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El ludión o diablillo de Descartes

En esta página, se describe el comportamiento complejo, del denominado ludión o diablillo de Descartes en base a leyes simples:

• El principio de Arquímedes y de Pascal
• La ley de Boyle de los gases perfectos

Esta página es una continuación de la página titulada la flotación de un barco, que estudia las fuerzas sobre un recipiente que contiene una burbuja de aire en su interior, y de la página titulada las oscilaciones de una boya, que estudia el MAS de una boya que flota en el mar y sobre la cual salta un marinero en el instante inicial.

El diablillo o ludión es un tubo de ensayo de longitud L, de diámetro interior d₁ y de diámetro exterior d₂ que se llena parcialmente de agua hasta una altura L-l₀. Luego, se invierte en un recipiente grande que contiene agua, que está cerrado y conectado por una parte, a un manómetro para medir la presión del aire encerrado en su interior y por otra, a una jeringa que nos permite variar la presión P del aire del recipiente.

 

Estática del diablillo

En este apartado, estudiaremos el equilibrio del tubo de ensayo (diablillo) con la burbuja de aire dentro

Control de la presión

Para variar la presión del aire contenido en el recipiente se emplea una jeringa. Si el volumen total de aire del recipiente y de la jeringa es V₀. Al disminuir en x el volumen de la jeringa la presión aumenta de P₀ a P. Si suponemos una transformación isotérmica, tendremos que:

P(V₀-x)=P₀·V₀

Si x<<V₀ podemos hacer la siguiente aproximación

${\displaystyle P=\frac{P_0}{1-x/V_0}=P_0{\left(1-\frac{x}{V_0}\right)}^{-1}\approx P_0\left(1+\frac{x}{V_0}\right)}$

El incremento de presión ΔP=P-P₀ es proporcional a la variación del volumen x de la jeringa o bien, al desplazamiento de su émbolo.

Peso del tubo de ensayo

Después de haber invertido el tubo de ensayo dentro del agua del recipiente, la longitud de la burbuja de aire que se ha formado en el interior del tubo invertido es l=x+z La base del tubo se encuentra a una altura x por encima de la superficie del agua del recipiente y el agua en el tubo se encuentra a una altura z por debajo de dicha superficie tal como se indica en la primera figura.

Sobre el tubo actúan dos fuerzas: el peso y el empuje

• El peso

El peso del tubo es igual a la densidad del vidrio multiplicado por el volumen del tubo, un recipiente en forma de capa cilíndrica de diámetro interior d₁ y exterior d₂.

${\displaystyle V=\frac{\pi }{4}(d_2^2-d_1^2)L}$

despreciamos el volumen de la base del tubo.

El área interior A del tubo de vidrio es

${\displaystyle A=\frac{\pi }{4}{d}_1^2}$

El peso del tubo de vidrio es el producto de la densidad del vidrio ρ_v, por el volumen V de la capa cilíndrica de vidrio y por la aceleración de la gravedad g,

ρ_v·V·g

El empuje no admite una expresión única y es distinta

• Cuando el tubo está parcialmente sumergido x>0

• Cuando el tubo está completamente sumergido x≤0

Analizaremos cada uno de los casos por separado

Cuando el tubo está parcialmente sumergido x>0

• El empuje

En el primer caso, el empuje se compone de la suma de dos términos:

• El empuje del tubo de vidrio que está parcialmente sumergido una longitud L-x.

ρ·g·V(1-x/L)

• El empuje de la burbuja de aire que ha desalojado el agua contenida en el volumen cilíndrico de área A (el área de la sección trasversal del tubo) y de altura z.

ρ·g·A·z

La resultante es la diferencia entre el empuje y el peso

${\displaystyle F=\rho gAz+\rho gV\left(1-\frac{x}{L}\right)-{\rho }_{v}gV}$       (1)

Siendo ρ=1000 kg/m³ la densidad del agua, g=9.8 m/s² la aceleración de la gravedad, y ρ_v la densidad del vidrio, aproximadamente 2300 kg/m³.

• Trasformación isoterma

La ecuación fundamental de la estática de fluidos  nos permite calcular la presión del aire en la burbuja, que es la presión existente a una profundidad z por debajo de la superficie del agua contenida en el recipiente

P+ρgz

Siendo P la presión del aire en el recipiente.

Si suponemos que en todo momento la temperatura permanece constante, aplicamos la ecuación de los gases ideales a la burbuja de aire:

• En la situación inicial, con el tubo en la posición derecha, tenemos un volumen de aire  A·l₀ a la presión atmosférica P₀
• En la situación final, con el tubo en la posición invertida dentro del recipiente, tenemos una burbuja de aire cuyo volumen es A·(x+z) a la presión P+ρgz.

Se cumplirá que

P₀·l₀=(P+ρgz)·(x+z)    (2)

Situación de equilibrio

El tubo permanece en equilibrio cuando el peso se igual al empuje o bien, cuando F=0.

Conocida la presión P podemos determinar x y z resolviendo un sistema de dos ecuaciones (1) y (2) con dos incógnitas.

De la segunda ecuación despejamos x

${\displaystyle x=\frac{P_0{l}_0}{P+\rho gz}-z}$     (3)

y la sustituimos en la primera, para despejar z, quedando una ecuación de segundo grado, az²+bz+c=0, con

${\displaystyle \begin{array}{l}a={\rho }^{2}g\left(\frac{V}{L}+A\right)\\ b=\rho P\left(\frac{V}{L}+A\right)-({\rho }_v-\rho )V\rho g\\ c=-\frac{V}{L}\rho P_0{l}_0-({\rho }_v-\rho )VP\end{array}}$

Se calcula la raíz positiva de la ecuación de segundo grado

${\displaystyle z=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

Una vez que se ha calculado z, se determina mediante la ecuación (3), la posición de equilibrio x de la parte superior del tubo de ensayo.

Presión crítica.

Si se incrementa la presión hasta un valor límite P, el tubo de ensayo se va sumergiendo en el agua hasta que la posición de la parte superior del tubo está en el origen x_e=0. Si incrementamos un poco más la presión el tubo se hunde completamente.

La presión crítica P se determina poniendo x=0, en la ecuación (1) con F=0 (situación de equilibrio) y despejando P en la ecuación (2).

${\displaystyle z=\frac{V}{A}\left(\frac{{\rho }_v}{\rho }-1\right)P=P_0\frac{l_0}{z}-\rho gz}$

El tamaño z de la burbuja es independiente de su tamaño l₀ inicial, solamente depende de la geometría del tubo de ensayo, de la densidad del vidrio ρ_v y del agua ρ

Actividades

Se introduce

• El tipo de tubo que se va a usar en la experiencia, seleccionándolo en el control de selección titulado Tubos

Se pulsa en el botón titulado Inicio

• Se modifica la altura l₀ inicial de la burbuja de aire en el tubo, moviendo con el puntero del ratón la flecha de color rojo, situada al lado de la imagen amplificada del tubo.
• Se modifica la presión ΔP=P-P₀ en mm de mercurio, del aire contenido en el recipiente, actuando en la barra de desplazamiento, o introduciendo su valor en el control de edición titulado Incr. presión.

Observaremos el tubo en la posición de equilibrio estable F=0, si es que existe. En caso contrario, un mensaje nos lo indica.

Al lado del tubo, se muestran dos vectores que representan el peso y al empuje, y en la parte superior del recipiente, se muestra el valor de la fuerza F.

Datos de los tubos utilizados, tomados del artículo citado en las referencias

Tubo	Altura L (cm)	Diámetro interior d1(cm)	Diámetro exterior d2 (cm)	Densidad ρv (g/cm3)
1	9.8	1.38	1.6	2.35
2	16.0	1.64	1.64	2.29
3	17.1	4.44	4.97	2.16
4	20.1	1.74	2.00	2.17

La presión atmosférica es P₀=101300 Pa. La densidad del mercurio (Hg) es 13.55 g/cm³

Ejemplo de presión crítica

Si elegimos Tubo 2.

Con los datos de la tabla anterior calculamos el área de la sección trasversal y el volumen de vidrio del tubo de ensayo A=1.61 cm², V=8.10 cm³.

Calculamos la presión crítica para los estados iniciales siguientes:

Altura inicial l0 de la burbuja de aire en cm	Presión crítica P (Pa)	Diferencia de presión ΔP=P-P0 en mm de Hg
4	61632	-299
6	92766	-64
8	123901	170

Para comenzar una nueva “experiencia” se pulsa en el botón titulado Inicio.

Cuando el tubo está completamente sumergido x≤0

• Empuje

El empuje se compone de la suma de dos términos:

• El empuje del tubo de vidrio que ahora está completamente sumergido

ρ·g·V

• El empuje de la burbuja de aire que ha desalojado el agua contenida en el volumen cilíndrico de área A (el área de la sección trasversal del tubo) y de altura z.

ρ·g·A·z

La resultante de las fuerzas que actúan sobre el tubo es la diferencia entre el empuje y el peso

F=ρgAz+ρgV- ρ_vgV

• Trasformación isoterma

La presión del aire contenido en la burbuja es, para x<0

P+ρg(z+|x|)=P+ρg(z-x)

Suponiendo que el aire experimenta una transformación isotérmica entre el estado inicial y el final, tendremos

P₀·l₀= (P+ρg(z-x))z

Dinámica del diablillo

De nuevo, escribimos la fuerza que actúa sobre el tubo de ensayo

${\displaystyle F=\{\begin{array}{l}\rho gAz+\rho gV(1-x/L)-{\rho }_{v}gVx>0\\ \rho gAz+\rho gV-{\rho }_{v}gVx\le 0\end{array}}$

Relacionamos z y x mediante la ley de Boyle

${\displaystyle P_0{l}_0=\{\begin{array}{l}(P+\rho gz)(z+x)x>0\\ (P+\rho g(z-x))zx\le 0\end{array}}$

Tenemos que despejar z de las ecuaciones de segundo grado

${\displaystyle \begin{array}{l}\rho g{z}^2+(P+\rho gx)z+Px-P_0{l}_0=0x>0\\ \rho g{z}^2+(P-\rho gx)z-P_0{l}_0=0x\le 0\\ z=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ a=\rho gb=\{\begin{array}{l}P+\rho gx\\ P-\rho gx\end{array}c=\{\begin{array}{l}Px-P_0{l}_{0}x>0\\ -P_0{l}_{0}x\le 0\end{array}\end{array}}$

La fuerza F es ahora, una función de la posición x de la base del tubo de ensayo invertido

• Para x>0

${\displaystyle F=\rho gV\left(1-\frac{x}{L}\right)-{\rho }_{v}gV+\frac{A}{2}\left(-P+\rho gx+\sqrt{{\left(\rho gx-P\right)}^2+4\rho g{P}_0{l}_0}\right)}$

La fuerza F depende de la posición x, se trata de una fuerza conservativa cuya energía potencial se calcula del siguiente modo

${\displaystyle {\displaystyle \underset{x_e}{\overset{x}{\int }}F}dx=E_p(x_e)-E_p(x)}$

Donde x_e es la posición de equilibrio al cual le vamos a asignar una energía potencial cero. Establecemos por tanto, en esta posición el nivel cero de energía potencial E_p(x_e)=0.

Para x>0 tenemos que hacer la integral

${\displaystyle \begin{array}{l}{E}_1(x)=-{\displaystyle \int F(x)dx+C_1}\\ E_1(x)=\frac{\rho g}{2}\left(\frac{A}{2}+\frac{V}{L}\right)x^2+\left(\frac{AP}{2}+V({\rho }_v-\rho )\right)x-\frac{A}{2}f(x)+C_1\end{array}}$

donde C₁ es una constante de integración que se determina a partir de la condición de que E₁(x_e)=0,  f(x) es una función que se define más abajo.

• Para x≤0

La fuerza es

${\displaystyle F=-({\rho }_v-\rho )gV+\frac{A}{2}\left(-P-\rho gx+\sqrt{{\left(\rho gx-P\right)}^2+4\rho g{P}_0{l}_0}\right)}$

Para calcular la energía potencial, tenemos que hacer la integral

${\displaystyle \begin{array}{l}{E}_2(x)=-{\displaystyle \int F(x)dx+C_2}\\ E_2(x)=-\frac{A\rho g}{4}{x}^2+\left(\frac{AP}{2}+V({\rho }_v-\rho )\right)x-\frac{A}{2}f(x)+C_2\end{array}}$

La fuerza F es una función discontinua en x=0, pero la energía potencial E_p(x) es una función continua de modo que, en x=0 se tiene que cumplir que E₁(0)=E₂(0), esta condición determina el valor de la constante C₂ de integración.

La función f(x) es una integral que no es inmediata

${\displaystyle f(x)={\displaystyle \int \sqrt{{\left(\rho gx-P\right)}^2+4\rho g{P}_0{l}_0}}·dx}$

Esta integral se puede escribir de la forma

${\displaystyle 4P_0{l}_0{\displaystyle \int \sqrt{t^2+1}}·dtt=\left(\frac{\rho gx-P}{\sqrt{4\rho g{P}_0{l}_0}}\right)}$

Se descompone en la suma de dos integrales

${\displaystyle {\displaystyle \int \sqrt{t^2+1}}dt={\displaystyle \int \frac{t^2+1}{\sqrt{t^2+1}}dt}={\displaystyle \int \frac{t·t}{\sqrt{t^2+1}}dt+}{\displaystyle \int \frac{dt}{\sqrt{t^2+1}}=}\frac{t\sqrt{t^2+1}+\ln \left(t+\sqrt{t^2+1}\right)}{2}}$

El primer término se integra por partes, y el segundo es una integral inmediata.

El resultado final es

${\displaystyle \begin{array}{l}f(x)=\left(\frac{x}{2}-\frac{P}{2\rho g}\right)\sqrt{{\left(\rho gx-P\right)}^2+4\rho g{P}_0{l}_0}+\\ 2P_0{l}_0\ln \left(\rho gx-P+\sqrt{{\left(\rho gx-P\right)}^2+4\rho g{P}_0{l}_0}\right)\end{array}}$

Una de las posibles representaciones gráficas de E_p(x) se muestra en la figura.

• Para presiones bajas del aire contenido en el recipiente, la función potencial tiene un mínimo local en x_e>0, que es una posición de equilibrio estable, y un máximo local en una posición x_m<0 (equilibrio inestable)

• Cuando la presión P se hace igual a la crítica, el máximo y el mínimo coinciden en x=0. Para esta presión y valores superiores de la misma el tubo de ensayo se hunde en el recipiente.

Si en la posición de equilibrio, x_e le damos al tubo una velocidad inicial v₀, la energía total del móvil es la energía cinética ya que la energía potencial es nula.

${\displaystyle E=\frac{1}{2}m{v}_0^2=\frac{1}{2}({\rho }_{v}V)v_0^2}$

La energía E total es constante en todos los puntos de la trayectoria. Si E es menor que el máximo local de la energía potencial, el tubo que sale de la posición de equilibrio x_e oscila entre dos posiciones, x₁ y x₂ determinadas por las raíces de la ecuación trascendente E_p(x)-E=0, abscisas de los puntos de intersección de la curva de la energía potencial y la recta horizontal E_p(x)=E, tal como se indica en al figura.

Cuando la función energía potencial E_p(x) no tiene mínimo local o posición de equilibrio estable, el tubo sale de la posición x=0 con velocidad v₀, y como podemos comprobar se hunde en el recipiente hasta que llega al fondo.

Se simula el movimiento del diablillo de Descartes resolviendo numéricamente, mediante el procedimiento de Runge-Kutta, la ecuación diferencial del movimiento, con las condiciones iniciales especificadas.

Actividades

Se introduce

• El tipo de tubo de ensayo que se va a usar en la experiencia, seleccionándolo en el control de selección titulado Tubos

Se pulsa en el botón titulado Inicio

• Se modifica la altura l₀ inicial de la burbuja de aire en el tubo, moviendo con el puntero del ratón la flecha de color rojo, situada al lado de la imagen amplificada del tubo.
• Se modifica la presión ΔP=P-P₀ en mm de mercurio, del aire contenido en el recipiente, actuando en la barra de desplazamiento, o introduciendo su valor en el control de edición titulado Incr. presión.
• Se introduce el valor de la velocidad inicial v₀ del tubo en el control de edición titulado velocidad:.en la posición inicial x_e de equilibrio estable, si existe. En caso contrario, la posición inicial es x=0,

Se pulsa en el botón titulado Empieza

Observamos el movimiento del tubo, oscilatorio, si la energía total E del tubo es menor que la del máximo local de la energía potencial. Se representa a la izquierda del applet la curva E_p(x), la energía total E, y los puntos x₁ y x₂ de retorno.

En el caso de que E sea mayor que el máximo local, el tubo se hunde en el recipiente y llega hasta el fondo. Lo mismo ocurre si la curva de energía potencial no tiene mínimo ni máximo local, es decir, la presión del aire contenido en el recipiente es superior a la crítica.

Si no hay posición de equilibrio estable, podemos modificar la presión actuando en la barra de desplazamiento o bien, podemos modificar el tamaño inicial l₀ de la burbuja de aire.

Para comenzar una nueva “experiencia” se pulsa en el botón titulado Inicio.

FluidoApplet1 aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Referencias

Güémez J, Fiolhais C, Fiolhais M. The Cartesian diver and the fold catastrophe. Am. J. Phys. 70 (7) July 2002, pp. 710-714.

Curso Interactivo de Física en Internet © Ángel Franco García