Caída de una bola que gira sobre sí misma.

En esta página examinamos el movimiento de una bola de forma esférica que gira alrededor de un eje paralelo al suelo y que se deja caer desde una altura h.

La bola después del choque con un suelo supuesto rígido rebota, modifica su velocidad angular de rotación y adquiere una velocidad paralela al suelo que le hace describir un tiro parabólico tal como se aprecia en la figura.

Caída de la bola

El centro de masas de la bola desciende una altura h, como consecuencia su velocidad al llegar al suelo y=0 es

$\begin{array}{l} y = h + \frac{1}{2} (- g) t^{2} \\ v = (- g) t \end{array}} v = - \sqrt{2 g h}$

Choque de la bola con el suelo

La bola antes del choque tiene una velocidad:

angular de rotación, ω₀
de traslación de su c.m., $v_{y} = - \sqrt{2 g h}$

Después del choque la bola tendrá una

Velocidad angular de rotación, ω
Las componentes de la velocidad de traslación de su c.m. serán: v_0x y v_0y

Coeficiente de restitución

De la definición de coeficiente de restitución e obtenemos la componente v_0y de la velocidad después del choque vale

$v_{0 y} = e \sqrt{2 g h}$

Conservación del momento angular

Como las fuerzas que ejerce la pared sobre bola actúan en el punto de contacto P. El momento de dichas fuerzas respecto de P es cero. El momento angular respecto de dicho punto será constante.

Para una bola de radio r y momento de inercia I=2mr²/5.

El momento angular inicial respecto de P es

-Iω₀

El momento angular final respecto de P

-Iω-mv_0xr

La conservación del momento angular se escribe

Iω₀ =Iω+mv_0xr

Fuerzas sobre la bola

Las fuerzas sobre la bola en el momento del choque son:

La reacción del suelo N
El peso mg que es muy pequeño comparado con N, tal como se explicó en la página anterior.
La fuerza de rozamiento que se opone a la velocidad del punto P de contacto de la bola con el suelo, como consecuencia disminuirá la velocidad de rotación ω e incrementará la velocidad v_x de traslación del c.m.

v_P=v_x-ωr

La bola permanece en contacto con el suelo un tiempo pequeño Δt. Al final de este intervalo de tiempo pueden ocurrir dos casos:

La bola rueda sin deslizar

Para que le bola ruede sin deslizar, la velocidad del punto P de contacto de la bola con el suelo deberá ser nula.

v_0x= ωr

De la conservación del momento angular

Iω₀ =Iω+mωr²

Las velocidades finales después del choque son

$ω = \frac{2}{7} ω_{0} v_{0 x} = \frac{2}{7} r ω_{0}$

La bola desliza

Si la fuerza de rozamiento no tiene tiempo suficiente para establecer el equilibrio entre rotación y traslación, es decir, v_P<0, el punto de contacto P desliza sobre el suelo.

La reacción N actuando durante un intervalo de tiempo Δt, modifica la componente vertical de la velocidad de la bola.
La fuerza de rozamiento F_r actuando durante un intervalo de tiempo Δt, modifica la componente horizontal de la velocidad de la bola.

$\begin{array}{l} \int_{0}^{Δ t} N \cdot d t = m v_{0 y} - m (- \sqrt{2 g h}) = m (1 + e) \sqrt{2 g h} \\ \int_{0}^{Δ t} F_{r} \cdot d t = m v_{0 x} \end{array}$

Como el punto P desliza sobre el suelo, F_r=μN

Llegamos a la relación

$v_{0 x} = μ (1 + e) \sqrt{2 g h}$

De la conservación del momento angular

Iω₀ =Iω+mv_0xr

$ω = ω_{0} - \frac{5 μ (1 + e) \sqrt{2 g h}}{2 r}$

Para que esta solución sea válida se tiene que cumplir que v_P<0, es decir que ωr>v_0x

$\begin{array}{l} (ω_{0} - \frac{5 μ (1 + e) \sqrt{2 g h}}{2 r}) r > μ (1 + e) \sqrt{2 g h} \\ ω_{0} r > \frac{7}{2} μ (1 + e) \sqrt{2 g h} \end{array}$

Balance energético del choque entre la bola y el suelo rígido

La energía cinética inicial de la bola es

$E_{i} = m g h + \frac{1}{2} (\frac{2}{5} m r^{2}) ω_{0}^{2}$

La energía cinética final de la bola es

$E_{f} = \frac{1}{2} m v_{0 x}^{2} + \frac{1}{2} m v_{0 y}^{2} + \frac{1}{2} I ω^{2} = \frac{1}{2} m v_{0 x}^{2} + e^{2} m g h + \frac{1}{2} \frac{2}{5} m r^{2} ω^{2}$

En el primer caso,

$Q = E_{f} - E_{i} = - \frac{1}{7} m r^{2} ω_{0}^{2} - (1 - e^{2}) m g h$

En el segundo caso

$Q = E_{f} - E_{i} = - (1 - e^{2}) m g h + \frac{7}{2} m μ^{2} {(1 + e)}^{2} g h - m r μ (1 + e) ω_{0} \sqrt{2 g h}$

Tiro parabólico

Una vez que la bola ha chocado con el suelo, describe una trayectoria parabólica. Las ecuaciones del movimiento son.

${\begin{cases} a_{x} = 0 \\ a_{y} = - g \end{cases} {\begin{cases} v_{x} = v_{0 x} \\ v_{y} = v_{0 y} + (- g) t \end{cases} {\begin{cases} x = v_{0 x} t \\ y = v_{0 y} t + \frac{1}{2} (- g) t^{2} \end{cases}$

La altura máxima se calcula con v_y=0

$y = \frac{1}{2} \frac{v_{0 y}^{2}}{g} = e^{2} h$

El alcance se calcula con y=0. Hay dos posibles resultados, dependiendo del valor de v_0x

$x = \frac{2 v_{0 x} v_{0 y}}{g} {\begin{cases} \frac{4}{7} r ω_{0} e \sqrt{\frac{2 h}{g}} \\ 4 μ e (1 + e) h \end{cases}$

Ejemplo 1.

Coeficiente de rozamiento, μ=0.1
Coeficiente de restitución, e=0.9
Velocidad angular inicial de rotación, ω₀=30 rad/s
Radio de la esfera, r=0.1 m
Altura de caída, h=1.0 m

Calculamos las componentes de la velocidad después del choque y la velocidad angular de rotación.

La componente vertical vale

$\begin{array}{l} v_{0 y} = e \sqrt{2 g h} \\ v_{0 y} = 0.9 \sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot 1.0} = 3.98 m/s \end{array}$

Calculamos la velocidad angular inicial crítica

$\begin{array}{l} ω_{0 c} r = \frac{7}{2} μ (1 + e) \sqrt{2 g h} \\ ω_{0 c} = \frac{7}{2} \frac{0.1 \cdot (1 + 0.9) \sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot 1.0}}{0.1} = 29.44 rad/s \end{array}$

Como ω₀>ω_0c la componente horizontal de la velocidad v_0x y la velocidad angular de rotación ω valen, respectivamente,

$\begin{array}{l} ω = ω_{0} - \frac{5 μ (1 + e) \sqrt{2 g h}}{2 r} v_{0 x} = μ (1 + e) \sqrt{2 g h} \\ ω = 30 - \frac{5 \cdot 0.1 (1 + 0.9) \sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot 1.0}}{2 \cdot 0.1} = 8.97 rad/s v_{0 x} = 0.1 (1 + 0.9) \sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot 1.0} = 0.84 m/s \end{array}$

El alcance es

$x = \frac{2 v_{0 x} v_{0 y}}{g} = \frac{2 \cdot 0.84 \cdot 3.98}{9.8} = 0.684 m$

Ejemplo 2.

Cambiamos la velocidad angular inicial de rotación, ω₀=20 rad/s

Como ω₀<ω_0c la bola al final del choque rueda sin deslizar, la velocidad del punto de contacto P con el suelo es v_P=0. La componente horizontal de la velocidad v_0x y la velocidad angular de rotación ω valen, respectivamente

$\begin{array}{l} ω = \frac{2}{7} ω_{0} v_{0 x} = \frac{2}{7} r ω_{0} \\ ω = \frac{40}{7} rad/s v_{0 x} = \frac{4}{7} m/s \end{array}$

El alcance es

$x = \frac{2 v_{0 x} v_{0 y}}{g} = \frac{2 \cdot 0.57 \cdot 3.98}{9.8} = 0.465 m$

Actividades

Se introduce

El coeficiente de rozamiento μ, actuando en la barra de desplazamiento titulada Coef. rozamiento.
El coeficiente de restitución e, actuando en la barra de desplazamiento titulada Restitución
La velocidad angular inicial de rotación de la bola ω₀, en el control de edición titulado V. angular.
Se ha fijado el radio de la bola r=0.1 m=10 cm, y la altura de caída del centro de la bola h=1.0 m

Se pulsa el botón titulado Empieza

El programa interactivo calcula inmediatamente después del choque de la bola con el suelo

La componente horizontal de la velocidad del c.m. de la bola, v_0x
La componente vertical de la velocidad del c.m. de la bola, v_0y
La velocidad angular de rotación, ω

Podemos observar el movimiento de la bola, medir su alcance y altura máxima. Detenemos la bola en el segundo rebote, ya que solamente estamos interesados en el primero.

Por razón de claridad, la escala horizontal y vertical no coinciden.

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.