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El anillo de Thomson (I)

Se conecta un solenoide provisto de un núcleo de hierro, a una fuente de corriente alterna de frecuencia f=50 Hz y se observa que el anillo de radio a flota en el aire a una altura z de equilibrio, aquella en la que se anula el peso del anillo con la fuerza media que ejerce el campo magnético del solenoide sobre la corriente inducida en el anillo.

En esta página, no se va a estudiar la dinámica del anillo, cómo asciende impulsado por la fuerza magnética, incluso a alturas considerables si el anillo se enfría previamente en nitrógeno líquido. Calcularemos la fuerza que ejerce el campo magnético sobre el anillo cuando está quieto a una altura determinada sobre el solenoide.

Esta fuerza se puede medir con un dinamómetro, o si le damos la vuelta al dispositivo y apoyamos el anillo sobre una balanza electrónica, que medirá la suma de su peso más la fuerza que ejerce el campo magnético, véase los artículos citados en las referencias.

 

Ley de Faraday

La corriente alterna que circula por el solenoide produce un campo magnético que varía con el tiempo. El flujo Φ de dicho campo a través del anillo es

Φ =M·I_s

donde M es el coeficiente de inducción mutua del sistema formado por el solenoide y el anillo, I_s es de la intensidad de la corriente en el solenoide que varía con el tiempo de la forma.

I_s=I_0s·sin(ω t)

Donde I_0s es la amplitud y ω frecuencia angular ω =2π f . En Europa f=50 Hz y en Estado Unidos f =60 Hz.

Fijado el solenoide, el coeficiente de inducción mutua M, es una función del radio del anillo a y de su posición z sobre el solenoide.

Aplicando la ley de Faraday, se obtiene la fem inducida V_a en el anillo como resultado del cambio del flujo que lo atraviesa con el tiempo. Aplicando la ley de Lenz, se determina el sentido de la corriente inducida.

${\displaystyle V_a=-\frac{d\Phi }{dt}=-M·I_{0s}\omega \cos (\omega t)}$

La corriente inducida I_a en el anillo de resistencia R es

${\displaystyle I_a=\frac{V_a}{R}=-\frac{M}{R}{I}_{0s}\omega \cos (\omega t)}$

Fuerza sobre el anillo

Como podemos observar en el applet que dibuja las líneas del campo magnético producido por un solenoide. El campo magnético es paralelo al eje en el interior del solenoide, pero fuera del solenoide las líneas de campo divergen tal como se observa en la figura

El campo magnético del solenoide tiene simetría cilíndrica, y en la posición z que ocupa el anillo de radio a, el campo tiene dos componentes una a lo largo del eje Z, B_z y otra a lo largo de la dirección radial B_r.

La fuerza magnética sobre el anillo es

${\displaystyle F=I_a{\displaystyle \oint u_t\times B·dl}}$

En la figura vemos que la fuerza sobre un elemento de corriente dl tiene dos componentes

1. Una a lo largo del eje Z, dF_z=-I_a·B_r·dl¸ (la corriente es positiva cuando circula en el sentido contrario a las agujas del reloj, el opuesto al que se muestra en la figura)
2. Otra a lo largo de la dirección radial, dF_r=-I_a·B_z·dl.

Las componentes radiales de la fuerza se anulan de dos en dos mientras que las componentes a lo largo del eje Z se suman. La fuerza resultante que ejerce el campo magnético B producido por el solenoide sobre la corriente inducida I_a en el anillo tiene la dirección del eje Z y su módulo vale

F_z=-2π a·I_a·B_r.

Como B_r es proporcional a la corriente en el solenoide I_s es decir a sin(ω t), y la corriente inducida en el anillo I_a es proporcional –cos(ω t). La fuerza sobre el anillo es proporcional a sin(ω t)·cos(ω t), o bien, F_z=c·sin(2ω t), donde c es una constante de proporcionalidad.

El valor medio en el tiempo <F_z> de la fuerza sobre la anillo, será por tanto, cero.

${\displaystyle <F_z>=c<\sin (2\omega t)>=c\frac{1}{\pi /\omega }{\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi /\omega }{\int }}\sin (2\omega t)dt=0}}$

Durante medio periodo, P=π /ω,la fuerza es atractiva y durante el otro medio periodo la fuerza es repulsiva. La fuerza neta sobre el anillo es su propio peso, por lo que no es posible que el anillo se eleve, aunque la experiencia nos indique que si lo hace.

Por tanto, la aplicación directa de la ley de Faraday es la condición necesaria pero no suficiente para explicar el fenómeno de la levitación magnética del anillo.

El anillo como circuito R-L conectado a una fem alterna

Para que la fuerza repulsiva sea mayor que la fuerza atractiva tiene que existir un desfase entre la corriente inducida en el anillo y la fem en el mismo.

Supongamos que el anillo es un circuito R-L en serie conectado a una fem alterna de la forma V_a = -V_0a cos(ω t).

• La diferencia de potencial en los extremos de la autoinducción L está adelantada 90º respecto de la intensidad que circula por ella. La relación de amplitudes es V_L=I₀·ω L.
• La diferencia de potencial entre los extremos de la resistencia R está en fase con la intensidad. La relación de amplitudes es V_R=I₀·R.

Como vemos en la figura la fem V_a , está adelantada un ángulo ø  respecto de la intensidad I_a.

${\displaystyle \tan \phi =\frac{V_L}{V_R}=\frac{\omega L}{R}}$

Las expresiones de la fem y de la intensidad de la corriente inducida en el anillo en función del tiempo son, respectivamente:

${\displaystyle \begin{array}{l}{V}_a=-V_{0a}\cos (\omega t)V_{0a}=M·I_{0s}\omega \\ I_a=-I_{0a}\cos (\omega t-\phi )I_{0a}=\frac{V_{0a}}{\sqrt{R^2+{\omega }^2{L}^2}}\end{array}}$

Como V_0a=M·I_0s·ω la corriente estacionaria I_a inducida en el anillo es

${\displaystyle \begin{array}{l}{I}_a=-\frac{M·I_{s0}\omega }{\sqrt{R^2+{\omega }^2{L}^2}}\left(\cos (\omega t)\cos \phi +\sin (\omega t)\sin \phi \right)\\ I_a=-\frac{M·I_{s0}\omega }{R^2+{\omega }^2{L}^2}\left(R\cos (\omega t)+\omega L\sin (\omega t)\right)\end{array}}$

La fuerza sobre el anillo se obtiene multiplicando el campo magnético B_r proporcional a sin(ω t), por la corriente en el anillo proporcional a –cos(ω t-ø).

El valor medio de la función f(t)=-sin(ω t)·cos(ω t-ø) es

${\displaystyle <f(t)>=\frac{1}{P}{\displaystyle {\int }_0^{P}f(t)dt}=\frac{1}{\pi /\omega }\left(-\frac{1}{2}\cos \phi {\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi /\omega }{\int }}\sin (2\omega t)dt}-\sin \phi {\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi /\omega }{\int }}{\sin }^2(\omega t)dt}\right)=-\frac{\omega }{2\pi }\sin \phi }$

• El primer término, sin(ω t)·cos(ω t), viene de la parte de la corriente en el anillo que está en fase con la fem y por tanto, desfasada 90º con la corriente en el solenoide. Produce una fuerza que oscila con una frecuencia 2ω y por tanto, su promedio en el tiempo es cero, tal como demostramos en el apartado anterior.
• El segundo término, sin(ω t)·sin(ω t), proviene de la parte inductiva de la corriente que tiene un desfase de 90º respecto de la fem y en fase con la corriente en el solenoide, y es la que produce la fuerza de elevación sobre el anillo.

Así pues, para que la fuerza sobre el anillo tenga un valor medio no nulo, tiene que existir un desfase ø entre la fem en el anillo y la corriente inducida en el mismo, y este desfase se produce si consideramos que el anillo tiene una autoinducción L no nula.

Ejemplo:

En el laboratorio disponemos de un anillo de aluminio de 62 mm de diámetro, 15 mm de longitud y 1 mm de espesor. La resistencia del anillo se calcula mediante la fórmula

${\displaystyle R=\rho \frac{l}{S}}$

Para el anillo de aluminio de las dimensiones señaladas ρ =2.8·10^-8 Ω ·m, S=(1 mm· 15 mm)=15·10^-6 m², y l=π ·62 mm=π ·62·10^-3 m.

R=3.63·10^-4 Ω .

Existe una fórmula que nos permite calcular la autoinducción L de un anillo de forma toroidal de diámetro medio D, y cuya sección es un círculo de diámetro d

${\displaystyle L={\mu }_0\frac{D}{2}\left(\ln \frac{8D}{d}-\frac{7}{4}\right)}$

El área de la sección rectangular del anillo, es equivalente al área de la sección circular de una anillo toroidal de diámetro d tal que

15·1=πd²/4    d=4.37 mm

${\displaystyle L=4\pi ·{10}^{-7}\frac{0.062}{2}\left(\ln \frac{8·0.062}{0.00437}-\frac{7}{4}\right)=1.16·{10}^{-7}\text{H}}$

Para una fem de frecuencia f=50 Hz, ω=2πf=100π rad/s el desfase es

${\displaystyle \text{tan}\phi \text{=}\frac{\text{100}\pi 1.16·{10}^{-7}}{3.63·{10}^{-4}}=0.1\phi =5.7º}$

El valor medio de la fuerza <F_z> sobre el anillo es proporcional a -(sinø)/2=-0.05

Actividades

Se introduce

• El desfase ø de la intensidad y de la fem inducida en el anillo en grados

Se pulsa el botón titulado Dibuja

En el applet se representan tres gráficas

1. En la parte superior, se representa el campo magnético B_r en función del tiempo. B_r es proporcional a la corriente en el solenoide I_s es decir a sin(ω t).

2. En la parte media, se representa la fem V_a , que es proporcional a –cos(ω t), y la corriente I_a en el anillo desfasada φ  respecto de la fem.

3. En la parte inferior del applet, se representa el producto del campo magnético B_r proporcional a sin(ω t), por la corriente en el anillo proporcional a –cos(ω t-ø), y se calcula el valor medio de la fuerza <F_z> que es proporcional a, -(sinø)/2.

SolenoideApplet aparecerá en un explorador compatible JDK 1.1

Curso Interactivo de Física en Internet © Ángel Franco García