Varilla que se mueve en un campo magnético uniforme (V)

Hemos ilustrado la ley de Faraday con el clásico ejemplo de una varilla que se mueve sobre dos raíles paralelos con velocidad constante situados en una región en la que hay en un campo magnético uniforme y constante en el tiempo, perpendicular al plano de los raíles. En esta página, vamos a estudiar el movimiento de la varilla cuando el campo magnético es uniforme pero cambia con el tiempo, en particular, cuando aumenta rápidamente y luego, se hace constante.

Descripción

Una varilla de longitud L y masa m se mueve sobre raíles paralelos separados una distancia a, tal como se muestra en la figura.

Cuando la varilla se encuentra en la posición x, el flujo del campo magnético a través de la espira ABCD es

Φ=B·S=Bax

La fem inducida es

$V_{ε} = - \frac{d Φ}{d t} = - a (\frac{d B}{d t} x + B \frac{d x}{d t})$

Supongamos que la resistencia del lado CD del circuito es R y el resto es superconductor. La intensidad de la corriente inducida es

i=V_ε/R

Si el campo B apunta hacia arriba y aumenta, el flujo Φ aumenta y la corriente inducida i, de acuerdo a la ley de Lenz tiene sentido de las agujas del reloj.

Una corriente i que circula por la porción de varilla de longitud a, experimenta una fuerza F en el seno de un campo magnético uniforme B.

F=i·u_t×B·a

donde u_t es un vector unitario que señala la dirección y sentido del movimiento de los portadores de carga (positivos).

Como el campo magnético B es perpendicular a la varilla. El módulo de F es

F=iBa

Es un vector paralelo a los raíles y cuyo sentido es hacia la izquierda, tal como se señala en la figura.

La ecuación del movimiento de la varilla es

$m \frac{d^{2} x}{d t^{2}} = - \frac{B a^{2}}{R} (\frac{d B}{d t} x + B \frac{d x}{d t})$

Conocida la expresión del campo B en función del tiempo t, se resuelve esta ecuación diferencial por procedimientos numéricos con las siguientes condiciones iniciales: en el instante t=0, la varilla se encuentra en la posición x₀ en reposo dx/dt=0

Descripción cualitativa

Supondremos que el campo magnético crece rápidamente en un intervalo pequeño de tiempo y luego, se mantiene constante con valor B₀. El movimiento de la varilla se divide en dos etapas:

En la primera etapa t<Δt, el primer término entre paréntesis predomina sobre el segundo, ya que dB/dt es grande al incrementarse B rápidamente. Supondremos que durante este breve tiempo la varilla no se habrá desplazado apreciablemente de su posición inicial x₀.

$\begin{array}{l} \frac{d^{2} x}{d t^{2}} \approx - \frac{B a^{2}}{m R} (\frac{d B}{d t} x_{0}) \\ \frac{d v}{d t} = - \frac{a^{2}}{m R} x_{0} (\frac{1}{2} \frac{d B^{2}}{d t}) \end{array}$

Integrando ambos miembros, con las condicione iniciales t=0, B=0, y dx/dt=0, y en el instante final B=B₀, y dx/dt=v_f.

$\int_{0}^{v_{f}} d v = - \frac{a^{2}}{2 m R} \int_{0}^{B_{0}} d B^{2} v_{f} = - \frac{a^{2} B_{0}^{2}}{2 m R} x_{0}$

En la segunda etapa t>Δt, el campo B se mantiene constante y dB/dt=0.

$\begin{array}{l} \frac{d^{2} x}{d t^{2}} = - \frac{B_{0} a^{2}}{m R} (B_{0} \frac{d x}{d t}) \\ \frac{d v}{d t} = - \frac{B_{0} a^{2}}{m R} (B_{0} \frac{d x}{d t}) \end{array}$

Las condiciones iniciales son: en el instante t=0, x≈x₀, B=B₀ constante, y dx/dt=v_f

La aceleración es de signo contrario a la velocidad, positiva, la varilla se frena. Integrando

$\int_{v_{f}}^{v} d v = - \frac{B_{0}^{2} a^{2}}{m R} \int_{x_{0}}^{x} d x v - v_{f} = - \frac{B_{0}^{2} a^{2}}{m R} (x - x_{0})$

Cuando la velocidad v se hace cero, la varilla se detiene en la posición

$\frac{B_{0}^{2} a^{2}}{2 m R} x_{0} = - \frac{B_{0}^{2} a^{2}}{m R} (x - x_{0}) x = \frac{x_{0}}{2}$

La posición final es la mitad de la posición inicial

Descripción cuantitativa.

Una función que describe bastante bien un campo magnético que crece rápidamente con el tiempo y luego, se mantiene constante B₀ es

B=B₀(1-exp(t/τ))

Donde τ se denomina constante de tiempo.

En el instante t=5τ, el valor del campo B=0.99B₀ es prácticamente constante

Para describir el movimiento de la varilla tenemos que resolver la ecuación diferencial por procedimientos numéricos

$\frac{d^{2} x}{d t^{2}} = - \frac{B_{0}^{2} a^{2}}{m R} (1 - \exp (- t / τ)) (\frac{\exp (- t / τ)}{τ} x + (1 - \exp (- t / τ)) \frac{d x}{d t})$

con las condiciones iniciales siguientes: en el instante t=0, la varilla se encuentra en la posición x=x₀, en reposo, dx/dt=0.

Los dos programas interactivos de esta página resuelven esta ecuación diferencial por el procedimiento de Runge-Kutta.

Actividades

Se introduce

El valor de la constante de tiempo τ, actuando en la barra de desplazamiento titulada Cte. de tiempo.
La posición inicial, de la varilla se ha fijado en x₀=10
Se ha fijado el valor de la constante de proporcionalidad $\frac{B_{0}^{2} a^{2}}{m R} = 1$
El campo magnético es perpendicular al plano de los raíles y apunta hacia dentro.

Se pulsa el botón titulado Empieza

Podemos observar las dos etapas del movimiento de la varilla:

Como el flujo aumenta y es hacia dentro, la corriente inducida tiene el sentido contrario a las agujas del reloj (positiva). La fuerza acelera la varilla hacia el origen (velocidad negativa), incrementando su velocidad.

La corriente inducida cambia de sentido, la fuerza frena la varilla hasta que se para, después de un tiempo teóricamente infinito.

En la parte inferior del applet, se representa

En color azul, el campo magnético B en función del tiempo t
En color rojo, la intensidad de la corriente inducida.

En la parte derecha del applet, se proporcionan los datos de la velocidad v de la varilla y la intensidad i de la corriente inducida

Cuando la constante de tiempo es pequeña, por ejemplo, τ=0.1, el campo crece rápidamente en un tiempo muy corto y luego, se mantiene prácticamente constante. La varilla se detiene cerca de la posición calculada en el apartado descripción cualitativa: x=x₀/2=10/2=5.

FemApplet aparecerá en un explorador compatible JDK 1.1

En el segundo applet, examinamos el papel del campo magnético B₀ y de la distancia a entre los raíles.

Se introduce

El campo magnético B₀, en el control de edición titulado C. magnético
La distancia a entre los raíles, en el control de edición titulado Distancia raíles
El valor de la constante de tiempo τ, en el control de edición titulado Cte. de tiempo.

Se pulsa el botón titulado Empieza

Se representa mediante flechas

El vector campo magnético, hacia arriba o hacia abajo, según que B₀ sea positivo o negativo, en color azul
El vector iu_t, que señala el sentido de la corriente inducida: i es la intensidad y u_t es un vector unitario, en color rojo
El vector fuerza, en color negro.

Para un valor dado del la constante de tiempo τ

Cambiar el valor de B₀, manteniendo la distancia a constante. Probar con B₀ positivo y negativo.
Mantener B₀ constante y cambiar el valor de a.

Mantener a y B₀ constantes y cambiar el valor de la constante de tiempo τ

FemApplet aparecerá en un explorador compatible JDK 1.1

Referencias

Physics challenge for teachers and students, A faradayan slip April 2006, The Physics Teacher Vol 44, 2006