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Varilla que se mueve en un campo magnético uniforme (II)

En una página previa, hemos aplicado la ley de Faraday a un circuito constituido por una varilla que se mueve con velocidad constante sobre raíles paralelos en el seno de un campo magnético uniforme y perpendicular al plano del circuito.

En esta página, vamos a estudiar de nuevo, el movimiento de la varilla de longitud L, y masa m, que se mueve sin fricción sobre dos raíles paralelos. Una batería cuya diferencia de potencial es V0 , los dos raíles y la varilla deslizante constituyen un circuito cerrado.

En presencia de un campo magnético uniforme B, perpendicular al plano del circuito, la barra se acelera por la fuerza de Lorentz hasta que alcanza una velocidad límite constante.

Supondremos que los raíles son superconductores, para que el problema no sea complicado de resolver. De otro modo, se introduciría un término no lineal (al aumentar la longitud del circuito) en las ecuaciones del movimiento de la varilla.

Descripción

Ecuación del circuito

A medida que se mueve la varilla, aumenta el área, y aumenta el flujo del campo magnético a través del circuito formado por los rieles y la varilla. La fem inducida Vε de acuerdo a la ley de Faraday vale

V ε = dΦ dt

El flujo Φ=B·S=-B·a·x

Derivando el flujo Φ respecto del tiempo y cambiando de signo

Vε= B·a·v

Siendo a la distancia entre los raíles, menor que la longitud L de la varilla, y v la velocidad de la varilla.

De acuerdo a la segunda ley de Kirchhoff, la suma de fems es igual al producto de la intensidad por la resistencia total del circuito.

-Vε+V0=iR

La corriente producida por la batería tiene el sentido de las agujas del reloj, mientras que el sentido de la corriente inducida, de acuerdo a la ley de Lenz, es contrario a las agujas del reloj, de ahí que los signos de Vε y V0 sean contrarios.

 

Ecuación del movimiento de la varilla

Una corriente i que circula por la porción de varilla de longitud a, experimenta una fuerza F en el seno de un campo magnético uniforme B.

F=i·ut×B·a

donde ut es un vector unitario que señala la dirección y sentido del movimiento de los portadores de carga (positivos).

Como el campo magnético B es perpendicular a la varilla. El módulo de F es

F=iBa

Es un vector paralelo a los raíles y cuyo sentido es hacia la derecha, tal como se señala en la figura.

Si despreciamos la fuerza de rozamiento entre la varilla y los raíles, la ecuación del movimiento de la varilla de masa m es.

m dv dt =iBa

o bien,

dv dt = Ba mR V 0 B 2 a 2 mR v

La ecuación del movimiento se escribe

dv dt = v f k v k v f = V 0 Ba k= mR B 2 a 2

Con las siguientes condiciones iniciales, en el instante t=0, v=0.

k 0 v dv v f v = 0 t dt v= v f ( 1exp( t k ) )

La velocidad aumenta desde cero, hasta que alcanza un valor límite constante vf en un tiempo teóricamente infinito.

Un comportamiento similar al de una esfera que se mueve en el seno de un fluido viscoso.

Conocida la velocidad v determinamos la intensidad i de la corriente que circula por el circuito.

iR= V 0 V ε i= V 0 R exp( t k )

La intensidad disminuye exponencialmente con el tiempo. Se hace cero al cabo de un tiempo teóricamente infinito, en la práctica viene determinado por el valor de la constante de tiempo k.

Integrando con respecto del tiempo la expresión de la velocidad v, obtenemos la posición x de la varilla en función del tiempo t, con las condiciones iniciales siguientes: en el instante t=0, la varilla parte del origen x=0.

0 x dx = 0 t v·dt x= v f t v f k( 1exp( t k ) )

Estudio energético

E 0 = 0 t V 0 i·dt = m V 0 2 B 2 a 2 ( 1exp( t k ) )

E R = 0 t i 2 R·dt = 1 2 m V 0 2 B 2 a 2 ( 1exp( 2t k ) )

E k = 1 2 m v 2 = 1 2 m V 0 2 B 2 a 2 ( 1exp( t k ) ) 2

Como podemos comprobar

E0=ER+Ek

Una parte de la energía suministrada por la batería se disipa en la resistencia y la otra parte, se convierte en energía cinética de la varilla. Al cabo de un tiempo teóricamente infinito, la mitad de la energía suministrada por la batería se ha disipado en la resistencia y la otra mitad se ha convertido en energía cinética.

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Empieza

El programa nos proporciona los datos de la densidad y resistividad de los materiales

Material Densidad ρ (103 kg/m3) Resistividad r (10-6 Ω·m)
Aluminio 2.7 0.028
Cobre 8.93 0.0175
Hierro 7.88 0.098
Plata 10.5 0.016
Volframio 19.34 0.055
Plomo 11.35 0.221

Fuente: Koshkin N. I., Shirkévich M. G.. Manual de Física elemental. Edt Mir (1975), págs. 36, 139.

Ejemplo:

Elegimos como material el Aluminio

Introducimos

Siendo S la sección de la varilla

La constante de tiempo k vale

k= mR B 2 a 2 = ρrL B 2 a = 2.7· 10 3 ·0.028· 10 6 ·0.5 0.01 2 ·0.4 =0.945s

La velocidad final vf de la varilla es

v f = V 0 Ba = 0.001 0.01·0.4 =0.25m/s=25cm/s

Como podremos observar, al cabo de unos pocos segundos la varilla alcanza una velocidad constante, la intensidad tiende a cero.

Al lado de la varilla se dibujan los vectores campo magnético B, el vector ut que señala la dirección y sentido del movimiento de los portadores de carga. El vector fuerza F que ejerce el campo magnético sobre la corriente i que circula por la varilla.

La intensidad viene indicada por el movimiento de puntos de color rojo (portadores de carga positivos) a lo largo del circuito constituido por la batería, los raíles y la varilla.

A la izquierda del applet, un diagrama nos señala en cada instante t:

En la parte superior izquierda del applet, se nos proporciona los datos relativos:

FemApplet aparecerá en un explorador compatible JDK 1.1

Referencias

White III, J. Solution of a Faraday’s law problem including a nonlinear term. Am. J. Phys. 41 May 1973, pp. 644-647.

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