Inestabilidad de las gotas de líquido cargadas

Consideremos una gota de líquido que flota en el aire. La tensión superficial mantiene la forma esférica de la gota. Cuando la gota adquiere carga por algún mecanismo, éstas se acumulan en su superficie. Cuando la gota se evapora y se hace más pequeña, la carga que reside en la gota no cambia, las fuerzas repulsivas entre las cargas se incrementan, cuando superan a la tensión superficial se originan perturbaciones en la superficie de la gota que hacen que esta arroje cierta cantidad de carga, sin perder apenas masa, para retornar al estado estable.

Una gota de líquido cargada se mantiene en equilibrio flotando en el aire cuando el peso se iguala a la fuerza que ejerce el campo eléctrico.

Sea m la masa de la gota y q su carga positiva. La intensidad del campo eléctrico E que mantiene la gota en equilibrio es

$\begin{array}{l} q E = m g \\ q E = ρ \frac{4}{3} π r^{3} g \end{array}$

El campo eléctrico es producido por un par de placas planas y paralelas distantes d, cuya diferencia de potencial es V_z donde E=V_z/d

Midiendo el radio r de la gota determinamos su carga q. El radio se mide iluminando la gota con la luz de un láser He-Ne. Véase la sección “Medida del radio de una abertura circular”

La gota se evapora y su radio disminuye. Supondremos que la pérdida de masa de la gota es proporcional a la superficie de la gota

$\begin{array}{l} \frac{d m}{d t} = - k \cdot 4 π r^{2} m = ρ \frac{4}{3} π r^{3} \\ \frac{d r}{d t} = - k r = r_{0} - k \cdot t \end{array}$

El radio r de la gota disminuye linealmente con el tiempo t. r₀ es el radio inicial de la gota.

Se observa la inestabilidad Rayleigh cuando el campo eléctrico E se tiene que incrementar repentinamente para mantener la gota en equilibrio en la posición inicial en el dispositivo.

Inestabilidad Rayleigh

La forma esférica de una gota es la consecuencia de la tensión superficial σ, que se define como la energía por unidad de área. La energía superficial de la gota es

U_s=σ·4πr²

Cuando el radio de la gota cambia de r a r+dr la energía superficial cambia en

dU_s=σ·8πr·dr

Este cambio de energía se puede interpretar como el trabajo realizado por la diferencia de presión Δp_s que existe entre el interior y el exterior de la gota debido a la curvatura de su superficie.

dU_s=(Δp_s4πr²)·dr

Despejando la diferencia de presión Δp_s

$Δ p_{s} = \frac{2 σ}{r}$

que es la ecuación de Young-Laplace

Por otra parte, la gota acumula la carga en su superficie, es similar a un conductor esférico de radio r cargado con una carga q. La capacidad de un condensador esférico es C=4πε₀r. La energía del campo eléctrico producido por el condensador cargado es

$U_{e} = \frac{1}{2} \frac{q^{2}}{C} = \frac{q^{2}}{8 π ε_{0} r}$

Cuando el radio de la gota cambia de r a r+dr sin modificar la carga, la energía electrostática cambia en

$d U_{e} = - \frac{q^{2}}{8 π ε_{0} r^{2}} d r$

De forma similar, podemos interpretar este cambio como el trabajo realizado por la diferencia de presión Δp_edebida a la repulsión entre las cargas.

dU_s=(Δp_e4πr²)·dr

Despejando la diferencia de presión Δp_e

$Δ p_{e} = - \frac{q^{2}}{32 π^{2} ε_{0} r^{4}}$

La inestabilidad Rayleigh ocurre cuando la gota tiene un radio R y una carga q tal que la diferencia de presión que mantiene la forma esférica de la gota Δp_s es igual en magnitud a la diferencia de presión Δp_e debida a la repulsión entre las cargas acumuladas en su superficie.

$\begin{array}{l} Δ p_{s} = - Δ p_{e} \\ \frac{2 σ}{R} = \frac{q^{2}}{32 π^{2} ε_{0} R^{4}} R = \sqrt[3]{\frac{q^{2}}{64 π^{2} ε_{0} σ}} \end{array}$

Para una carga dada q, el parámetro adimensional X=r/R nos dice que:

Si X>1 la tensión superficial domina y estabiliza la gota.
Si X<1 la repulsión entre las cargas domina y desestabiliza la gota.

Ejemplo

Consideramos una gota de alcohol etílico de densidad ρ=790 kg/m³ y tensión superficial σ=22.8·10^-3 N/m a la temperatura de 20ºC. La gota cargada está situada entre dos placas planas paralelas distantes d=5 cm=0.05 m, la diferencia de potencial entre las placas es V_z.

La carga inicial de la gota es q=1.2 pC=1.2·10^-12 C y su radio r₀=25 μm=25·10^-6 m.

La intensidad del campo eléctrico E=V_z/d que mantiene la gota en equilibrio flotando en el aire es

$\begin{array}{l} q \frac{V_{z}}{d} = ρ \frac{4}{3} π r_{0}^{3} g \\ 1.2 \cdot 10^{- 12} \frac{V_{z}}{0.05} = 790 \cdot \frac{4}{3} π \cdot {(25 \cdot 10^{- 6})}^{3} \cdot 9.8 V_{z} = 21.11 V \end{array}$

La gota se evapora y supondremos que su radio disminuye linealmente con el tiempo de acuerdo a la ecuación

r=r₀-0.1·10^-6t

Al disminuir el radio de la gota, disminuye su masa y el campo eléctrico necesario para mantenerla en equilibrio en su posición inicial.

$\begin{array}{l} 1.2 \cdot 10^{- 12} \frac{V_{z}}{0.05} = 790 \cdot \frac{4}{3} π \cdot {(25 \cdot 10^{- 6} - 0.1 \cdot 10^{- 6} t)}^{3} \cdot 9.8 \\ V_{z} = 1.35 \cdot 10^{- 3} {(25 - 0.1 t)}^{3} \end{array}$

La primera inestabilidad se produce cuando el radio de la gota vale

$\begin{array}{l} R = \sqrt[3]{\frac{q^{2}}{64 π^{2} ε_{0} σ}} \\ R = \sqrt[3]{\frac{{(1.2 \cdot 10^{- 12})}^{2} 4 π \cdot 9 \cdot 10^{9}}{64 π^{2} 22.8 \cdot 10^{- 3}}} = 22.4 \cdot 10^{- 6} m = 22.4 μm \end{array}$

en el instante t=25.5 s. La diferencia de potencial entre las placas vale 15.27 V

La gota se vuelve inestable y arroja una parte de la carga sin perder apenas masa. Supongamos que pierde el 40% de la carga. La nueva carga de la gota vale q=0.6·1.2·10^-12=0.72·10^-12 C

La intensidad del campo eléctrico E=V_z/d que mantiene la gota en equilibrio flotando en el aire es

$\begin{array}{l} q \frac{V_{z}}{d} = ρ \frac{4}{3} π R^{3} g \\ 0.72 \cdot 10^{- 12} \frac{V_{z}}{0.05} = 790 \cdot \frac{4}{3} π \cdot {(22.4 \cdot 10^{- 6})}^{3} \cdot 9.8 V_{z} = 25.47 V \end{array}$

La diferencia de potencial entre las placas sube repentinamente de 15.27 V a 25.47 V.

El radio de la gota cargada con q=0.72·10^-12 C continua decreciendo debido a la evaporación, disminuye su masa y el campo eléctrico necesario para mantenerla en equilibrio en su posición inicial, hasta que llega la segunda inestabilidad cuando el radio de la gota es

$R = \sqrt[3]{\frac{{(0.72 \cdot 10^{- 12})}^{2} 4 π \cdot 9 \cdot 10^{9}}{64 π^{2} 22.8 \cdot 10^{- 3}}} = 16.0 \cdot 10^{- 6} m = 16.0 μm$

en el instante t=90.3 s. La diferencia de potencial entre las placas vale 9.17 V.

La gota se vuelve inestable y arroja una parte de la carga. Supongamos que pierde el 40% de la carga. La carga de la gota vale ahora q=0.6·0.72·10^-12=0.432·10^-12 C

El campo eléctrico necesario para mantener la gota en equilibrio vale

$0.432 \cdot 10^{- 12} \frac{V_{z}}{0.05} = 790 \cdot \frac{4}{3} π \cdot {(16.0 \cdot 10^{- 6})}^{3} \cdot 9.8 V_{z} = 15.28 V$

La diferencia de potencial entre las placas sube repentinamente de 9.17 V a 15.28 V.

En la figura, se muestran las inestabilidades de Rayleigh caracterizadas por un incremento repentino del campo eléctrico (y la diferencia de potencial entre las placas V_z) necesario para mantener en equilibrio la gota en su posición inicial en el origen.

Actividades

Se introduce

El radio inicial de la gota, r₀ en μm, actuando en la barra de desplazamiento titulada Radio
La carga inicial de la gota, q₀ en pC, actuando en la barra de desplazamiento titulada Carga
La pérdida de carga en el instante en el que la gota se vuelve inestable, en el control de edición titulado Pérdida carga

Se pulsa el botón titulado Empieza

A la izquierda, se observa como decrece el radio de la gota con el tiempo. El color rojo en la gota representa la carga situada en su superficie. En el instante en el que la gota se vuelve inestable pierde carga y el color rojo se hace cada vez mas claro.
A la derecha, se representa la diferencia de potencial entre las placas en función del tiempo.

Datos.

Densidad del líquido, ρ=790 kg/m³
Tensión superficial, σ=22.8·10^-3 N/m
Evaporación de la gota, r=r₀-0.1t, donde r se mide en μm y t en s.
Distancia entre las placas, d= 5 cm

Referencias

Chee Sheng Fong, Black N. D. Kiefer P. A., Shaw R. A. An experiment on the Rayleigh instability of charged liquid drops. Am. J. Phys. 75 (6) June 2007, pp. 499-503