El arco iris

El arco iris único y brillante que se ve después de un chubasco o en una cascada es el arco iris primario. Su característica principal son las bandas de colores, desde el violeta en el interior, pasando por el azul, verde, amarillo, naranja, hasta el rojo en el exterior.

Por encima del arco primario se encuentra el arco secundario, en el que los colores aparecen en orden inverso, el rojo en el interior y el violeta en el exterior. En medio de los dos arcos hay una región bastante más oscura que el cielo circundante denominada banda de Alejandro, en honor al filósofo griego Alejandro de Afrodisias, quien la describió por primera vez hacia el año 200 A. C.

Muy pocas veces son visibles los denominados arcos supernumerarios una serie de bandas débiles en las que suelan alternar el rosa y el verde, hacia la parte interna del arco primario, o en la parte exterior del arco secundario.

Vista de los arcos primario y secundario, en Durango (Vizcaya). Al fondo el monte Oiz.

Roger Bacon en 1266 midió el ángulo que forman los rayos del arco iris con la luz solar incidente. Descartes demostró que el arco iris primario está formado por los rayos que penetran en una gota refractándose, se reflejan una vez en su superficie interna y salen de la gota refractándose de nuevo. El arco iris secundario está formado por los rayos que penetran en la gota y se reflejan dos veces en su superficie interna. La figura de abajo, es la explicación de Descartes a la formación del arco primario y secundario.

En la figura de abajo, se muestra el arco primario y secundario producidos en una simulación con ordenador, no se ha tenido en cuenta que el arco iris secundario es menos intenso que el primario.

El arco primario se forma un ángulo de aproximadamente 42º y se produce después de una reflexión de los rayos de luz en el interior de la gota. En el interior del arco observamos el color violeta y en el exterior el rojo.
El arco secundario se forma un ángulo de aproximadamente 50 º y se produce después de dos reflexiones de los rayos de luz en el interior de la gota. En el interior del arco observamos el color rojo y en el exterior el violeta.

Observamos también que el arco secundario tiene una anchura angular mayor que el primario. Los ángulos de desviación de la luz monocromática se calculan en los siguientes apartados

Indice de refracción

La refracción, como observó Newton con el prisma, depende del color. La luz de longitudes de onda diferentes se desvían según ángulos ligeramente distintos, esta dependencia entre el índice de refracción y la frecuencia de la luz se denomina dispersión.

En la figura se muestra la variación del índice de refracción del agua con la longitud de onda. Los puntos rojos corresponden a datos de la tabla

Longitud de onda, nm	Indice de refracción del agua a 20º C
670.8	1.3308
643.8	1.3314
589.3	1.3330
486.4	1.3371
404.7	1.3428

Fuente: Koshkin N. I., Shirkévich M. G.. Manual de Física Elemental. Editorial Mir 1975. pág. 210

Los datos de la tabla se han ajustado al polinomio de tercer grado (curva de color azul)

n=1.4391-4.4104·10^-4·λ+6.3095^-7λ²-3.1941^-10λ³
donde λ es la longitud de onda en nm, 10^-9 m

La fórmula de Cauchy proporciona los índices de refracción del agua en la región visible con bastante aproximación

n=1.3246+3092/λ²

Trayectoria de un rayo de luz monocromático

Cuando un rayo de luz incide en la superficie de una gota de forma esférica, una parte del rayo se refleja y la otra parte se transmite (1). La luz transmitida pasa al interior de la gota donde cambia de dirección debido a la refracción. Cuando llega a la superficie interna de la gota (2), una parte se refleja en su superficie y la otra parte se transmite al exterior cambiando de dirección debido a la refracción y así, sucesivamente.

El rayo incidente forma un ángulo i con la dirección radial, se refracta acercándose a la normal, formando un ángulo r, con la dirección radial tal que

sini=n·sinr

El rayo cambia de dirección un ángulo (i-r)

Se refleja k veces en la superficie de la gota, cambiando de dirección (π-2r) en cada reflexión

Se transmite al exterior de la gota. El ángulo incidente es ahora r y el ángulo refractado forma un ángulo i con la dirección radial. El rayo cambia de dirección un ángulo (i-r)

La desviación total del rayo, como podemos ver en la figura, es

D=(i-r)+k(π-2r)+ (i-r)=kπ+2i-2(k+1)r

Donde k es el número de veces que el rayo se refleja en el interior de la gota

Rayo cartesiano

Fijando el número k de veces que el rayo se refleja internamente. Para distintos valores del ángulo de incidencia i obtenemos distintos valores del ángulo de desviación D.

Los arcos se forman para un ángulo de incidencia θ_c tal que el ángulo de desviación D alcanza el valor mínimo. Entonces la densidad de los rayos que dejan la gota es máxima.

$\begin{array}{l} \frac{d D}{d i} = 2 - 2 (k + 1) \frac{d r}{d i} \\ \cos i = n \cos r \frac{d r}{d i} \\ \cos r = \sqrt{1 - \sin^{2} r} = \sqrt{1 - \frac{1}{n^{2}} \sin^{2} i} = \sqrt{1 - \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{n^{2}} \cos^{2} i} \\ \frac{d D}{d i} = 2 - 2 (k + 1) \frac{\cos i}{\sqrt{n^{2} - 1 + \cos^{2} i}} \end{array}$

Poniendo dD/di=0, se despeja el ángulo de incidencia i.

$\cos^{2} i = \frac{n^{2} - 1}{k (k + 2)}$

Este es el ángulo de incidencia del denominado rayo cartesiano

Para determinar si las direcciones de los arcos corresponden a un máximo o a un mínimo, volvemos a derivar el ángulo de desviación D, respecto del ángulo de incidencia i.

$\frac{d^{2} D}{d i^{2}} = 2 (k + 1) \frac{(n^{2} - 1) \sin i}{{(n^{2} - 1 + \cos^{2} i)}^{3 / 2}}$

La derivada segunda es positiva ya que n>1.

Arco primario

El arco primario se forma cuando k=1, hay una sola reflexión interna.

En color blanco, el rayo cuyo ángulo de incidencia da lugar a una desviación mínima, observamos una mayor concentración de rayos alrededor de este rayo.

En la figura, se muestra la desviación D en función de ángulo de incidencia, para la luz de color rojo, λ=671 nm, n=1.3307, el valor mínimo se obtiene para i=59.54º, el ángulo de desviación vale D_m=137.59º

Arco secundario

El arco primario se forma cuando k=2, hay dos reflexiones internas.

En color blanco, el rayo cuyo ángulo de incidencia da lugar a una desviación mínima, observamos una mayor concentración de rayos alrededor de este rayo.

En la figura, se muestra la desviación D en función de ángulo de incidencia, para la luz de color rojo, λ=671 nm, n=1.3307, el valor mínimo se obtiene para i=71.92º, el ángulo de desviación vale D_m=230.30º

Angulo de desviación mínima

Con el programa interactivo al final de esta página podemos completar tablas como la que sigue o bien, realizar algunos cálculos a mano. Las fórmulas que precisamos son las siguientes:

Indice de refracción en función de la longitud de onda λ en nm

n=1.4391-4.4104·10^-4·λ+6.3095^-7λ²-3.1941^-10λ³

Ley de Snell

sini=n·sinr

Ángulo incidente i que da lugar a la mínima desviación y desviación mínima D_m.

$\cos i = \sqrt{\frac{n^{2} - 1}{k (k + 2)}} D = k \cdot 180 + 2 i - 2 (k + 1) r$

Arco, k	Rojo, λ=671 nm, n=1.3307		Violeta, λ=404 nm, n=1.3428		ΔD
Arco, k	i	D_m	i	D_m	ΔD
1	59.54º	137.59º	58.84º	139.33º	1.74º
2	71.92º	230.28º	71.53º	233.43º	3.14º

En la última columna, tenemos la anchura angular ΔD de los arcos primario y secundario. El arco secundario es casi el doble de ancho que el primario.
El ángulo de la zona oscura de Alejandro Δφ es la diferencia entre el ángulo del rojo en el arco primario visto por el observador terrestre φ₁=180-137.59=42.41º y el rojo del arco secundario visto por el mismo observador φ₂=230.28-180=50.28º. Δφ=φ₂-φ₁=7.87º. Véase la tercera figura de esta página.

Intensidad y polarización de la luz

Las fórmulas de Fresnel nos dan los coeficientes de reflexión y de transmisión de las ondas electromagnéticas en la separación entre dos medios no conductores.

$\begin{array}{l} R_{N} = {(\frac{n_{1} \cos θ_{i} - n_{2} \cos θ_{t}}{n_{1} \cos θ_{i} + n_{2} \cos θ_{t}})}^{2} T_{N} = \frac{4 n_{1} n_{2} \cos θ_{i} \cos θ_{t}}{{(n_{1} \cos θ_{i} + n_{2} \cos θ_{t})}^{2}} \\ R_{P} = {(\frac{- n_{2} \cos θ_{i} + n_{1} \cos θ_{t}}{n_{2} \cos θ_{i} + n_{1} \cos θ_{t}})}^{2} T_{P} = \frac{4 n_{1} n_{2} \cos θ_{i} \cos θ_{t}}{{(n_{2} \cos θ_{i} + n_{1} \cos θ_{t})}^{2}} \end{array}$

Fuente: Lorrain P. Corson D. L. Campos y Ondas Electromagnéticas. Selecciones Científicas (1972) pág. 554

En el primer caso, el campo eléctrico E_N es perpendicular al plano de incidencia
En el segundo caso, el campo eléctrico E_P está contenido en el plano de incidencia

Vamos a calcular las intensidades relativas de los rayos que dan lugar al arco primario y secundario.

Un rayo de luz no polarizada de longitud de onda λ, incide sobre una gota de agua de índice de refracción n₂=n, que a su vez depende de la longitud de onda. El índice de refracción del aire es constante e igual a n₁=1. Parte de la luz incidente se refleja y otra parte se refracta. Si el ángulo de incidencia es θ_i=i y el ángulo que forma la luz refractada con la normal es θ_t=r. Los coeficientes se expresan

$\begin{array}{l} R_{N} = {(\frac{\cos i - n \cos r}{\cos i + n \cos r})}^{2} T_{N} = 1 - R_{N} \\ R_{P} = {(\frac{- n \cos i + \cos r}{n \cos i + \cos r})}^{2} T_{P} = 1 - R_{P} \end{array}$

Vamos a calcular los coeficientes para la luz de color rojo, λ=671 nm, n=1.331

Arco primario (k=1)

El ángulo de incidencia que corresponde a la desviación mínima es i=59.54º

El ángulo r se calcula aplicando la ley de Snell, sini=n·sinr

En (1) tenemos que una parte de la luz se transmite y otra parte se refleja.

Proporción de luz transmitida polarizada N, T_1N=0.88880
Proporción de luz transmitida polarizada P, T_1P=0.99631

La luz atraviesa la gota y en (2) tenemos que una parte se refleja en su superficie interior y otra se transmite.

Los datos ahora son: n₂=1, n₁=n. El ángulo de incidencia es θ_i=r y el ángulo que forma la luz refractada con la normal es θ_t=i.

$\begin{array}{l} R'_{N} = {(\frac{n \cos r - \cos i}{n \cos r + \cos i})}^{2} = R_{N} \\ R'_{P} = {(\frac{- \cos r + n \cos i}{\cos r + n \cos i})}^{2} = R_{P} \end{array}$

que son las mismas fórmulas que hemos obtenido anteriormente

Proporción de luz reflejada polarizada N, R_2N=T_N·R_N=0.09883
Proporción de luz reflejada polarizada P, R_2P=T_P·R_P=0.00367

La luz atraviesa la gota y en (3) tenemos que una parte se refleja en su superficie interior y otra se transmite.

Los datos ahora son: n₂=1, n₁=n. El ángulo de incidencia es θ_i=r y el ángulo que forma la luz refractada con la normal es θ_t=i.

Proporción de luz trasmitida polarizada N, T_3N=T_N·R_N T_N·=0.08784
Proporción de luz trasmitida polarizada P, T_3P=T_P·R_P T_P=0.00366

La relación T_3N/T_3P=24

Total, I=T_3N+T_3P=915·10^-4

Arco secundario (k=2)

El ángulo de incidencia que corresponde a la desviación mínima es i=71.92º

El ángulo r se calcula aplicando la ley de Snell, sini=n·sinr,

En (1) tenemos que una parte de la luz se transmite y otra parte se refleja.

Proporción de luz transmitida polarizada N, T_1N=0.74977
Proporción de luz transmitida polarizada P, T_1P=0.93357

La luz atraviesa la gota y en (2) tenemos que una parte se refleja en su superficie interior y otra se transmite.

Proporción de luz reflejada polarizada N, R_2N=T_N·R_N=0.18761
Proporción de luz reflejada polarizada P, R_2P=T_P·R_P=0.06201

La luz atraviesa la gota y en (3) tenemos que una parte se refleja en su superficie interior y otra se transmite.

Proporción de luz reflejada polarizada N, R_3N=T_N·R_N R_N·=0.04695
Proporción de luz reflejada polarizada P, R_3P=T_P·R_P R_P=0.00412

La luz atraviesa la gota en (4) tenemos que una parte se refleja en su superficie interior y otra se transmite.

Proporción de luz transmitida polarizada N, T_4N=T_N·R_N R_N·T_N =0.03520
Proporción de luz transmitida polarizada P, T_4P=T_P·R_P R_P·T_P =0.00384

La relación T_4N/T_4P=9

Total, I=T_4N+T_4P=390.4·10^-4

Como podemos observar la luz proveniente del arco iris primario está mucho más polarizada que la proveniente del arco secundario.

En general, después de k reflexiones internas la intensidad del rayo trasmitido es

$\begin{array}{l} T_{N} = {(1 - R_{N})}^{2} R_{N}^{k} = {(1 - {(\frac{\cos i - n \cos r}{\cos i + n \cos r})}^{2})}^{2} {(\frac{\cos i - n \cos r}{\cos i + n \cos r})}^{2 k} \\ T_{P} = {(1 - R_{P})}^{2} R_{P}^{k} = {(1 - {(\frac{- n \cos i + \cos r}{n \cos i + \cos r})}^{2})}^{2} {(\frac{- n \cos i + \cos r}{n \cos i + \cos r})}^{2 k} \\ T = T_{N} + T_{P} \end{array}$

Los valores de T_N y T_P para los arcos supernumerarios (k>2) son muy pequeños.

Actividades

Se introduce

El orden del arco k, en el control de selección titulado Reflexiones internas.
El ángulo de incidencia i, actuando en la barra de desplazamiento titulada Angulo incidente

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se actúa con el puntero del ratón sobre el pequeño círculo de color blanco, situado a la izquierda del applet, para seleccionar la longitud de onda de la radiación monocromática, dentro del espectro visible.

El programa interactivo calcula el ángulo de desviaciación D, y los coeficientes I_P e I_N que hay que multiplicar por10^-4 . La magnitud relativa de estos coeficientes nos da una idea acerca de la polarización de la luz y su suma de la reducción de la intensidad de la luz.

Se sugiere al lector que para el color violeta λ=404 nm,calcule

El índice de refracción n.
El ángulo de incidencia que da lugar a la desviación mínima para el arco primario (k=1) y para el secundario (k=2)
La desviación mínima en ambos casos.
Los valores de T_3N y T_3P para el arco primario
Los valores de T_4N y T_4P para el arco secundario

Compruebe los resultados con el programa interactivo

Mueva el pequeño círculo de color blanco con el puntero del ratón

En el siguiente applet, se muestra las trayectorias de todos los rayos monocromáticos, para sus ángulos de desviación mínima, respectivos. Se muestran los valores numéricos de las desviaciones mínimas de los rayos cuya longitud de onda corresponde a los extremos del espectro visible: rojo 780 nm, violeta 380 nm.

Referencias.

Whitaker R. J. Physics of the rainbow. The Physics Teacher. Vol 12, May 1974, pp. 283-286.

Hendry A. W. A tripe rainbow?. The Physics Teacher Vol 41, November 2003, pp. 460-463.

Nussenzveig H. M. Teoría del arco iris. Investigación y Ciencia, nº 9, Junio 1977, págs. 82-94.

Walker J. D., Multiple rainbows from single drops of water and other liquids. Am. J. Phys. Vol. 44 nº 5, May 1976, pp. 421-433