de una abertura depende de la altura del líquido y por tanto, depende del tiempo.

Vamos a diseñar una “experiencia” con el objetivo de:

comprobar que el flujo de arena es constante en el tiempo y no depende de la altura h de la columna de arena.
determinar la dependencia del flujo con el área A del orificio de salida.

Dispondremos de una botella de plástico invertida, en la que podemos cambiar el radio del orificio de salida e incluso la forma del orificio (circular, rectangular, triangular, etc.).

La botella se cuelga de una balanza o de un dispositivo de medición de fuerzas conectado a un sistema de adquisición de datos. De este modo, se mide la masa en función del tiempo.

Representando gráficamente, en el eje vertical la masa m de arena contenida en la botella, y en el eje horizontal el tiempo t obtenemos una línea recta cuya pendiente es -dm/dt. De este modo, comprobamos que el flujo es constante

Para determinar la dependencia del flujo f =dm/dt con el área A del orificio de salida, escribimos

$f = c \cdot A^{\frac{5}{4}} \log f = \log c + \frac{5}{4} \log A$

donde c es una constante. Cambiamos el radio del orificio y repetimos el experimento, midiendo una nueva pendiente -f y así, sucesivamente.

Si representamos logf en el eje vertical y logA en el eje horizontal obtenemos una línea recta cuya pendiente es 5/4 tal como se muestra en la parte derecha de la figura.

Actividades

Se pulsa el botón titulado Inicio

Se arrastra la flecha de color rojo con el puntero del ratón, para establecer la altura inicial de la arena en la botella invertida.
Se introduce el diámetro d del orificio de salida en mm, actuando en la barra de desplazamiento titulada Diámetro.

Se pulsa el botón titulado Empieza

Una balanza electrónica situada en la parte superior del applet mide solamente el peso de arena, se ha descontado el peso de las partes que no cambian (botella, abertura, etc.).

Se observa la salida de la arena a través del orificio, comprobamos que el flujo es constante e independiente de la altura inicial de la arena en el recipiente.

En la parte derecha, observamos la representación gráfica de la masa m de la arena en función del tiempo t. Medimos la pendiente de la recta –f en g/s. Calculamos el área de la abertura circular A=π·d²/4, siendo d el diámetro en mm. Los pares de datos: área A y flujo f se guardan el control área de texto situado a la izquierda del applet.

Pulsamos el botón titulado Inicio, cambiamos el diámetro del orificio y pulsamos el botón Empieza y así, sucesivamente

Cuando tenemos suficientes datos, se pulsa el botón titulado Gráfica, para representar

en el eje horizontal log A (el área en mm²)
en el eje vertical log f (el flujo en g/s)

Si medimos la pendiente de la recta, obtendremos un valor próximo a 5/4=1.25

Para eliminar los datos guardados en el control área de texto, y para realizar una nueva experiencia, se pulsa el botón titulado Borrar.

El lector puede repetir con la calculadora los cálculos que realiza el programa interactivo, pare ello precisa de los siguientes datos adicionales:

densidad de la arena ρ=2.5 g/cm³
a la constante k en la fórmula del flujo, se le ha asignado arbitrariamente, el valor k=0.533
la botella tiene forma cilíndrica, el radio de la base es R=2.5 cm

Ejemplo:

Si la altura de la arena es de h=20 cm, la masa de la arena contenida en la botella es

m=ρ·h·π·R²=2.5·20·π·2.5²=981.7 g

El tiempo que tarda en vaciarse un depósito de altura inicial h=20 cm, cuando la arena sale por un orificio de diámetro d=12 mm=1.2 cm es

$f = 0.533 \cdot \sqrt{980} \cdot 2.5 \cdot {(π \cdot {0.6}^{2})}^{\frac{5}{4}} = 48.6 g/s$

t=m/f=981.7/48.6=20.2 s

Cuando la arena sale por una orificio de d=10 mm de diámetro

$f = 0.533 \cdot \sqrt{980} \cdot 2.5 \cdot {(π \cdot {0.5}^{2})}^{\frac{5}{4}} = 30.8 g/s$

t=m/f=981.7/30.8=31.8 s

Para determinar la dependencia del flujo f con el área A, trazamos la recta

logf=b+a·logA

Para trazar la recta o bien, para calcular la pendiente a y la ordenada b en el origen necesitamos dos puntos:

El primer punto tiene

abscisa x=log(π·6²)=2.053
ordenada y=log 48.6=1.687

El segundo punto,

abscisa x=log(π·5²)=1.895
ordenada y=log 30.8=1.489

Se resuelve el sistema

1.687=b+a·2.053
1.489=b+a·1.695

Despejamos la pendiente a de la recta que vale 1.25

En la práctica real, a partir de una tabla de valores (logA, logf), se aplica el procedimiento de regresión lineal para calcular la pendiente de la recta a que mejor ajusta a los datos experimentales.

Arrastre con el puntero del ratón la flecha de color rojo

Referencias

Flores J., Solovey G., Gil S., Flow of sand and a variable mass Atwood machine. Am. J. Phys. 71 (7) July 2003, pp. 715-720.

Fotografía de la tolva. Laboratorio de Física. E.U. Ingeniería Técnica de Minas y Obras Públicas (Barakaldo)