Movimiento de un disco impulsado por una fuerza de módulo constante

La dirección de la fuerza es tangente al disco

Para describir el movimiento del centro del disco, se emplean las integrales de Fresnel, que son funciones especiales que utilizaremos para describir la intensidad debida a la difracción producida por el borde de una hoja, de una rendija de dimensiones dadas, etc.

Por razón de conveniencia situaremos el origen de ángulos en el eje Y negativo, para que las componentes de F_x y F_y de la fuerza sean inicialmente positivas, y las componentes de la velocidad v_x y v_y también lo sean en todo momento.

Movimiento de rotación del disco alrededor de un eje que pasa por su centro

El momento de la fuerza de empuje del cohete respecto al centro del disco es F·R

La ecuación del movimiento de rotación del disco alrededor de un eje que pasa por su centro

$I \frac{d^{2} θ}{d t^{2}} = F \cdot R$

Donde I es el momento de inercia del disco y del cohete situado en el borde.

Como la aceleración angular es constante. El ángulo girado θ al cabo de un cierto tiempo t es

$θ = \frac{1}{2} \frac{F R}{I} t^{2}$

Supondremos que el disco parte del reposo, dθ/dt=0 en el instante t=0

Movimiento de traslación del centro del disco

Las componentes de la fuerza sobre el disco son

F_x=F·cosθ
F_y=F·sinθ

En la figura, se representa F_y/F en función del tiempo t, tomando FR/I=1. En el intervalo angular entre θ=0 y θ₁=π o en el intervalo de tiempo comprendido entre t=0, y $t_{1} = \sqrt{2 π}$ la componente Y de la fuerza F_y es positiva y el cambio de momento lineal del disco en dicha dirección es el área de color amarillo comprendida entre la curva y el eje X. Durante el intervalo angular entre θ₁=π y θ₂=2π o en el intervalo de tiempo comprendido entre $t_{1} = \sqrt{2 π}$ y $t_{2} = \sqrt{4 π}$ la componente Y de la fuerza F_y es negativa y el impulso de la fuerza en dicha dirección es el área de color azul claro comprendida entre la curva y el eje X.

Durante la primera vuelta, el área total es positiva, lo que implica que la componente v_y de la velocidad es positiva, y lo mismo cabe decir de las sucesivas vueltas. La suma de las áreas de color amarillo, excede la suma de las áreas de color azul claro. La componente v_y de la velocidad del centro del disco es siempre positiva. El mismo argumento se aplica para la componente v_x.

$\frac{d v_{x}}{d t} = \frac{F}{m} cos (\frac{F R}{2 I} t^{2}) \frac{d v_{y}}{d t} = \frac{F}{m} sin (\frac{F R}{2 I} t^{2})$

Si el disco parte con velocidad inicial nula, v_x=0, v_y=0.

$v_{x} = \frac{F}{m} \int_{0}^{t} cos (\frac{F R}{2 I} t'^{2}) d t' v_{y} = \frac{F}{m} \int_{0}^{t} sin (\frac{F R}{2 I} t'^{2}) d t'$

Se define la integral seno y coseno de Fresnel como

$S (t) = \int_{0}^{t} sin (\frac{π}{2} u^{2}) d u C (t) = \int_{0}^{t} \cos (\frac{π}{2} u^{2}) d u$

Haciendo el cambio de variable

$u = \sqrt{\frac{F R}{π I}} t$

expresamos las componentes de la velocidad en términos de estas dos funciones especiales

$v_{x} = \sqrt{\frac{π I F}{m^{2} R}} C(t) v_{y} = \sqrt{\frac{π I F}{m^{2} R}} S(t)$

Cuando se representa en el eje X los valores de C(t) y en el eje Y los valores de S(t) para cada instante t, se obtiene una curva denominada espiral de Cornu.

Las componentes de la velocidad son proporcionales a las proyecciones del radio vector que une el origen con el punto de la espiral correspondiente al instante t. La longitud del radio vector es proporcional al módulo de la velocidad. Como podemos apreciar en la figura, dicho módulo alcanza un valor máximo y luego disminuye y aumenta alternativamente hasta que alcanza un valor límite, cuando el tiempo t→∞, C(t) →0.5 y S(t) →0.5.

Las componentes de la velocidad final del centro del disco cuando t→∞, son

$v_{x} = v_{y} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{π I F}{m^{2} R}}$

Integramos de nuevo, para obtener la posición del centro del disco en función del tiempo, suponiendo que parte del origen x=0, y=0, en el instante t=0.

$x = \int_{0}^{t} v_{x} d t = \frac{F}{m} \int_{0}^{t} (\int_{0}^{t''} cos (\frac{F R}{2 I} t'^{2}) d t') d t''$

Integramos por partes

$x = \frac{F}{m} {t'' (\int_{0}^{t''} cos (\frac{F R}{2 I} t'^{2}) d t') - \int_{0}^{t''} t' cos (\frac{F R}{2 I} t'^{2}) d t'}_{0}^{t} = t \cdot v_{x} - \frac{I}{m R} sin (\frac{F R}{2 I} t^{2})$

De modo análogo

$y = \int_{0}^{t} v_{y} d t = \frac{F}{m} {t'' (\int_{0}^{t''} sin (\frac{F R}{2 I} t'^{2}) d t') - \int_{0}^{t''} t' sin (\frac{F R}{2 I} t'^{2}) d t'}_{0}^{t} = t \cdot v_{y} + \frac{I}{m R} (\cos (\frac{F R}{2 I} t^{2}) - 1)$

La trayectoria final del centro del disco es rectilínea formando 45º con el eje X pero no pasa por el origen.

Actividades

Se introduce

El valor de la fuerza F, actuando en la barra de desplazamiento titulada Fuerza.
Los valores del momento de inercia I, la masa m y el radio R se han tomado iguales a la unidad.

Se pulsa el botón titulado Empieza

En la parte izquierda del applet, se representa la trayectoria del centro del disco

En la parte derecha del applet, se representa la espiral de Cornu, la longitud del radio vector que une el origen con el punto de la espiral correspondiente al instante t, es proporcional al módulo de la velocidad y las proyecciones sobre los ejes son proporcionales a las componentes v_x y v_y de la velocidad del centro del disco.

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Referencias

Dudley S. C., Serna M. A. Spaceship with a thruster-one body, one force. Am. J. Phys. 73 (6) June 2005, pp. 500- 506.

Numerical Recipes in C, Fresnel Integrals, Cosine and Sine Integrals Capítulo 6º. Código en C adaptado por el autor al lenguaje Java