Varilla que se mueve en un campo magnético uniforme (II)

En una página previa, hemos aplicado la ley de Faraday a un circuito constituido por una varilla que se mueve con velocidad constante sobre raíles paralelos en el seno de un campo magnético uniforme y perpendicular al plano del circuito.

En esta página, vamos a estudiar de nuevo, el movimiento de la varilla de longitud L, y masa m, que se mueve sin fricción sobre dos raíles paralelos. Una batería cuya diferencia de potencial es V₀ , los dos raíles y la varilla deslizante constituyen un circuito cerrado.

En presencia de un campo magnético uniforme B, perpendicular al plano del circuito, la barra se acelera por la fuerza de Lorentz hasta que alcanza una velocidad límite constante.

Supondremos que los raíles son superconductores, para que el problema no sea complicado de resolver. De otro modo, se introduciría un término no lineal (al aumentar la longitud del circuito) en las ecuaciones del movimiento de la varilla.

Descripción

Ecuación del circuito

A medida que se mueve la varilla, aumenta el área, y aumenta el flujo del campo magnético a través del circuito formado por los rieles y la varilla. La fem inducida V_ε de acuerdo a la ley de Faraday vale

$V_{ε} = - \frac{d Φ}{d t}$

El flujo Φ=B·S=-B·a·x

Derivando el flujo Φ respecto del tiempo y cambiando de signo

V_ε= B·a·v

Siendo a la distancia entre los raíles, menor que la longitud L de la varilla, y v la velocidad de la varilla.

De acuerdo a la segunda ley de Kirchhoff, la suma de fems es igual al producto de la intensidad por la resistencia total del circuito.

-V_ε+V₀=iR

La corriente producida por la batería tiene el sentido de las agujas del reloj, mientras que el sentido de la corriente inducida, de acuerdo a la ley de Lenz, es contrario a las agujas del reloj, de ahí que los signos de V_ε y V₀sean contrarios.

Ecuación del movimiento de la varilla

Una corriente i que circula por la porción de varilla de longitud a, experimenta una fuerza F en el seno de un campo magnético uniforme B.

F=i·u_t×B·a

donde u_t es un vector unitario que señala la dirección y sentido del movimiento de los portadores de carga (positivos).

Como el campo magnético B es perpendicular a la varilla. El módulo de F es

F=iBa

Es un vector paralelo a los raíles y cuyo sentido es hacia la derecha, tal como se señala en la figura.

Si despreciamos la fuerza de rozamiento entre la varilla y los raíles, la ecuación del movimiento de la varilla de masa m es.

$m \frac{d v}{d t} = i B a$

o bien,

$\frac{d v}{d t} = \frac{B a}{m R} V_{0} - \frac{B^{2} a^{2}}{m R} v$

Velocidad de la varilla

La ecuación del movimiento se escribe

$\frac{d v}{d t} = \frac{v_{f}}{k} - \frac{v}{k} v_{f} = \frac{V_{0}}{B a} k = \frac{m R}{B^{2} a^{2}}$

Con las siguientes condiciones iniciales, en el instante t=0, v=0.

$k \int_{0}^{v} \frac{d v}{v_{f} - v} = \int_{0}^{t} d t v = v_{f} (1 - \exp (- \frac{t}{k}))$

La velocidad aumenta desde cero, hasta que alcanza un valor límite constante v_f en un tiempo teóricamente infinito.

Un comportamiento similar al de una esfera que se mueve en el seno de un fluido viscoso.

Intensidad de la corriente

Conocida la velocidad v determinamos la intensidad i de la corriente que circula por el circuito.

$i R = V_{0} - V_{ε} i = \frac{V_{0}}{R} \exp (- \frac{t}{k})$

La intensidad disminuye exponencialmente con el tiempo. Se hace cero al cabo de un tiempo teóricamente infinito, en la práctica viene determinado por el valor de la constante de tiempo k.

Posición de la varilla

Integrando con respecto del tiempo la expresión de la velocidad v, obtenemos la posición x de la varilla en función del tiempo t, con las condiciones iniciales siguientes: en el instante t=0, la varilla parte del origen x=0.

$\int_{0}^{x} d x = \int_{0}^{t} v \cdot d t x = v_{f} t - v_{f} k (1 - \exp (- \frac{t}{k}))$

Estudio energético

La energía suministrada por la batería entre el instante inicial t=0 y el instante t es

$E_{0} = \int_{0}^{t} V_{0} i \cdot d t = \frac{m V_{0}^{2}}{B^{2} a^{2}} (1 - \exp (- \frac{t}{k}))$

La energía disipada en la resistencia durante ese mismo tiempo es

$E_{R} = \int_{0}^{t} i^{2} R \cdot d t = \frac{1}{2} \frac{m V_{0}^{2}}{B^{2} a^{2}} (1 - \exp (- \frac{2 t}{k}))$

La energía cinética de la varilla en el instante t es

$E_{k} = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} \frac{m V_{0}^{2}}{B^{2} a^{2}} {(1 - \exp (- \frac{t}{k}))}^{2}$

Como podemos comprobar

E₀=E_R+E_k

Una parte de la energía suministrada por la batería se disipa en la resistencia y la otra parte, se convierte en energía cinética de la varilla. Al cabo de un tiempo teóricamente infinito, la mitad de la energía suministrada por la batería se ha disipado en la resistencia y la otra mitad se ha convertido en energía cinética.

Actividades

Se introduce

El campo magnético B (en gauss) en el control de edición titulado Campo magnético
La distancia entre los raíles a (en cm), en el control de edición titulado Distancia raíles.
El material del que está hecho la varilla que desliza, en el control de selección titulado Material.
La diferencia de potencial V₀ entre los terminales de la batería, se ha fijado en el programa y es de 0.001 V.
La longitud de la varilla L se ha fijado en 50 cm

Se pulsa el botón titulado Empieza

El programa nos proporciona los datos de la densidad y resistividad de los materiales

Material	Densidad ρ (10³ kg/m³)	Resistividad r (10^-6 Ω·m)
Aluminio	2.7	0.028
Cobre	8.93	0.0175
Hierro	7.88	0.098
Plata	10.5	0.016
Volframio	19.34	0.055
Plomo	11.35	0.221

Fuente: Koshkin N. I., Shirkévich M. G.. Manual de Física elemental. Edt Mir (1975), págs. 36, 139.

Ejemplo:

Elegimos como material el Aluminio

Introducimos

el valor del campo magnético B=100 gauss=0.01 T
la distancia entre raíles a=40 cm=0.4
La masa de la varilla es m=ρ·L·S
La resistencia de la porción de varilla comprendida entre los contactos con los rieles es R=r·a/S.

Siendo S la sección de la varilla

La constante de tiempo k vale

$k = \frac{m R}{B^{2} a^{2}} = \frac{ρ r L}{B^{2} a} = \frac{2.7 \cdot 10^{3} \cdot 0.028 \cdot 10^{- 6} \cdot 0.5}{{0.01}^{2} \cdot 0.4} = 0.945 s$

La velocidad final v_f de la varilla es

$v_{f} = \frac{V_{0}}{B a} = \frac{0.001}{0.01 \cdot 0.4} = 0.25 m/s = 25 cm/s$

Como podremos observar, al cabo de unos pocos segundos la varilla alcanza una velocidad constante, la intensidad tiende a cero.

Al lado de la varilla se dibujan los vectores campo magnético B, el vector u_t que señala la dirección y sentido del movimiento de los portadores de carga. El vector fuerza F que ejerce el campo magnético sobre la corriente i que circula por la varilla.

el campo magnético es constante
la intensidad i disminuye con el tiempo, hasta que se hace cero
la fuerza tiende a cero, y la velocidad de la varilla se hace constante e igual a la velocidad límite v_f.

La intensidad viene indicada por el movimiento de puntos de color rojo (portadores de carga positivos) a lo largo del circuito constituido por la batería, los raíles y la varilla.

A la izquierda del applet, un diagrama nos señala en cada instante t:

la energía cinética E_k de la varilla (un sector en color azul),
la energía disipada en la resistencia E_R (un sector en color rojo),
la suma de ambas, que es la energía suministrada por la batería, E_B, el círculo completo.

En la parte superior izquierda del applet, se nos proporciona los datos relativos:

El instante t en s.
la posición x de la varilla en cm
la velocidad v de la varilla en cm/s

FemApplet aparecerá en un explorador compatible JDK 1.1

Referencias

White III, J. Solution of a Faraday’s law problem including a nonlinear term. Am. J. Phys. 41 May 1973, pp. 644-647.