Conservación del momento lineal y angular en las colisiones de dos discos (I)

En el capítulo de dinámica hemos estudiado las colisiones unidimensionales elásticas e inelásticas tanto desde el punto de vista de un observador situado en el Sistema de Referencia del Laboratorio como del Sistema de Referencia del Centro de Masa. A continuación, procedimos con el estudio de las colisiones bidimensionales. En ambos casos, hemos aplicado el principio de conservación del momento lineal a un sistema aislado de dos partículas interactuantes y a continuación, hemos efectuado el balance energético de la colisión.

En la figura, se muestra un esquema de la colisión de dos discos de masas m₁ y m₂ y radios r₁ y r₂, respectivamente. El segundo disco está en reposo u₂=0, mientras que el primero lleva una velocidad u₁ antes del choque. El choque está caracterizado por el denominado parámetro de impacto b, que es la distancia entre la dirección de la velocidad u₁ del primer disco y el centro del segundo disco en reposo.

Después del choque, el primer disco se mueve con velocidad v₁ haciendo un ángulo φ₁ con eje horizontal (dirección de la velocidad u₁ del disco incidente) y a su vez, gira alrededor de un eje perpendicular al disco y que pasa por su centro con velocidad angular ω_1.El segundo disco, se mueve con velocidad v₂ haciendo un ángulo φ₂ con el eje horizontal y a su vez, gira alrededor de de un eje perpendicular al disco y que pasa por su centro con velocidad angular ω₂.

Tenemos que despejar seis incógnitas del sistema de ecuaciones que describe el choque entre dos discos:

Los módulos de las velocidades de los c.m. de los discos después del choque v₁ y v₂, y sus direcciones φ₁ y φ₂
Las velocidades angulares de rotación de cada uno de los discos alrededor de un eje perpendicular al disco y que pasa por el c.m. ω₁ y ω₂.

Para obtener las seis ecuaciones aplicamos:

El principio de conservación del momento lineal al sistema aislado formado por los dos discos, nos proporcionan dos ecuaciones.
El principio de conservación del momento angular a cada uno de los discos respectodel punto de contacto , nos proporcionan dos ecuaciones.
El balance energético de la colisión a través del coeficiente de restitución, nos proporciona la quinta ecuación
Cuando los discos están en contacto, puede deslizar una superficie sobre la otra o no deslizar. Tenemos una ecuación más, la sexta, distinta para cada caso.

Choques frontales

Los choques frontales son las más fáciles de describir ya que solamente, precisan la aplicación del principio de conservación del momento lineal y la definición de coeficiente de restitución.

m₁u₁ =m₁v₁+m₂v₂ (1)

-e·u₁=v₁-v₂ (2)

$v_{1} = \frac{(M - e)}{M + 1} u_{1} v_{2} = \frac{M (1 + e)}{M + 1} u_{1} M = \frac{m_{1}}{m_{2}}$

Choques oblicuos

Parámetro de impacto

Se denomina parámetro de impacto b, a la distancia entre la dirección de la velocidad u₁ del primer disco y el centro del segundo disco en reposo. Relacionamos el parámetro de impacto b y el ángulo θ que forma la dirección de la velocidad u₁ del primer disco y la recta que pasa por los centros de ambos discos, cuando entran en contacto en el momento del choque, tal como se puede apreciar en la figura.

b=(r₁+r₂)·sinθ

Conservación del momento lineal

a lo largo del eje X

m₁u₁ =m₁v_1x+m₂v_2x (1)

a lo largo del eje Y

0=m₁v_1y+m₂v_2y (2)

Conservación del momento angular

Se conserva el momento angular del disco 1 respecto del punto de contacto P.

-m₁·r₁·u₁sinθ= I₁ω₁- m₁·r₁·(v_1xsinθ+ v_1ycosθ) (3)

Se conserva el momento angular del disco 2 respecto del punto de contacto P.

0=I₂ω₂+m₂·r₂·(v_2xsinθ+ v_2ycosθ) (4)

Balance energético. Coeficiente de restitución

La definición de coeficiente de restitución es

$e = - \frac{(v_{1 x} \cos θ - v_{1 y} sin θ) - (v_{2 x} \cos θ - v_{2 y} sin θ)}{u_{1} \cos θ}$ (5)

Cuando los discos están en contacto

No hay deslizamiento

Consideremos el caso de que no hay deslizamiento de un disco respecto del otro en el punto de contacto P. Las velocidades de los dos discos en el punto de contacto P serán iguales.

r₁ω₁+v_1xsinθ+ v_1ycosθ= -r₂ω₂+ v_2xsinθ+ v_2ycosθ (6)

Hay deslizamiento

Las fuerzas sobre el disco azul en el punto de contacto son:

La reacción N,

La fuerza de rozamiento F

Si las superficie lateral del disco azul desliza sobre la del rojo, la relación entre ambas fuerzas es F=μ·N

La fuerza N actuando durante el pequeño intervalo de tiempo Δt en el que los discos están en contacto modifica la componente del momento lineal del disco en la dirección de dicha fuerza. Lo mismo cabe decir de la fuerza F.

$\begin{array}{l} \int_{0}^{Δ t} N \cdot d t = (m_{1} v_{1 y} sin θ - m_{1} v_{1 x} \cos θ) - (- m_{1} u_{1} \cos θ) \\ \int_{0}^{Δ t} - F \cdot d t = (m_{1} v_{1 x} sin θ + m_{1} v_{1 y} \cos θ) - m_{1} u_{1} sin θ \end{array}$

μ(v_1ysinθ-v_1xcosθ+u₁cosθ)=- v_1xsinθ-v_1ycosθ+u₁sinθ (6)

Las fuerzas sobre el disco rojo en el punto de contacto son:

La reacción N,

La fuerza de rozamiento F

iguales y de sentido contrario a las que se ejercen sobre el disco azul.

$\begin{array}{l} \int_{0}^{Δ t} N \cdot d t = (m_{2} v_{2 x} cos θ - m_{2} v_{2 y} sin θ) \\ \int_{0}^{Δ t} F \cdot d t = (m_{2} v_{2 x} sin θ + m_{2} v_{2 y} \cos θ) \end{array}$

μ(v_2xcosθ-v_2ysinθ)=v_2xsinθ+v_2ycosθ (7)

Resolución del sistema de ecuaciones

Llamamos M=m₁/m₂

El momento de inercia de un sólido rígido en rotación alrededor de un eje fijo es

I=kmr² con k=1/2 para un disco

El sistema de seis ecuaciones con seis incógnitas se escribe.

Mv_1x+v_2x= Mu₁+u₂        (1)

Mv_1y+v_2y=0                      (2)

v_1xsinθ+ v_1ycosθ-kr₁ω₁= u₁sinθ            (3)

v_2xsinθ+ v_2ycosθ +kr₂ω₂=0                     (4)

-v_1xcosθ + v_1ysinθ+v_2xcosθ-v_2ysinθ=eu₁cosθ           (5)

v_1xsinθ+ v_1ycosθ - v_2xsinθ-v_2ycosθ +r₁ω₁+r₂ω₂ =0      (6)   No desliza

(- μcosθ+sinθ)v_1x+(μsinθ +cosθ) v_1y=u₁(sinθ- μcosθ)   (6) Desliza

Para resolver el sistema de ecuaciones lineales, cambiamos el orden de las ecuaciones para evitar que los elementos de la diagonal de la matriz cuadrada (más abajo) sean nulos

No desliza

v_1xsinθ+ v_1ycosθ - v_2xsinθ- v_2ycosθ +r₁ω₁+r₂ω₂ =0      (6)
Mv_1y+v_2y=0                                                                       (2)
Mv_1x+v_2x= Mu₁+u₂                                                           (1)
-v_1xcosθ + v_1ysinθ+v_2xcosθ-v_2ysinθ=eu₁cosθ                  (5)
v_1xsinθ+ v_1ycosθ-kr₁ω₁= -u₁sinθ                                     (3)
v_2xsinθ+ v_2ycosθ +kr₂ω₂=0                                              (4)

En forma matricial escribimos el sistema

$(\begin{matrix} sin θ & \cos θ & -sin θ & - \cos θ & 1 & 1 \\ 0 & M & 0 & 1 & 0 & 0 \\ M & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ - \cos θ & sin θ & \cos θ & - sin θ & 0 & 0 \\ sin θ & \cos θ & 0 & 0 & - k & 0 \\ 0 & 0 & sin θ & \cos θ & 0 & k \end{matrix}) (\begin{matrix} v_{1 x} \\ v_{1 y} \\ v_{2 x} \\ v_{2 y} \\ r_{1} ω_{1} \\ r_{2} ω_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ M u_{1} \\ e u_{1} \cos θ \\ u_{1} sin θ \\ 0 \end{matrix})$

Se resuelve el sistema de ecuaciones se evalúa el primer y segundo miembro de la ecuación (6) caso "desliza"

A=μ(v_1ysinθ-v_1xcosθ+u₁cosθ)
B=- v_1xsinθ-v_1ycosθ+u₁senθ

Si A>B se mantiene el resultado, en caso contrario se resuelve el sistema alternativo

Desliza

(- μcosθ+sinθ)v_1x+(μsinθ +cosθ) v_1y=u₁(sinθ- μcosθ)    (6)
Mv_1y+v_2y=0                                                                       (2)
Mv_1x+v_2x= Mu₁+u₂                                                           (1)
-v_1xcosθ + v_1ysinθ+v_2xcosθ-v_2ysinθ=eu₁cosθ                  (5)
v_1xsinθ+ v_1ycosθ-kr₁ω₁= -u₁sinθ                                     (3)
v_2xsinθ+ v_2ycosθ +kr₂ω₂=0                                              (4)

En forma matricial escribimos el sistema

$(\begin{matrix} - μ cos θ + sin θ & μ sin θ + \cos θ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & M & 0 & 1 & 0 & 0 \\ M & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ - \cos θ & sin θ & \cos θ & - sin θ & 0 & 0 \\ sin θ & \cos θ & 0 & 0 & - k & 0 \\ 0 & 0 & sin θ & \cos θ & 0 & k \end{matrix}) (\begin{matrix} v_{1 x} \\ v_{1 y} \\ v_{2 x} \\ v_{2 y} \\ r_{1} ω_{1} \\ r_{2} ω_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} u_{1} (sin θ - μ \cos θ) \\ 0 \\ M u_{1} \\ e u_{1} \cos θ \\ u_{1} sin θ \\ 0 \end{matrix})$

Comprobamos que la solución es correcta en este caso, verificándose la ecuación

μ(v_2xcosθ-v_2ysinθ)=v_2xsinθ+v_2ycosθ (7)

Procedimiento de cálculo

Llamamos M a la matriz, X al vector columna de las incógnitas y B al vector columna de los términos independientes

M·X=B

Despejamos el vector columna de las incógnitas

X=M^-1·B

Para hallar los elementos del vector columna X de las incógnitas, calculamos la matriz inversa M^-1 y a continuación, la multiplicamos por el vector columna B de los términos independientes. En la siguiente página se muestra el código Java que realiza estas operaciones.

Ejemplo:

Comprobaremos, la conservación del momento lineal y del momento angular de los discos, a partir de los datos suministrados por el programa interactivo.

Datos relativos a los discos

Las masas de los discos, m₁=1, m₂=1, por lo que M=m₁/m₂=1
Los radios de los discos r₁=1, r₂=1
Discos ambos de acero, e=0.94 y μ =0.10

Antes del choque

Velocidad inicial u₁=3.5 del primer disco
Parámetro de impacto b=1.5, por lo que senθ=1.5/(1+1), θ=48.60º

Después del choque

Velocidad del primer disco v₁=2.40, dirección φ₁=39.75º (por encima de la horizontal)
Velocidad del segundo disco v₂=2.26, dirección φ₂=-42.88º (por debajo de la horizontal)
Velocidad angular del primer disco r₁·ω₁=-0.45, o bien ω₁=-0.45 (gira en el sentido de las agujas del reloj)
Velocidad angular del segundo disco r₂·ω₂=-0.45, o bien ω₂=-0.45

1.- Conservación del momento lineal

El momento lineal inicial del primer disco (el segundo está inicialmente en reposo) es igual a la suma vectorial de los momentos lineales de los discos después del choque.
m₁u₁=m₁v₁cosφ₁+m₂v₂cosφ₂0=m₁v₁sinφ₁+m₂v₂sinφ₂

Antes del choque

Eje X: 1·3.5=3.5
Eje Y: 0.0

Después del choque

Eje X: 1·2.40·cos39.75+1·2.26·cos(-42.88)=3.49
Eje Y: 1·2.40·sin39.75+2·2.26·sin(-42.88)=0.003≈ 0.0

El momento lineal se conserva

2.-Conservación del momento angular

Se conserva el momento angular del disco 1 respecto del punto de contacto P.

-m₁·r₁·u₁sinθ= I₁ω₁- m₁·r₁·v₁sin(θ+φ₁)
-1·1·3.5·sin48.60=1·1²·(-0.45)/2-1·1·2.40·sin(48.60+39.75)

(Las velocidades angulares son positivas en el sentido contrario al de las agujas del reloj)

Se conserva el momento angular del disco 2 respecto del punto de contacto P.

0=I₂ω₂+m₂·r₂·v₂sin(θ+φ₁)
0=1·1²·(-0.45)/2-1·1·2.26·sin(48.60+-42.88)

Balance energético

Energía inicial $E_{i} = \frac{1}{2} m_{1} u_{1}^{2}$

E_i=6.125

Energía final $E_{f} = \frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2} + \frac{1}{2} I_{1} ω_{1}^{2} + \frac{1}{2} I_{2} ω_{2}^{2}$

E_f=5.535

Energía perdida en la colisión Q=E_f-E_i=-0.590

Ejemplo 2º Choques frontales

Datos relativos a los discos

Masas de los discos m₂=1, m₁=0.5, por lo que M=m₁/m₂=0.5
Discos ambos de acero, e=0.94

Antes del choque

Velocidad inicial u₁=3.5 del primer disco
Parámetro de impacto b=0.0, por lo que θ=0º

Después del choque

Velocidad del primer disco v₁=-1.03
Velocidad del segundo disco v₂=2.26,

Conservación del momento lineal

Antes del choque

Eje X: 1.3.5=3.5

Después del choque

Eje X: -1·1.03+2·2.26=3.49

Se conserva el momento lineal

Balance energético

Antes del choque

$E_{i} = \frac{1}{2} 0.5 \cdot {3.5}^{2} = 3.062$

Después del choque

$E_{f} = \frac{1}{2} 0.5 \cdot {1.03}^{2} + \frac{1}{2} 1 \cdot {2.26}^{2} = 2.819$

Energía perdida en la colisión Q=E_f-E_i=-0.243

Actividades

Se introduce

El cociente M=m₁/m₂ de las masas de los discos, el control de edición titulado Masa
Velocidad inicial u₁ del primer disco, en el control de selección titulado Velocidad inicial
El segundo disco está inicialmente en reposo u₂=0 en el origen.
La velocidad angular inicial de los dos discos es nula ω₁=ω₂=0
El coeficiente de restitución e, actuando en la barra de desplazamiento titulada Coef. restitución
El coeficiente de la fuerza de rozamiento, el control de edición titulado Coef. rozamiento
El ángulo θ, que forma la dirección de la velocidad del disco incidente u₁, y la línea que une el centro de los dos discos en el momento del choque, actuando en la barra de desplazamiento titulada Ángulo

Se pulsa el botón titulado Empieza.

Observamos el movimiento de los discos antes y después del choque en el Sistema de Referencia del Laboratorio

El programa interactivo calcula:

Las velocidades lineales v₁ y v₂ de los discos después del choque
Los ángulos de desviación φ₁ y φ₂ de los discos respecto de la dirección de la velocidad u₁ disco incidente.
Los productos r₁·ω₁y r₂·ω₂de los discos después del choque. Conocidos los radios de los dos discos r₁y r₂, calculamos las velocidades angulares de rotación ω₁y ω₂respectivamente.
La energía Q perdida en la colisión

Conocidos los radios de los discos r₁y r₂ y el ángulo θ<90º, calculamos el parámetro de impacto b. Dado el parámetro de impacto b<(r₁+ r₂) calculamos el ángulo θ que introducimos en el control de edición titulado Ángulo

b=(r₁+r₂)·senθ

Con los datos introducidos y calculados por el programa interactivo, verificaremos los principios de conservación del momento lineal y angular tal como se ha efectuado en los ejemplos.

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.