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Caída de una bola que gira sobre sí misma.

En esta página examinamos el movimiento de una bola de forma esférica que gira alrededor de un eje paralelo al suelo y que se deja caer desde una altura h.

La bola después del choque con un suelo supuesto rígido rebota, modifica su velocidad angular de rotación y adquiere una velocidad paralela al suelo que le hace describir un tiro parabólico tal como se aprecia en la figura.

Caída de la bola

El centro de masas de la bola desciende una altura h, como consecuencia su velocidad al llegar al suelo y=0 es

y=h+ 1 2 (g) t 2 v=(g)t }v= 2gh

Choque de la bola con el suelo

La bola antes del choque tiene una velocidad:

Después del choque la bola tendrá una

Coeficiente de restitución

De la definición de coeficiente de restitución e obtenemos la componente v0y de la velocidad después del choque vale

v 0y =e 2gh

Conservación del momento angular

Como las fuerzas que ejerce la pared sobre bola actúan en el punto de contacto P. El momento de dichas fuerzas respecto de P es cero. El momento angular respecto de dicho punto será constante.

Para una bola de radio r y momento de inercia I=2mr2/5.

-0

-Iω-mv0xr

La conservación del momento angular se escribe

0 =Iω+mv0xr

Fuerzas sobre la bola

Las fuerzas sobre la bola en el momento del choque son:

vP=vx-ωr

La bola permanece en contacto con el suelo un tiempo pequeño Δt. Al final de este intervalo de tiempo pueden ocurrir dos casos:

  1. La bola rueda sin deslizar
  2. Para que le bola ruede sin deslizar, la velocidad del punto P de contacto de la bola con el suelo deberá ser nula.

    v0x= ωr

    De la conservación del momento angular

    0 =Iω+mωr2

    Las velocidades finales después del choque son

    ω= 2 7 ω 0 v 0x = 2 7 r ω 0

  3. La bola desliza
  4. Si la fuerza de rozamiento no tiene tiempo suficiente para establecer el equilibrio entre rotación y traslación, es decir, vP<0, el punto de contacto P desliza sobre el suelo.

    • La reacción N actuando durante un intervalo de tiempo Δt, modifica la componente vertical de la velocidad de la bola.
    • La fuerza de rozamiento Fr actuando durante un intervalo de tiempo Δt, modifica la componente horizontal de la velocidad de la bola.

    0 Δt N·dt =m v 0y m( 2gh )=m(1+e) 2gh 0 Δt F r ·dt =m v 0x

    Como el punto P desliza sobre el suelo, Fr=μN

    Llegamos a la relación

    v 0x =μ(1+e) 2gh

    De la conservación del momento angular

    0 =Iω+mv0xr

    ω= ω 0 5μ(1+e) 2gh 2r

    Para que esta solución sea válida se tiene que cumplir que vP<0, es decir que ωr>v0x

    ( ω 0 5μ(1+e) 2gh 2r )r>μ(1+e) 2gh ω 0 r> 7 2 μ(1+e) 2gh

Balance energético del choque entre la bola y el suelo rígido

La energía cinética inicial de la bola  es

E i =mgh+ 1 2 ( 2 5 m r 2 ) ω 0 2

La energía cinética final de la bola es

E f = 1 2 m v 0x 2 + 1 2 m v 0y 2 + 1 2 I ω 2 = 1 2 m v 0x 2 + e 2 mgh+ 1 2 2 5 m r 2 ω 2

En el primer caso,

Q= E f E i = 1 7 m r 2 ω 0 2 (1 e 2 )mgh

En el segundo caso

Q= E f E i =(1 e 2 )mgh+ 7 2 m μ 2 ( 1+e ) 2 ghmrμ(1+e) ω 0 2gh

Tiro parabólico

Una vez que la bola ha chocado con el suelo, describe una trayectoria parabólica. Las ecuaciones del movimiento son.

{ a x =0 a y =g { v x = v 0x v y = v 0y +(g)t { x= v 0x t y= v 0y t+ 1 2 (g) t 2

La altura máxima se calcula con vy=0

y= 1 2 v 0y 2 g = e 2 h

El alcance se calcula con y=0. Hay dos posibles resultados, dependiendo del valor de v0x

x= 2 v 0x v 0y g { 4 7 r ω 0 e 2h g 4μe(1+e)h

 

Ejemplo 1.

Calculamos las componentes de la velocidad después del choque y la velocidad angular de rotación.

La componente vertical vale

v 0y =e 2gh v 0y =0.9 2·9.8·1.0 =3.98m/s

Calculamos la velocidad angular inicial crítica

ω 0c r= 7 2 μ(1+e) 2gh ω 0c = 7 2 0.1·(1+0.9) 2·9.8·1.0 0.1 =29.44rad/s

Como ω0>ω0c la componente horizontal de la velocidad v0x y la velocidad angular de rotación ω valen, respectivamente,

ω= ω 0 5μ(1+e) 2gh 2r v 0x =μ(1+e) 2gh ω=30 5·0.1(1+0.9) 2·9.8·1.0 2·0.1 =8.97rad/s v 0x =0.1(1+0.9) 2·9.8·1.0 =0.84m/s

El alcance es

x= 2 v 0x v 0y g = 2·0.84·3.98 9.8 =0.684m

Ejemplo 2.

Como ω0<ω0c la bola al final del choque rueda sin deslizar, la velocidad del punto de contacto P con el suelo es vP=0. La componente horizontal de la velocidad v0x y la velocidad angular de rotación ω valen, respectivamente

ω= 2 7 ω 0 v 0x = 2 7 r ω 0 ω= 40 7 rad/s v 0x = 4 7 m/s

El alcance es

x= 2 v 0x v 0y g = 2·0.57·3.98 9.8 =0.465m

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Empieza

El programa interactivo calcula inmediatamente después del choque de la bola con el suelo

Podemos observar el movimiento de la bola, medir su alcance y altura máxima. Detenemos la bola en el segundo rebote, ya que solamente estamos interesados en el primero.

Por razón de claridad, la escala horizontal y vertical no coinciden.

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Referencias

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