Optica no paraxial de una lente

En esta página, estudiamos el comportamiento de una lente empleando la ley de Snell de la refracción. Veremos que un sistema óptico tan simple, presenta dificultades matemáticas que superaremos empleando procedimientos numéricos.

Indice de refracción

El índice de refracción n no es constante, sino que depende de la longitud de onda o de la frecuencia de la luz con la que se ilumina la lente.

Por ejemplo, el índice de refracción del vidrio denominado “corona pesado” para las longitudes de onda del espectro visible, se proporcionan en la siguiente tabla.

Longitud de onda, nm	Indice de refracción
670.8	1.6434
643.8	1.6453
589.3	1.6499
486.4	1.6637
404.7	1.6852

Fuente: Koshkin N. I., Shirkévich M. G.. Manual de Física Elemental. Editorial Mir 1975. pág. 210

En la figura, se muestra los datos de la tabla representados por puntos de color rojo y el polinomio de tercer grado, en color azul, que mejor ajusta a dichos datos.

n=2.0990-1.9446·10^-3·λ+2.8756·10^-6·λ² -1.4745·10^-9·λ³

Propagación de un rayo de luz

Un rayo de luz monocromática de longitud de onda λ paralelo al eje X incide en una lente esférica de radio R. El rayo incide en la dirección normal y no se desvía, llega al punto P de la superficie esférica de separación entre la lente y el aire, su ángulo de incidencia es α, el ángulo de refracción es β. Aplicamos la ley de Snell

n·sinα=sinβ

n es el índice de refracción de la lente para la longitud de onda λ. El índice de refracción del aire es la unidad.

Vamos a calcular la posición de la intersección F del rayo refractado con el eje de simetría X, es decir, la distancia f del punto F al punto O.

De acuerdo con la geometría del problema

$\begin{array}{l} \sin α = \frac{h}{R} d = R - \sqrt{R^{2} - h^{2}} \\ \sin β = \sin (\frac{π}{2} + α - γ) = \sin (\frac{π}{2} - (γ - α)) = \cos (γ - α) \\ \sin β = \cos γ \cos α + \sin γ \sin α \\ n \sin α = \frac{h}{\sqrt{{(f + d)}^{2} + h^{2}}} \cos α + \frac{f + d}{\sqrt{{(f + d)}^{2} + h^{2}}} \sin α \\ n \frac{h}{R} = \frac{h}{\sqrt{{(f + d)}^{2} + h^{2}}} \frac{\sqrt{R^{2} - h^{2}}}{R} + \frac{f + d}{\sqrt{{(f + d)}^{2} + h^{2}}} \frac{h}{R} \\ n \sqrt{{(f + d)}^{2} + h^{2}} = \sqrt{R^{2} - h^{2}} + f + d \end{array}$

Elevamos ambos miembros al cuadrado y despejamos f en función de h

$f = \frac{n \sqrt{R^{2} - n^{2} h^{2}} - (n^{2} - 1) R + n^{2} \sqrt{R^{2} - h^{2}}}{n^{2} - 1}$

Aproximación paraxial se obtiene cuando h→0

$f_{0} = \frac{R}{n - 1}$

f₀ no depende de h, esto quiere decir que todos los rayos paralelos al eje convergen en el mismo punto F₀ denominado foco.

El ángulo α y por tanto h tienen un valor límite, aquél que hace que β=90º.

$n \cdot \sin α = 1 h_{\lim} = \frac{R}{n}$

Para h>h_lim el rayo incidente no se refracta sino que experimenta una reflexión interna.

La expresión de f calculada anteriormente es válida para el intervalo (-h_lim, +h_lim). El valor máximo de h, h_máx de la lente con la experimentaremos al final de esta página cumple que h_max<h_lim, de modo que todos los rayos incidentes se refractan.

La distancia focal mínima f_min se obtiene cuando h=h_max. Y la distancia focal máxima, se obtiene cuando h→0, es decir, f₀, la distancia focal en la aproximación paraxial.

Cuando incide luz blanca sobre la lente esférica, las rayos monocromáticos (violeta, azul, verde, amarillo, naranja, rojo) experimentan desviaciones distintas, debido a que el índice de refracción de la lente cambia ligeramente con la longitud de onda. La mayor dispersión, separación de colores, se obtiene para h_max.

La superficie cáustica

Situamos el origen en el punto O. El rayo refractado pasa por los puntos P de coordenadas (-d, h) y el punto F (f, 0). La ecuación de la recta que pasa por estos dos puntos es

$\begin{array}{l} y = - \frac{h}{d + f} (x - f) \\ y = - \frac{h}{R - \sqrt{R^{2} - h^{2}} + f} (x - f) \end{array}$

La envolvente de estas rectas se denomina cáustica y su ecuación se determina haciendo

$\begin{array}{l} \frac{\partial y (x, h)}{\partial h} = 0 \\ \frac{\partial y (x, h)}{\partial h} = - \frac{(f + R - \sqrt{R^{2} - h^{2}}) - (\frac{\partial f}{\partial h} + \frac{h}{\sqrt{R^{2} - h^{2}}}) h}{{(f + R - \sqrt{R^{2} - h^{2}})}^{2}} (x - f) - \frac{h}{f + R - \sqrt{R^{2} - h^{2}}} (- \frac{\partial f}{\partial h}) = 0 \\ x = f + (\frac{\partial f}{\partial h}) \frac{f + R - \sqrt{R^{2} - h^{2}}}{f + R - \sqrt{R^{2} - h^{2}} - h \frac{\partial f}{\partial h} + \frac{h}{\sqrt{R^{2} - h^{2}}}} \end{array}$

No se puede obtener una ecuación explícita y=g(x) de la cáustica. Sus ecuaciones paramétricas dependiendo de h, o altura del rayo son:

$\begin{array}{l} y = - \frac{h}{R - \sqrt{R^{2} - h^{2}} + f} (x - f) \\ x = f + (\frac{\partial f}{\partial h}) \frac{f + R - \sqrt{R^{2} - h^{2}}}{f + R - \sqrt{R^{2} - h^{2}} - h \frac{\partial f}{\partial h} + \frac{h}{\sqrt{R^{2} - h^{2}}}} \\ f = \frac{n \sqrt{R^{2} - n^{2} h^{2}} - (n^{2} - 1) R + n^{2} \sqrt{R^{2} - h^{2}}}{n^{2} - 1} \\ \frac{\partial f}{\partial h} = - \frac{n^{2} h}{n^{2} - 1} (\frac{n}{\sqrt{R^{2} - n^{2} h^{2}}} + \frac{h}{\sqrt{R^{2} - h^{2}}}) \end{array}$

La imagen que vemos en la figura más arriba nos dice que los rayos paralelos no convergen en el mismo punto F₀ denominado foco. Si ponemos una pantalla después de la lente perpendicularmente al eje X en la posición x, observaremos una mancha de luz de radio finito.

El punto focal óptimo se define como el punto x₀ donde se tiene que colocar la pantalla para que se observe una mancha de radio mínimo y₀. Se obtiene de la intersección de la cáustica con el rayo procedente de –h_max, véase la figura más arriba.

Para ello, se determina el valor de h tal que la ordenada y de la cáustica y la ordenada del rayo trazado desde -h_max coinciden.

$\begin{array}{l} \frac{h}{R - \sqrt{R^{2} - h^{2}} + f} (x - f) = \frac{- h_{\max}}{R - \sqrt{R^{2} - h_{\max}^{2}} + f_{\min}} (x - f_{\min}) \\ x = f + (\frac{\partial f}{\partial h}) \frac{f + R - \sqrt{R^{2} - h^{2}}}{f + R - \sqrt{R^{2} - h^{2}} - h \frac{\partial f}{\partial h} + \frac{h}{\sqrt{R^{2} - h^{2}}}} \end{array}$

f_min es la distancia focal mínima cuando h es máximo.

Como vemos en la figura, la cáustica decrece con x y la recta que sigue el rayo crece con x. Se intersecan en el punto (x₀, y₀). Los ejes X e Y se han trazado a distinta escala para que se pueda apreciar mejor la recta y la cáustica. El punto focal óptimo se encuentra en x₀ y el tamaño de la mancha de luz es un círculo de radio y₀.

Se aplica el procedimiento numérico del punto medio para obtener el valor de h₀ que hace que se cumpla la igualdad. Después se determina la abscisa x₀ y la ordenada y₀ en la ecuación de la cáustica.

Actividades

Se introduce

El radio R de la lente esférica en cm, actuando en la barra de desplazamiento titulada Radio.

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Seleccionamos la longitud de onda y por tanto, el índice de refracción n de la lente, arrastrando el puntero del ratón el círculo de color blanco situado sobre la imagen del espectro visible, .
Seleccionamos la altura h del rayo incidente sobre el eje de simetría X, arrastrando el puntero del ratón el círculo de color blanco situado a la izquierda del applet, .

En la parte superior del applet se nos proporciona la distancia focal f entre el origen y el punto de intersección del rayo con el eje X.

Una marca sobre el eje horizontal nos proporciona el dato de la distancia focal máxima f₀, o distancia focal en la aproximación paraxial, cuando h→0

El máximo valor de la distancia del rayo al eje horizontal es h_max=5.85 cm, por debajo del valor límite R/n de modo, que los rayos no sufren en ningún caso reflexión total.

Mueva los dos pequeños círculos de color blanco con el puntero del ratón

Actividades

Se introduce

El radio R de la lente esférica en cm, actuando en la barra de desplazamiento titulada Radio.
Seleccionamos la longitud de onda y por tanto, el índice de refracción n de la lente, arrastrando el puntero del ratón el círculo de color blanco situado sobre la imagen del espectro visible, .

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se traza la cáustica y el rayo procedente de –h_max. Se señala el punto de intersección y se calculan sus coordenadas x₀ e y₀ empleando el procedimiento numérico del punto medio

Mueva el pequeño círculo de color blanco con el puntero del ratón

Referencias.

Carpena P. Coronado A. V., On the focal point of a lens: beyond the paraxial approximation. Eur. J. Phys. 27 (2006) pp. 231-241